高考数学复习强化双基系列课件24《三角函数三角函数的应用》.ppt

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1、2010届高考数学复习强化双基系列课件 2021/8/11 星期三124三角函数-三角函数的应用2021/8/11 星期三2 1.已知函数已知函数 f(x)=tanx,x(0,),若若 x1,x2(0,),且且 x1 x2.证明证明:f(x1)+f(x2)f().x1+x2 2122 2 证证:tanx1+tanx2=+sinx1 cosx1 sinx2 cosx2 sinx1cosx2+cosx1sinx2 cosx1cosx2=sin(x1+x2)cosx1cosx2=2sin(x1+x2)=cos(x1+x2)+cos(x1-x2)x1,x2(0,),且且 x1 x2,2 2sin(x1

2、+x2)0,cosx1cosx20 且且 0cos(x1-x2)1.0cos(x1+x2)+cos(x1-x2).2sin(x1+x2)1+cos(x1+x2)(tanx1+tanx2)tan .12x1+x2 2 f(x1)+f(x2)f().12x1+x22典型例题典型例题2021/8/11 星期三3由已知由已知 0t11,0t2f().12x1+x22另证另证:令令 tan =t1,tan =t2,2x12x2则则 (tanx1+tanx2)=,tan =.12(t1+t2)(1-t1t2)(1-t12)(1-t22)x1+x2 2t1+t2 1-t1t2 故要证不等式等价于故要证不等式

3、等价于(t1+t2)(1-t1t2)(1-t12)(1-t22)t1+t2 1-t1t2 .只需证明只需证明(1-t1t2)2(1-t12)(1-t22).即证即证 1-2t1t2+(t1t2)21-t12-t22+(t1t2)2.即证即证(t1-t2)20.t1 t2,(t1-t2)20 成立成立.1.已知函数已知函数 f(x)=tanx,x(0,),若若 x1,x2(0,),且且 x1 x2.证明证明:f(x1)+f(x2)f().x1+x2 2122 2 2021/8/11 星期三42.已知已知 cos(+)=,求求 cos(2+)的值的值.2 4 4 3523 解解:,2 23 +0,

4、35 +.4 23 47 4 4 sin(+)=-1-cos2(+)45=-.又又 cos2=sin(2+)2 =2sin(+)cos(+)4 4 =2(-)3545=-,2524sin2=-cos(2+)2 4 =1-2cos2(+)=1-2()235257=,cos(2+)=(cos2-sin2)4 22=(-)2225242575031=-2.2021/8/11 星期三5另解另解 ,2 23 +0,35 +.4 23 47 4 4 sin(+)=-1-cos2(+)45=-.cos(+)=(cos-sin),4 22sin(+)=(cos+sin),4 22cos-sin=2,cos+s

5、in=-2.3545解得解得 sin=-2,cos=-.107210cos(2+)=cos+(+)4 4 4 =cos cos(+)-sin sin(+)4 =-(-2)(-)21010735452.已知已知 cos(+)=,求求 cos(2+)的值的值.2 4 4 3523 注注 亦可由亦可由 =(+)-等方法求出等方法求出 sin,cos 后求后求值值.4 4 5031=-2.2021/8/11 星期三6 3.已知已知 O 为坐标原点为坐标原点,OA=(2cos2x,1),OB=(1,3 sin2x+a),其中其中,x R,a R,a 为常数为常数,若若 y=OA OB.(1)求求 y 关

6、于关于 x 的的函数关系式函数关系式 f(x);(2)若若 x 0,时时,f(x)的最大值为的最大值为 2,求求 a 的值的值;(3)指出指出 f(x)的单调区间的单调区间.2 (2)f(x)=2sin(2x+)+a+1.6 解解:(1)由已知由已知 y=OA OB=2cos2x+3 sin2x+a,f(x)=cos2x+3 sin2x+a+1.6 由由 2x+=得得 x=2 6 0,2 故当故当 x=时时,f(x)取最大值取最大值 3+a.6 由题设由题设 3+a=2,a=-1.(3)由由 2k-2x+2k+得得:6 2 2 k-xk +.3 6 f(x)的单调递增区间为的单调递增区间为 k

7、-,k+(k Z);6 3 由由 2k+2x+2k+得得:6 2 23 k+x k+.6 32 f(x)的单调递减区间为的单调递减区间为 k+,k+(k Z).6 32 2021/8/11 星期三74.若若 cos(+x)=,x ,求求 的的值值.4 3547 12 17 1-tanx sin2x+2sin2x 4 cos(+x)=,354 4 sin(+x)=-1-cos2(+x)45=-.+x2.4 35 解解:x ,47 12 17 有以下解法有以下解法:解法解法1 凑角处理凑角处理cosx=cos(+x)-4 4 4 4 =cos(+x)cos +sin(+x)sin 4 4 =-.2

8、10sinx=-,tanx=7.10 7 2 1-tanx sin2x+2sin2x =1-tanx 2sinxcosx+2sin2x=-.752821010 7 2 2(-)(-)+2(-)210 7 2 1-7=2021/8/11 星期三8=sin2xtan(+x).4 解法解法2 先化简原式先化简原式1-tanx sin2x+2sin2x=1-tanx 2sinxcosx(1+tanx)而而 sin2x=-cos(2x+)2 4 =1-2cos2(+x)=1-2()235257=,4 4 tan(+x)=4 cos(+x)sin(+x)43=-.原式原式257=(-)43=-.75282

9、021/8/11 星期三9解法解法3 变式处理变式处理4 又又cos(+x)=,sin(+x)=-.354 45cos(+x)=(cosx-sinx),4 22sin(+x)=(cosx+sinx),4 22cosx-sinx=2,cosx+sinx=-2.3545解得解得 sinx=-2,cosx=-,tanx=7.1072101-tanx sin2x+2sin2x =1-tanx 2sinxcosx+2sin2x=-.75282(-)(-)+2(-)221010 7 2 10 7 2 1-7=2021/8/11 星期三10应用题举例应用题举例 1.已知扇形的周长为已知扇形的周长为 30cm

10、,当它的半径和圆心角各取什么当它的半径和圆心角各取什么值时值时,才能使扇形的面积最大才能使扇形的面积最大?最大面积是多少最大面积是多少?解解:设扇形的设扇形的半径为半径为 r,圆心角为圆心角为 ,面积为面积为 S,弧长为弧长为 l,依题意得依题意得 l+2r=30.则则 l=30-2r(0r0),当当 为多少弧度时为多少弧度时,该扇形有该扇形有最大面积最大面积?解解:(1)设扇形的弧长为设扇形的弧长为 l,该弧所在的弓形面积为该弧所在的弓形面积为 S弓弓.=60=,R=10cm,3 l=(cm).310S弓弓=S扇形扇形-S三角形三角形=10-102 sin60 3101212=50(-)(c

11、m2).3 32(2)扇形的周长扇形的周长 C=2R+l=2R+R,2+CR=.S扇形扇形=R2=()2 12122+C=C2 12 4+4+2=C2214+4 C2214+2 4=.C216C216当且仅当当且仅当 =即即 =2(=-2舍去舍去)时时,该扇形有最大面该扇形有最大面 4积积 cm2.2021/8/11 星期三12ABCDPQRST 3.如图所示如图所示,ABCD 是一块边长为是一块边长为 100m 的正方形地皮的正方形地皮,其其中中AST 是一半径为是一半径为 90m 的扇形小山的扇形小山,其余其余部分都是平地部分都是平地.一开发商想在平地上建一开发商想在平地上建一个矩形停车场

12、一个矩形停车场,使矩形的一个顶点在使矩形的一个顶点在 ST 上上,相邻两边相邻两边 CQ,CR 落在正方形的落在正方形的边边 BC,CD 上上,求矩形停车场求矩形停车场 PQCR 面面积的最大值和最小值积的最大值和最小值.解解:连结连结 AP,设设 PAB=(0 90),延长延长 RP,交交 AB 于于 M,M则则 AM=90cos,MP=90sin.PQ=MB=100-90cos,PR=MR-MP=100-90sin.S矩形矩形PQCR=PQ PR=(100-90cos)(100-90sin)=10000-9000(sin+cos)+8100sin cos 2021/8/11 星期三13 令

13、令 t=sin+cos(1t 2),则则 sin cos=.t2-1 2S矩形矩形PQCR=10000-9000t+4050(t2-1)故当故当 t=时时,S矩形矩形PQCR 有最小值有最小值 950m2;910当当 t=2 时时,S矩形矩形PQCR 有最大值有最大值(14050-9000 2)m2.=4050t2-9000t+5950.2021/8/11 星期三14E=k (其中其中 k 是一个与电光强度有关的常数是一个与电光强度有关的常数),问要使桌问要使桌子边缘处最亮即子边缘处最亮即E 最大最大,应怎样选择电灯悬挂的高度应怎样选择电灯悬挂的高度 h(指电灯指电灯离开桌面的距离离开桌面的距

14、离)?4.在一张半径为在一张半径为 2 米的水平圆桌正中央上空挂一盏电灯米的水平圆桌正中央上空挂一盏电灯,已已知桌子边缘一点处的亮度为知桌子边缘一点处的亮度为 E,灯光射到桌子边缘的光线与桌灯光射到桌子边缘的光线与桌面的夹角面的夹角 及这一点到光源的距离及这一点到光源的距离 r 三者之间的关系为三者之间的关系为:r2sin 解解:由已知由已知 r=.cos 24sin cos2 E=k (0 ).2 E2=sin2 cos4 16k232k2=2sin2 cos2 cos2 332k2 ()3 2sin2+cos2+cos2 108 k2=.当且仅当当且仅当 2sin2=cos2 时取等号时取

15、等号,此时此时 tan2=,tan=.1222当当 h=2tan=2 时时,E2 最大最大,即即 E 最大最大.故电灯悬挂的高度故电灯悬挂的高度 h 为为 2 米时米时,桌子边缘处最亮桌子边缘处最亮.2021/8/11 星期三15h ABCDE 5.如图如图:某地要修建一横截面为梯形的水渠某地要修建一横截面为梯形的水渠,为降低成本为降低成本,必须尽量减少水与水渠壁的接触面必须尽量减少水与水渠壁的接触面,若水渠断面面积为定值若水渠断面面积为定值 a,渠深渠深 8 分米分米,则水渠的倾角则水渠的倾角 为多少时为多少时,才能使修建成本最低才能使修建成本最低?解解:作作 CEAD 于于 E.设水渠横断

16、面设水渠横断面边长之和为边长之和为 l,则则 l=BC+2CD.ED=8cot,CD=,sin 8由由 =a 得得:8(2BC+2DE)2BC=-8cot.8asin 16 l=-8cot+8a=+8 (0 0,且且 ksin+cos=2.k2+1sin(+)=2.sin(+)1,k2+12.k 3.3 故当故当 k=3,即即 =时时,l 最小最小,此时成本最低此时成本最低.2021/8/11 星期三16EDFCABO 6.平地上有一平地上有一水渠水渠,渠边是两条长渠边是两条长 100 米的平行线段米的平行线段,渠宽渠宽AB 长长 2 米米,与渠边垂直的平面与渠的交线是一段半圆弧与渠边垂直的平

17、面与渠的交线是一段半圆弧,圆弧圆弧中点为中点为 C,渠中水深为渠中水深为 0.4 米米.(1)求渠中水有多少立方米求渠中水有多少立方米(sin0.927=0.8)?(2)若要把水渠改挖若要把水渠改挖(不得填土不得填土)成截面为等成截面为等腰梯形的水渠腰梯形的水渠,使渠的底面与地面平行使渠的底面与地面平行,改挖后的渠底宽为多改挖后的渠底宽为多少时少时,所挖的土最少所挖的土最少(结果保留根号结果保留根号)?解解:(1)如图如图,依题意依题意,CF=0.4,OE=1,OF=0.6.EF=0.8,DE=2EF=1.6.在在 OEF 中中,sin EOF=0.8,EOC=0.927.EOD=2 0.92

18、7.S扇形扇形DOE=2 0.927 12 12=0.927.而而 S三角形三角形DOE=OF DE=0.48,12渠中有水渠中有水 100(0.927-0.48)=44.7(立方米立方米).2021/8/11 星期三17MNPO 6.平地上有一平地上有一水渠水渠,渠边是两条长渠边是两条长 100 米的平行线段米的平行线段,渠宽渠宽AB 长长 2 米米,与渠边垂直的平面与渠的交线是一段半圆弧与渠边垂直的平面与渠的交线是一段半圆弧,圆圆弧中点为弧中点为 C,渠中水深为渠中水深为 0.4 米米.(2)若要把水渠改挖若要把水渠改挖(不得填不得填土土)成截面为等腰梯形的水渠成截面为等腰梯形的水渠,使渠

19、的底面与地面平行使渠的底面与地面平行,改挖改挖后的渠底宽为多少时后的渠底宽为多少时,所挖的土最少所挖的土最少(结果保留根号结果保留根号)?解解:(2)如图如图,依题意依题意,只需等腰梯形面积最小只需等腰梯形面积最小.设设 ONP=,则梯形面积则梯形面积 S=(2cot+2csc2)12cos2+2 sin2 =.即即 Ssin2-cos2=2,S2+1 sin(2-)=2(tan=).S1|sin(2-)|1,S2+12 1.S 3.S 的最小值为的最小值为 3,此时此时 =.6 即即 sin(2-)=1.6 =.3 3 故故 MN=2OPcot =.3 2 3 即改挖后的渠底宽为即改挖后的渠

20、底宽为 米米.3 2 3 2021/8/11 星期三18解解:如图如图,分两种情况讨论分两种情况讨论:AB=CD=a,AD=BC=b.7.有一块长为有一块长为 a,宽为宽为 b(ab)的矩形木板的矩形木板,在二面角为在二面角为 的墙的墙角处围出一个直三棱柱的储物仓角处围出一个直三棱柱的储物仓(使木板垂直于地面的两边与使木板垂直于地面的两边与封面贴紧封面贴紧),试问试问,应怎样围才能使储物仓的容积最大应怎样围才能使储物仓的容积最大?并求出并求出这个最大值这个最大值.ABCDOxy 设设 OA=x,OB=y,则则 a2=x2+y2-2xycos,a22xy-2xycos=2xy(1-cos).xy

21、 (当且仅当当且仅当 x=y 时取等号时取等号).2(1-cos)a2又又V1=(xysin)b 124(1-cos)a2bsin =a2bcot .142 当当 OA=OB 时时,储物仓的容积最大储物仓的容积最大;(2)若使短边紧贴地面若使短边紧贴地面,则则 xy (当且仅当当且仅当 x=y 时取等号时取等号).2(1-cos)b2(1)若使长边紧贴地面若使长边紧贴地面,则则 2021/8/11 星期三19V2=(xysin)a 124(1-cos)ab2sin =ab2cot .142 也是也是 OA=OB 时时,储物仓的容积最大储物仓的容积最大.2 ab0,cot 0,V1V2.故当长边

22、紧贴地面且故当长边紧贴地面且仓的底面仓的底面是以是以 a 为底边的等腰三角形为底边的等腰三角形时时,储物仓的容积最大储物仓的容积最大.最大值为最大值为 a2bcot .142 2021/8/11 星期三20EDFABQCPRS 解解:(1)AC=asin,AB=acos,设正方形边长为设正方形边长为 x,则则 BQ=xcot,RC=xtan.8.如图如图,某园林单位准备绿化一块直径为某园林单位准备绿化一块直径为 BC 的半圆形空地的半圆形空地,ABC 外的地方种草外的地方种草,ABC 的内接正方形的内接正方形 PQRS 为一水池为一水池,其余的地方种花其余的地方种花.若若 BC=a,ABC=,

23、设设 ABC 的面积为的面积为 S1,正方形的面积为正方形的面积为 S2.(1)用用 a,表示表示 S1 和和 S2;S1S2化时化时,求求 取最小值时的角取最小值时的角 .(2)当当 a 固定固定,变变xcot+xtan+x=a.S1=a2sin cos=a2sin2.1214x=cot+tan+1 a1+sin cos asin cos 2+sin2 asin2 =.S2=x2=()2=.2+sin2 asin2 a2sin22 4+sin22+4sin2 2021/8/11 星期三21(2)当当 a 固定固定,变化时变化时,S1S2=(a2sin2)14a2sin22 4+sin22+4

24、sin2 144sin2 4+sin22+4sin2 =(+sin2+4).sin2 44t令令 sin2=t,则则 =(t+4).S1S2142 0 ,0t1.记记 f(t)=t+,任取任取 t1,t2(0,1,且且 t1t2,则则 4t f(t1)-f(t2)=(t1+)-(t2+)4t14t2=(t1-t2)-t1t24(t1-t2)=(t1-t2)().t1t2t1t2-4t1-t20,t1t2-40.t1t2t1t2-4即即 f(t1)-f(t2)0.f(t1)f(t2).f(t)在在(0,1 上是减函数上是减函数.4 S1S2当当 t=1 时时,取最小值取最小值,此时此时,=.2021/8/11 星期三22再见2021/8/11 星期三23