函数的基本性质(周期)(共13页).doc

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1、精选优质文档-倾情为你奉上考点05函数的基本性质(周期性)1周期函数对于函数，如果存在一个非零常数T，使得当x取定义域内的任何值时，都有，那么就称函数为周期函数，称T为这个函数的周期2最小正周期如果在周期函数的所有周期中存在一个最小的正数，那么这个最小的正数就叫做的最小正周期（若不特别说明，一般都是指最小正周期）.注意：并不是所有周期函数都有最小正周期.3函数周期性的常用结论设函数，.若，则函数的周期为；若，则函数的周期为；若，则函数的周期为；若，则函数的周期为；函数关于直线与对称，那么函数的周期为；学科%网若函数关于点对称，又关于点对称，则函数的周期是；若函数关于直线对称，又关于点对称，则函

2、数的周期是；若函数是偶函数，其图象关于直线对称，则其周期为；若函数是奇函数，其图象关于直线对称，则其周期为.函数周期性的判断及应用（1）判断函数的周期，只需证明，便可证明函数是周期函数，且周期为T，函数的周期性常与函数的其他性质综合命题（2）根据函数的周期性，可以由函数局部的性质得到函数的整体性质，即周期性与奇偶性都具有将未知区间上的问题转化到已知区间的功能在解决具体问题时，要注意结论：若T是函数的周期，则且)也是函数的周期.（3）利用函数的周期性，可将其他区间上的求值、求零点个数、求解析式等问题，转化为已知区间上的相应问题，进而求解.典例11定义在实数集上的函数满足，且，现有以下三种叙述：是

3、函数的一个周期；的图象关于直线对称；是偶函数其中正确的序号是 6已知函数满足，若，则实数的取值范围是A B C D考向七 函数性质的综合应用函数的三个性质：单调性、奇偶性和周期性，在高考中一般不会单独命题，而是常将它们综合在一起考查，其中单调性与奇偶性结合、周期性与抽象函数相结合，并结合奇偶性求函数值，多以选择题、填空题的形式呈现，且主要有以下几种命题角度：（1）函数的单调性与奇偶性相结合，注意函数的单调性及奇偶性的定义，以及奇、偶函数图象的对称性（2）周期性与奇偶性相结合，此类问题多考查求值问题，常利用奇偶性及周期性进行交换，将所求函数值的自变量转化到已知解析式的函数定义域内求解（3）周期性

4、、奇偶性与单调性相结合，解决此类问题通常先利用周期性转化自变量所在的区间，然后利用奇偶性和单调性求解.典例12已知定义在上的奇函数满足，且在区间上是增函数，则（ ）ABCD7设是(，)上的奇函数，当时，.（1）求的值；（2）当时，求的图象与x轴所围成图形的面积；（3）写出(，)内函数的单调区间1下列函数中，既是偶函数又在区间上单调递增的是ABCD2已知函数，则函数的单调增区间是ABCD和3已知满足对，且时，（为常数），则的值为A4 B-4 C6 D-64若为奇函数，且是的一个零点，则下列函数中，一定是其零点的函数是ABCD5已知是定义在上的函数，则“均为偶函数”是“为偶函数”的A充要条件B充分

5、不必要条件C必要不充分条件D既不充分也不必要条件6设是定义在上的偶函数，对任意，都有，且当时，.若在区间内关于x的方程恰有3个不同的实数根，则a的取值范围是A(1,2)B(2，)C(1，)D(，2)7定义在R上的奇函数和定义在上的偶函数分别满足，若存在实数，使得成立，则实数的取值范围是ABCD8函数的最大值为.9函数为偶函数，则实数.10已知函数f(x)是定义在R上的周期为2的奇函数，当0x1时，f(x)=，则f()+ f(1)=.11已知是定义在上的偶函数，且在区间（，0）上单调递增.若实数a满足，则a的取值范围是.12已知是定义在上的奇函数，且，若a，b1,1，ab0时，有成立（1）试判断

6、在上的单调性，并证明；（2）解不等式；（3）若对所有的恒成立，求实数m的取值范围1（2017浙江）若函数f(x)=x2+ ax+b在区间0，1上的最大值是M，最小值是m，则M mA与a有关，且与b有关B与a有关，但与b无关C与a无关，且与b无关D与a无关，但与b有关2（2017新课标全国文科）函数的单调递增区间是ABCD3（2017北京文科）已知函数，则A是偶函数，且在R上是增函数B是奇函数，且在R上是增函数C是偶函数，且在R上是减函数D是奇函数，且在R上是减函数4（2017天津文科）已知奇函数在上是增函数若，则，的大小关系为ABCD5（2017新课标全国文科）已知函数，则A在（0，2）单调递

7、增B在（0，2）单调递减Cy=的图像关于直线x=1对称Dy=的图像关于点（1，0）对称6（2017新课标全国文科）已知函数是定义在上的奇函数，当时，,则.7（2017山东文科）已知f(x)是定义在R上的偶函数,且f(x+4)=f(x-2).若当时,则f(919)=_8（2017北京文科）已知，且x+y=1，则的取值范围是_9（2017浙江）已知aR，函数在区间1，4上的最大值是5，则的取值范围是_典例11【答案】6【答案】C【解析】因为函数满足，所以4是函数的一个周期，所以，因为，所以，解得，所以实数的取值范围是，故选C【名师点睛】利用周期性（对称性）求参数的取值范围，一般是将含有参数的函数值

8、利用周期性（对称性）转化为已知的函数值，再利用已知条件得出参数的不等式，解出参数的取值范围典例12 【答案】D7【解析】（1）由，得，是以4为周期的周期函数，.（2）由是奇函数与，得，即从而可知函数的图象关于直线对称又当时，且的图象关于原点成中心对称，则的图象如图所示：设当时，的图象与x轴围成的图形面积为S，则.（3）函数的单调递增区间为，单调递减区间为考点冲关1【答案】B2【答案】D【解析】由得，所以函数的定义域是，因为，所以函数在和上是增函数，所以函数的单调增区间是和，故选D3【答案】B【解析】由题意知满足对，即函数为奇函数，由奇函数的性质可得，则当时，选B.4【答案】B【解析】由题意可得

9、，所以的一个根为，方程可变形为，又因为为奇函数，所以，即有一个零点为.选B.5【答案】B因此，“均为偶函数”是“为偶函数”的充分不必要条件，故选B.6【答案】D【解析】是定义在上的偶函数，的图象关于y轴对称对任意，都有，是周期函数，且周期为4.当时，在区间内的图象如图所示：在区间内关于x的方程恰有3个不同的实数根可转化为函数的图象与的图象有且只有三个不同的交点，则，解得(，2).故a的取值范围是(，2).7【答案】B【解析】当时，当时，即时，的值域为.是定义在R上的奇函数，时的值域为.在R上的函数的值域为定义在上的偶函数，时，.存在实数，使得成立，令，即，即，或故选B8【答案】2【解析】，即最

10、大值为2.9【答案】4【解析】函数为偶函数, ,即,解得.10【答案】-211【答案】【解析】由题意知在上单调递减，又是偶函数，则不等式可化为，则，解得12【解析】（1）任取，且，则为奇函数，.由已知得0，0，0，即，在上单调递增（2）在上单调递增，解得.不等式的解集为.（3），在上单调递增，在上，.则问题转化为，即对恒成立下面来求m的取值范围设.若m0，则，对恒成立若m0，则为关于a的一次函数，若对恒成立，必须，且，或.m的取值范围是m0或或.直通高考1【答案】B【解析】因为最值在中取，所以最值之差一定与无关，选B【名师点睛】对于二次函数的最值或值域问题，通常先判断函数图象对称轴与所给自变量

11、闭区间的关系，结合图象，当函数图象开口向上时，若对称轴在区间的左边，则函数在所给区间内单调递增；若对称轴在区间的右边，则函数在所给区间内单调递减；若对称轴在区间内，则函数图象顶点的纵坐标为最小值，区间端点距离对称轴较远的一端取得函数的最大值2【答案】D【名师点睛】求函数单调区间的常用方法：(1)定义法和导数法，通过解相应不等式得单调区间；(2)图象法，由图象确定函数的单调区间需注意两点：一是单调区间必须是函数定义域的子集：二是图象不连续的单调区间要分开写，用“和”或“，”连接，不能用“”连接；(3)利用复合函数“同增异减”的原则，此时需先确定函数的单调性.3【答案】B【解析】，所以该函数是奇函

12、数，并且是增函数，是减函数，根据增函数减函数=增函数，可知该函数是增函数，故选B.【名师点睛】本题属于基础题型，根据与的关系就可以判断出函数的奇偶性，判断函数单调性的方法：（1）利用平时学习过的基本初等函数的单调性；（2）利用函数图象判断函数的单调性；（3）利用函数的四则运算判断函数的单调性，如：增函数+增函数=增函数，增函数减函数=增函数；（4）利用导数判断函数的单调性.4【答案】C【解析】由题意可得，且，所以，结合函数的单调性可得，即，即故选C【名师点睛】比较大小是高考的常见题型，指数式、对数式的大小比较要结合指数函数、对数函数，借助指数函数和对数函数的图象，利用函数的单调性、奇偶性等进行

13、大小比较，要特别关注灵活利用函数的奇偶性和单调性，数形结合进行大小比较或解不等式5【答案】C【名师点睛】如果函数，满足，恒有，那么函数的图像有对称轴；如果函数，满足，恒有，那么函数的图像有对称中心6【答案】12【解析】.【名师点睛】(1)已知函数的奇偶性求函数值或解析式，首先抓住奇偶性讨论函数在各个区间上的解析式，或充分利用奇偶性得出关于的方程，从而可得的值或解析式. (2)已知函数的奇偶性求参数，一般采用待定系数法求解，根据得到关于待求参数的恒等式，由系数的对等性得参数的值或方程(组)，进而得出参数的值.7【答案】【解析】由f(x+4)=f(x-2)可知,是周期函数,且,所以.8【答案】【名师点睛】本题考查了转化与化归的能力，除了像本题的方法，即转化为二次函数求取值范围，也可以转化为几何关系求取值范围，即，表示线段，那么的几何意义就是线段上的点到原点距离的平方，这样会更加简单.9【答案】【解析】，分类讨论：当时，函数的最大值为，舍去；当时，此时命题成立；当时，则：或，解得或综上可得，实数的取值范围是【名师点睛】本题利用基本不等式，由，得，通过对解析式中绝对值符号的处理，进行有效的分类讨论：；，问题的难点在于对分界点的确认及讨论上，属于难题解题时，应仔细对各种情况逐一进行讨论专心-专注-专业