高考数学专题复习精课件—28三角函数的最值.ppt

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1、三角函数的最值 2021/8/11 星期三1一、高考要求一、高考要求 1.能利用三角函数的定义域、值域、单调性和它们的图象能利用三角函数的定义域、值域、单调性和它们的图象等等,求三角函数的最大值和最小值求三角函数的最大值和最小值.2.能利用换元法求某些三角函数在给定区间上的最大值和能利用换元法求某些三角函数在给定区间上的最大值和最小值最小值.3.会把实际问题化归成三角函数的最大值和最小值问题来会把实际问题化归成三角函数的最大值和最小值问题来解决解决.最值问题是三角中考试频率最高的重点内容之一最值问题是三角中考试频率最高的重点内容之一,需要综需要综合运用三角函数概念、图象、性质以及诱导公式、同角

2、三角函合运用三角函数概念、图象、性质以及诱导公式、同角三角函数基本关系式、三角变换等数基本关系式、三角变换等,也是函数内容的交汇点也是函数内容的交汇点,常见方常见方法有法有:1.涉及正、余弦函数以及涉及正、余弦函数以及 asin+bcos,可考虑利用三角可考虑利用三角函数函数的有界性的有界性.二、重点解析二、重点解析2021/8/11 星期三2三、知识要点三、知识要点 2.形如形如 y=asin2x+bsinx+c 或或 y=acos2x+bsinx+c 的函数可通的函数可通过适当变换、配方求解过适当变换、配方求解.3.形如形如 sinx+cosx,sinxcosx 在关系式中时在关系式中时,

3、可考虑换元法可考虑换元法处理处理.常见的三角换元常见的三角换元 1.若若 x2+y2=1,可设可设 x=cos,y=sin;2.若若 ax2+y2b,可设可设 x=rcos,y=rsin,ar2b;3.对于对于 1-x2,由于由于|x|1,可设可设 x=cos(0 )或或 x=sin (-);2 2 4.对于对于 1+x2,可设可设 x=tan(-)或或 x=cot(0 );2 2 5.对于对于 x2-1,可设可设 x=sec(0 或或 )或或 x=csc (-0 或或 00,只需考察只需考察 y2 的最值的最值.=.2716y2=4cos2 cos2 sin2 2x 2x 2x 2()3 2

4、sin2 +cos2 +cos2 32x 2x 2x 仅当仅当 2sin2 =cos2 ,即即 tan =(0 x)时取等号时取等号.2x 2x 2x 22y 无最小值无最小值.当当 x=2arctan 时时,y2 取最大值取最大值 .2227164 39当当 x=2arctan 时时,y 取最大值取最大值 ;222x 2.求函数求函数 y=(1+cosx)sin (0 x0,-2a(-)+2a+b=1,12-2a1+2a+b=-5,a0,-2a(-)+2a+b=-5,12-2a1+2a+b=1.或或解得解得:a=2,b=-5 或或 a=-2,b=1.2021/8/11 星期三86.求求 y=

5、的最值及对应的的最值及对应的 x 的集合的集合.(1+sinx)(3+sinx)2+sinx 解解:y=2+sinx sin2x+4sinx+3 2+sinx(2+sinx)2-1=2+sinx-.2+sinx 1令令 2+sinx=t,则则 y=f(t)=t-(1t3).t 1对于任意的对于任意的 t1,t2 1,3,且且 t1t2 有有 f(t1)-f(t2)=(t1-)-(t2-)t11t21t1t2 1+t1t2 =(t1-t2)()0.即即 f(t1)-f(t2)0 f(t1)f(t2).f(t)在在 1,3 上是增函数上是增函数.当当 t=1 时时,ymin=f(t)min=0,此

6、时此时,sinx=-1,x 的集合为的集合为:x|x=2k-,k Z;2 x|x=2k+,k Z.2 当当 t=3 时时,ymax=f(t)max=,此时此时,sinx=1,x 的集合为的集合为:832021/8/11 星期三9 7.函数函数 y=sin2x+acosx+a-(0 x )的最大值为的最大值为 1,求求 a的的值值.2 5832解解:由已知由已知 y=-cos2x+acosx+a-5812=-(cosx-)2+a-.4a2 a25812 令令 t=cosx,则则 y=-(t-)2+a-(0t1).4a2 a25812讨论如下讨论如下:若若 0 1,则则 t=时时,由题设由题设 y

7、max=+a-=1.a2a24a2 5812解得解得 a=-4(舍去舍去)或或 a=.32解得解得 a=(舍去舍去).512若若 1,则则 t=1 时时,由题设由题设 ymax=a-=1.32a2813解得解得 a=(舍去舍去).1320综上所述综上所述 a=.322021/8/11 星期三108.若方程若方程 4sin2x-cos4x-a=0 恒有实数解恒有实数解,求求 a 的取值范围的取值范围.解法解法 1 从方程有解的角度考虑从方程有解的角度考虑.原方程即为原方程即为:2cos22x+2cos2x-3+a=0.令令 t=cos2x,则则|t|1,且且 2t2+2t-3+a=0 恒有解恒有

8、解.解得解得:-1a .72解法解法 2 从二次函数图象及性质考虑从二次函数图象及性质考虑.问题转化为问题转化为:“a 为何值时为何值时,f(t)=2t2+2t+a-3 的图象与横轴至少有一个交的图象与横轴至少有一个交点的横坐标在点的横坐标在-1,1 内内.”f(t)图象的对称轴为直线图象的对称轴为直线 t=-,12=4(7-2a)0,-2+4(7-2a)4|1,=4(7-2a)0,-2-4(7-2a)4|1,或或解得解得:-1a .720,f(-1)0,f(-1)0.f(1)0,或或 2021/8/11 星期三118.若方程若方程 4sin2x-cos4x-a=0 恒有实数解恒有实数解,求求

9、 a 的取值范围的取值范围.解法解法 3 正难则反正难则反,从反面考虑从反面考虑.f(t)图象的对称轴为直线图象的对称轴为直线 t=-,12若方程若方程 f(t)=2t2+2t+a-3=0 的两根均在的两根均在-1,1 之外之外,则则72当当=4(7-2a)0,即即 a 时时,f(1)0.解得解得:a0 时时,bsinx+acosx=-3sinx+4cosx=5sin(x+)2.函数函数 y=acosx+b(a,b为常数为常数),若若-7y1,求求 bsinx+acosx 的最大值的最大值.解得解得 a=4,b=-3,此时此时,a+b=1,-a+b=-7,(tan=-).43当当 a0 时时,

10、bsinx+acosx=-3sinx-4cosx=5sin(x+)解得解得 a=-4,b=-3,此时此时,a+b=-7,-a+b=1,(tan=).43当当 a=0 时时,不合题意不合题意.综上所述综上所述,bsinx+acosx 的最大值为的最大值为 5.2021/8/11 星期三14解解:y=1-sin2x-2asinx-a=-(sinx+a)2+a2-a+1.令令 sinx=t,则则 y=-(t+a)2+a2-a+1(-1t1).若若-a1,则当则当 t=-1 时时,y 有最大值有最大值 3.求函数求函数 y=cos2x-2asinx-a(a 为定值为定值)的最大值的最大值 M.M=-(

11、-1+a)2+a2-a+1=a;若若-1-a1,即即-1a1,则当则当 t=-a 时时,y 有最大值有最大值 M=-(-a+a)2+a2-a+1=a2-a+1;若若-a1,即即 a-1,则当则当 t=1 时时,y 有最大值有最大值 M=-(1+a)2+a2-a+1=-3a.综上所述综上所述,M=a2-a+1,-1a1,-3a,a1.2021/8/11 星期三15 4.当当 a0 时时,求函数求函数 f(x)=(sinx+a)(cosx+a)的最大值、最小值的最大值、最小值以及相应的以及相应的 x 的取值的取值.解解:f(x)=sinxcosx+a(sinx+cosx)+a2 f(x)=g(t)

12、=(t2-1)+at+a2 12=(t+a)2+a2-1.12a 为常数为常数,只需求只需求 y=(t+a)2 的最值的最值.t-2,2,且且 a0,当当 t=2,即即 x=2k+(k Z)时时,f(x)取最大值取最大值 a2+2 a+.4 12若若 0a 2,则则-2-a0,当当 t=-a 即即 x=2k arccos(-a)+(k Z)时时,f(x)取最小值取最小值 (a2-1);224 12若若 a 2,则当则当 t=-2,即即 x=2k+(k Z)时时,45 12 f(x)取最小值取最小值 a2-2 a+.令令 t=sinx+cosx,则则 t=2 cos(x-)且且 t-2,2,4

13、2021/8/11 星期三16 5.设设 0,且且 cos2+2msin-2m-20 恒成立恒成立,求求 m 的取的取值范围值范围.2 解法解法 1 由已知由已知 0sin 1 且且 1-sin2+2msin-2m-20 恒成立恒成立.令令 t=sin,则则 0t1 且且 1-t2+2mt-2m-20 对对 t 0,1 恒成立恒成立.故可讨论如下故可讨论如下:(1)若若 m0.即即 2m+10.解得解得 m-,12(2)若若 0m1,则则 f(m)0.即即-m2+2m+10.亦即亦即 m2-2m-10.解得解得:1-2m1+2,0m1;-m1,则则 f(1)0.即即 0 m+20.m R,m1

14、.综上所述综上所述 m-.12 即即 m 的取值范围是的取值范围是(-,+).122021/8/11 星期三17解法解法 2 题中不等式即为题中不等式即为 2(1-sin)m-1-sin2.0,2 0sin 1.当当 sin=1 时时,不等式显然恒成立不等式显然恒成立,此时此时 m R;当当 0sin-恒成立恒成立.1+sin2 2(1-sin)令令 t=1-sin,则则 t(0,1,且且 2t 1+(1-t)2 1t 2t m-=1-(+)恒成立恒成立.易证易证 g(t)=1-(+)在在(0,1 上单调递增上单调递增,有最大值有最大值-,1t 2t 12m-.12即即 m 的取值范围是的取值

15、范围是(-,+).12 5.设设 0,且且 cos2+2msin-2m-20 恒成立恒成立,求求 m 的取的取值范围值范围.2 2021/8/11 星期三18 6.设设 0 ,P=sin2+sin-cos.(1)若若 t=sin-cos,用用含含 t 的式子表示的式子表示 P;(2)确定确定 P 的取值范围的取值范围,并求出并求出 P 的最大值和的最大值和最小值最小值.解解:(1)t=sin-cos,t2=1-2sin cos=1-sin2.sin2=1-t2.P=1-t2+t.(2)t=sin-cos=2 sin(-).4 0 ,-,4 4 43 即即 P=-t2+t+1.-sin(-)1.

16、224 -1t 2.P=-t2+t+1 的图象是开口向下的抛物线的图象是开口向下的抛物线,其对称轴为其对称轴为 12直线直线 t=,12当当 t=时时,P 取最大值取最大值 ;54当当 t=-1 时时,P 取最小值取最小值-1.54从而从而 P 的取值范围是的取值范围是-1,.2021/8/11 星期三19 7.已知已知 f(x)=2cos2x+3 sin2x+a(a R),(1)若若 x R,求求 f(x)的的单调增区间单调增区间;(2)若若 x 0,时时,f(x)的最大值为的最大值为 4,求求 a 的值的值;(3)在在(2)的条件下的条件下,求满足求满足 f(x)=1 且且 x-,的的 x

17、 的集合的集合.2 解解:(1)f(x)=1+cos2x+3 sin2x+a=2sin(2x+)+a+1.6 由由 2k-2x+2k+得得:6 2 2 k-xk+.3 6 f(x)的单调递增区间为的单调递增区间为 k-,k+(k Z);6 3 6 (2)由由 2x+=得得 x=2 6 0,2 故当故当 x=时时,f(x)取最大值取最大值 3+a.6 由题设由题设 3+a=4,a=1.(3)在在(2)的条件下的条件下,f(x)=2sin(2x+)+2.6 2 1f(x)=1,sin(2x+)=-.6 又由题设又由题设 2x+-,6 6116132x+=-或或-或或 或或 .6 6 65 67 6

18、11x=-,-,.2 6 2 65 6 2 65 故所求集合为故所求集合为 -,-,.2 2021/8/11 星期三20 8.设设 f(x)=cos2x+asinx-(0 x ).(1)用用 a 表示表示 f(x)的最的最大值大值 M(a);(2)当当 M(a)=2时时,求求 a 的值的值.4a122 解解:(1)f(x)=-sin2x+asinx-+.4a12令令 t=sinx,则则 0t1,故有故有:f(x)=g(t)=-t2+at-+=-(t-)2+-+(0t1).4a122a4a2 4a12要求要求 f(x)的最大值的最大值 M(a),可分情况讨论如下可分情况讨论如下:g(t)在在 0,1 上先增后减上先增后减.g(t)在在 0,1 上为减函数上为减函数.当当 0,即即 a1,即即 a2 时时,2aM(a)=g()=-+;2a4a2 4a12g(t)在在 0,1 上为增函数上为增函数.M(a)=g(1)=a-.12342021/8/11 星期三21-,a2.1234若若 -+=2,即即 a2-a-6=0,4a2 4a12(2)由由(1)知知,若若 -=2,则则 a=-6;4a12解得解得 a=3 或或-2.均不合题意均不合题意,舍去舍去;1234若若 a-=2,则则 a=.310综上所述综上所述,a 的值为的值为-6 或或 .3102021/8/11 星期三22