《概率论与数理统计》（第3版） 习题详解ppt-（第4章） 随机变量的数字特征.ppt

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1、第四章第四章 随机变量的数字特征随机变量的数字特征第一节第一节 数学期望数学期望第二节第二节 方差方差第三节第三节 协方差与相关系数协方差与相关系数第四节第四节 矩、协方差矩阵矩、协方差矩阵第一节第一节 数学期望数学期望为随机变量为随机变量X的数学期望，简称期望，记为的数学期望，简称期望，记为E(X)，即，即 上一页上一页下一页下一页返回返回 E(X)是一个实数，形式上是是一个实数，形式上是X的可能值的加权的可能值的加权平均数，实质上它体现了平均数，实质上它体现了X取值的真正平均。又称取值的真正平均。又称E(X)为为X的平均值，简称均值。它完全由的平均值，简称均值。它完全由X的分布的分布所决定

2、，又称为分布的均值所决定，又称为分布的均值.上一页上一页下一页下一页返回返回试问哪个射手技术较好试问哪个射手技术较好?实例实例1 谁的技术比较好谁的技术比较好?乙射手乙射手甲射手甲射手解解故甲射手的技术比较好故甲射手的技术比较好.什么是中位数，怎么求？什么是中位数，怎么求？例例1:某种产品即将投放市场，根据市场调查估计每件某种产品即将投放市场，根据市场调查估计每件产品有产品有60%的把握按定价售出，的把握按定价售出，20%的把握打折售出的把握打折售出及及20%的可能性低价甩出。上述三种情况下每件产品的可能性低价甩出。上述三种情况下每件产品的利润分别为的利润分别为5元，元，2元和元和-4元。问厂

3、家对每件产品可元。问厂家对每件产品可期望获利多少？期望获利多少？解解:设设X表示一件产品的利润表示一件产品的利润(单位：元单位：元),X的分布的分布率为率为X X5 52 2-4-4P P0.60.60.20.20.20.2X的数的数学期望学期望:虽然任一件产品投放市场都有亏损的风险，但每虽然任一件产品投放市场都有亏损的风险，但每件产品的平均利润为件产品的平均利润为2.6元，还是有利可图的。元，还是有利可图的。上一页上一页下一页下一页返回返回例例2：设设X服从参数为服从参数为p的（的（0-1）分布，求）分布，求E(X)。解：解：X的分布律为的分布律为X X0 01 1P Pq qp p0p 0

4、,2 0,|1，则则 随随 机机 变变 量量 与与 相相 互互 独独 立立 的的 充充 要要 条条 件件 是是 _ 。=0解解例例二、相关系数的意义二、相关系数的意义.相关系数的意义相关系数的意义(1)不相关与相互独立的关系不相关与相互独立的关系3.注意注意相互独立相互独立不相关不相关(2)不相关的充要条件不相关的充要条件4.相关系数的性质相关系数的性质例例3 解解单击图形播放单击图形播放/暂停暂停 ESCESC键退出键退出一般地一般地若若若若X,YX,Y相互独立相互独立相互独立相互独立,则则则则Cov(XCov(X,Y)=0.,Y)=0.则则则则反之不成立三、小结三、小结相关系数的意义相关系

5、数的意义随机变量随机变量X,Y的相关系数为的相关系数为0.5,6则则则则 =。D(X Y)=D(X)+D(Y)2 Cov(X,Y)例例 设二维随机变量设二维随机变量(X,Y)的联合分布律为的联合分布律为Y YX X0 01 10 0q q0 01 10 0p p其中其中p+q=1，求相关系数求相关系数XY。解解 由题意可得由题意可得X,Y的边缘分布律为的边缘分布律为X X0 01 1P Pq qp pY Y0 01 1P Pq qp p均为均为01分布，分布，E(X)，D(X)=pq，E(Y)=p，D(Y)=pq，所以所以Cov(X,Y)=E(XY)E(X)E(Y)=00q+010+100+1

6、1p pp =p p2=pq 因此因此X X (2)(2)泊松分布泊松分布泊松分布泊松分布，Y Y NN(2,4)2,4)，X X与与与与Y Y 独立，独立，独立，独立，则则则则 E E(X X Y Y)=();)=();E E(X X Y Y)2 2=().=().422 X X 与与与与 Y Y 独立，独立，独立，独立，D(D(X X)=6)=6，D(D(Y Y)=3)=3，则则则则 D(2D(2X X Y Y)=().)=().27p114 15 17第四节第四节 矩、协方差矩阵矩、协方差矩阵自学自学上一页上一页下一页下一页返回返回设设n维随机变量维随机变量(X1,X2,Xn)的的1+1阶混合中心矩阶混合中心矩为为n维随机变量维随机变量(X1,X2,Xn)的协方差矩阵。的协方差矩阵。都存在，则称矩阵都存在，则称矩阵协方差矩阵具有以下协方差矩阵具有以下性质性质：（1）协方差矩阵为对称矩阵）协方差矩阵为对称矩阵;（2）协方差矩阵为非负定矩阵。协方差矩阵为非负定矩阵。协方差协方差Cov(X,Y)是是X和和Y的的1+1阶混合中心矩阶混合中心矩上一页上一页下一页下一页返回返回上一页上一页下一页下一页返回返回