图像正交变换精.ppt

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1、图像正交变换2022/11/29第1页，本讲稿共119页第4章图像变换(Image Transform)4.1 傅立叶变换简介4.2 傅里叶变换理论4.3 快速傅里叶变换4.4 傅里叶变换的性质4.5 图像傅里叶变换实例4.6 其他离散变换第2页，本讲稿共119页 线性系统理论通常用于描述电路和光学系统的行为，为采样、滤波等提供坚实的数学基础。一、定义系统：对信号施以的一种变换。可以是电路系统、光学系统甚至其他一切对信号影响的实体。线性移不变系统：具有线性和移不变特性的系统。二、研究线性系统的两种方法1、任何一个系统都有一个传递函数，它与调谐输入相乖得到对应的调谐输出。2、任何一个系统都有一个

2、实值的冲激响应，它与输入信号的卷积给出对应的输出。第3页，本讲稿共119页简介 1、背景 1768年出生于法国。傅立叶的思想：1807年，向法国科学院提交报告：任何周期函数都可以用一系列正弦波来表示。第4页，本讲稿共119页信号的分解第5页，本讲稿共119页一、图象变换的引入1.方法：对图象信息进行变换，使能量保持但重新分配。2.目的：有利于加工、处理滤除不必要信息(如噪声)，加强/提取感兴趣的部分或特征。二、方法分类 可分离、正交变换:2D-DFT ,2D-DCT ,1提取图象特征（如）：（1）直流分量：f(x,y)的平均值=F(0,0)；（2）目标物边缘：F（u,v）高频分量。2图像压缩：

3、正交变换能量集中，对集中（小）部分进行编码。3图象增强：低通滤波，平滑噪声；高通滤波，锐化边缘。三、用途2D-DHT,2D-DWT 。傅立叶变换作用第6页，本讲稿共119页连续周期函数的傅立叶级数及非周期信号的傅立叶变换第7页，本讲稿共119页an cos(n)bn sin(n)g()cos(n)d g()sin(n)d一、连续周期函数的傅立叶级数 周期为2周期为2的函数g()，若在一个周期内只有有限个极值点和不连续点，并且在一个周期内绝对可积，则它可以展成傅里叶三角级数：其中：n1a02g()an bn 11第8页，本讲稿共119页 2 2 2 an cosna0 xbn sinnTxT x

4、0 2xdx 周期为T周期为T的函数将它展开成傅立叶三角级数时展开式，只是要根据对应关系将换算成x，它们之间的换算关系是，x 所以有 g(x)2 n1 T T其中：bn g(x)sinn T2 x0T第9页，本讲稿共119页1 md x md 0 xd0d2d2、举例有一缝宽和缝距相等的矩形光栅，振幅透过率为：其中，m为整数，将它展开成傅立叶三角级数。函数图形如下所示：g(x)其它d2g(x)第10页，本讲稿共119页2sin(2k 1)x、sin2x、sin6x、sin10 x、取前项：绘图如下：sin14x27251 2 22 3解：g(x)xbn sinn x2 n1 d d 2 d 2

5、 1 n 0g(x)cosn d g(x)sinn xdx sinn xdxd d d d 1n 2,4,6,.2k其中k=0,1,2,。于是：12g(x)2 dk0(2k 1)第11页，本讲稿共119页第12页，本讲稿共119页C ne x3、指数形式通过欧拉公式，把正弦函数、余弦函数和指数函数联系起来，不难证明傅里叶三角级数可以写成指数级数的形式。若g(x)的周期为T，在一个周期内只有有限个极值点和不连续点，并且在一个周期内绝对可积。则g(x)可以展开成傅立叶指数级数：其中：nxjn2Tg(x)xjndxC n x0 T0g(x)e1T2T第13页，本讲稿共119页T x0g(x)dx 0

6、T x0 xg(x)cos(nx)dx 1 x0Tx0 g(x)e dx xg(x)cos(nx)dx 证明如下：取n为任一正整数a21 x0TC0 x jndxCn g(x)e1 x0T2T1Tan jbn2x)j sin(nx0 T02T2TT2jn xTCn 1Tan jbn2x)j sin(nx0 T02T2T第14页，本讲稿共119页 Ce 2 2C0 Cne T Cne 2an cos nx bn sin nx jnxn2Tng(x)jn x jn xTn1 cosn x jsinn x n1 2 T T即：得证。n1 Ta02 2T第15页，本讲稿共119页傅立叶级数第16页，本

7、讲稿共119页 事实上周期函数只是数学上的描述，对于一切物理过程严格来说都是非周期的。有些物理过程可以用周期函数来近似描述，象前面介绍的矩形光栅的例子，只有当光栅常数比光栅总宽度小得多的时，也就是总缝数很大时才可以用周期函数来描写这种光栅，当然这种描写仍是近似的。还有相当多的物理现象，只发生在有限的空间范围和时间间隔内，这样的现象对于空间和时间来说是非周期的。对于大量非周期函数的展开，首先可以以它有非零值的范围（空间范围或时间间隔）为周期，将它延拓成为周期函数。右图中g(x)为非周期函数：T2T2第17页，本讲稿共119页当x T,T时，有：C e因为有：Cn 1 2 T gegTx将g(x)

8、延拓后，为gT(x)函数：T T2 2将延拓后的周期函数展开，得到的傅立叶级数，该函数在所取周期，与原函数完全相同。即nxjnn2T 2 2TT 2gx gTx2 jndT T 2 2Tn第18页，本讲稿共119页1 n 则有：g(x)limde T1 nQ(f)df lim f Q(fn)lim n TTTn显然，当T趋近无穷大时，对g(x)在任何x点都是成立的，假设有一函数Q(f)，其对整个坐标轴的积分可以表示如下：因为有：所以：xjn jn22T2TTT T g()e21f1Tf 1Tf 1Tf 0f1f2f3fnfQf 见下图。nT,.,fn nf 2T1T,f2 2f f0 0,f1

9、 f Q()f 0第19页，本讲稿共119页1 n 2 T g()eTTde T TQ(f)df lim二、傅立叶变换两个公式放在一起对比一下：则：上两式叫做傅立叶变换对。由g(x)得到G(f)的公式叫做傅立叶变换，G(f)称为原函数g(x)的频谱函数。记作 F(f)=Fg(x)。求原函数的公式叫做傅立叶逆变换，记作 g(x)=-1F(f)。xjn jn22TT2g(x)limQ()1 nTT n即：dx j2fx如果令：G(f)g(x)eg(x)G(f)e j2fxdf第20页，本讲稿共119页 数字图像为二维函数，下面给出二维傅立叶变换公式：正变换：F(u,v)f(x,y)exp j2(u

10、xvy)dxdy逆变换：f(x,y)F(u,v)exp j2(uxvy)dudv第21页，本讲稿共119页 一个周期函数，必须在一个周期内只有有限个极值点和间断点，并且要求在一个周期内绝对可积，才能展成傅立叶级数。对于非周期函数，我们将它延拓为周期是无穷的周期函数而得到傅立叶积分。显然非周期函数能进行傅立叶变换必须满足：在整个xy平面内函数只有有限个极值点和间断点，对整个xy平面绝对可积。但是，不少有用的函数是不满足以上条件的。为此必须把以上傅里叶变换定义推广。在推广定义以后不少不满足上述条件的函数可以求出其变换式。广义傅立叶变换第22页，本讲稿共119页 若有一个函数序列fn(x,y)存在傅

11、里叶变换，对应的谱函数为函数序列Fn(u,v)。函数f(x,y)不存在傅立叶变换，但f(x,y)是fn(x,y)当n时的极限，则定义当n时Fn(u,v)的极限F(u,v)为f(x,y)的广义傅立叶变换。F 1(u,v)F2(u,v)Fn(u,v)F(u,v)f1(x,y)存在f 2(x,y)存在f n(x,y)存在存在f(x,y)定义存在第23页，本讲稿共119页sgn(x)例如，对于符号函数：显然对整个坐标轴不可积。对于函数序列：1 x 01 x 0n nxfn(x)e xenx 00 x 0n 0 x xn n 022n n所以：122n第24页，本讲稿共119页F ,若则：相似定理说明原

12、面数空域坐标(x,y)“伸展”，其频谱函数在频率域中是“收缩”，并且高度也有相应变化。而当原函数在空域坐标中“收缩”时，则其频谱函数在频率城中变宽。u va bFfax,by1abFf(x,y)F(u,v)傅立叶变换的性质 线性定理a、b为任意复常数，g(x,y)、h(x,y)存在傅立叶变换，则：Fag(x,y)bh(x,y)aFg(x,y)bFh(x,y)相似性定理第25页，本讲稿共119页 位移定理若则：Ff(xa,y b)F(u,v)exp j2(aubv)即原函数在空域中平移，频谱函数在频率域中有相应的相移，相移大小与u、v呈线性关系。显然不论原函数在空域中如何平移，零频分量总是一样的

13、，因为此时u、v=0。同样原函数在空域中的相移，引起的是频谱函数在频率域中的平移，即F 1F(u a,v b)f(x,y)exp(j2(axby)Ff(x,y)F(u,v)第26页，本讲稿共119页f(x,y)dxdy 帕色伏定理若则：这个结果可以理解为能量守恒的表达式。卷积定理22F(u,v)dudvFf(x,y)F(u,v)Ff(x,y)F(u,v)Fh(x,y)H(u,v)则：Ff(x,y)*h(x,y)F(u,v)H(u,v)卷积定理表明，两个函数在空域内的卷积，得到新函数的频谱等于原来两个函数各自的乘积。这样就把空域中卷积转化为频域中乘积。第27页，本讲稿共119页),(),(),(

14、y x f y x f y x f ),(),(),(1 1 y x f y x f y x f 傅立叶积分定理卷积定理证明如下：g(x,y)*h(x,y)g(,)h(x,y)ddexp j2(uxvy)dxdy g(x,y)*h(x,y)exp j2(uxvy)dxdy g(,)h(x,y exp j2(uxvy)dxdydd g(,)H(u,v)exp j2(u v)dd H(u,v)g(,)exp j2(u v)ddG(u,v)H(u,v)1 1 F 第28页，本讲稿共119页 可分离变量性若则：F f(x,y)exp j2(uxvy)dxdyx(x)f y(y)exp j2(uxvy)

15、dxdy fx(x)exp(j2ux)dx f y(y)exp(j2vy)dyf(x,y)fx(x)f y(y)Ff(x,y)Ffx(x)Ff y(y)证明：fx,y f Ffx(x)Ff y(y)第29页，本讲稿共119页原函数谱函数1(u,v)(x,y)1(xx0,yy0)expj2(ux0vy0)expj2(axby)(ua,vb)cos(2f0 x)(uf0)(uf0)2(xx0)(xx0)2cos(2fx0)sin(2f0 x)(ff0)(ff0)2j(xx0)(xx0)2jsin(2fx0)rect(x)rect(y)sinc(u)sinc(v)(x)(y)22sinc(u)sin

16、c(v)comb(x)comb(y)comb(u)comb(v)22exp(xy)22exp(uv)第30页，本讲稿共119页xe j2fxdx 1e j的 f 0变换 2cos2xf f0dx lim2 cos2xf f0dx 函数的变换函数的傅立叶变换为：2 x可以通过位移定律间接导出，也可以由定理直接推出。0 0Fj2f0 x lim2 sinc2f f0f f0sin2 f f02f f0 lim2 Fx同理可得：FA0 x A0由位移定律可得：Fx x0 e j2x0 fe举例第31页，本讲稿共119页 Fsinx sinxee jx e jx j2fx1 e j2 f 1 e1dx

17、 e f 2 f 2 sin(x)的变换dxedx j2fx2jdxdx e2 j j2f 1 j2f 1dx j2 f 1 2 2 2j 1 1 1 2j 举例第32页，本讲稿共119页combxx n,n为整数Cn 1dx 1e j2nx Fcombx Fe F e f n combf comb(x)的变换comb(x)函数称梳状函数，定义为：换称傅立叶指数级数：n函数图形如右图所示，周期T为1。可以将此函数首先转combx01233 2 1xcombxCne j2nxn122122comb(x)e j2nx(x)e j2nxdx 1n所以：combxj2nxnn nj2nx举例第33页，

18、本讲稿共119页 :fx4.2 离散傅里叶变换（Discrete FourierTransform）函数fx的一维离散傅里叶变换由下式定义：N 1:Fx0义为：u 0,1,2,.,N 1 Fu1N 1u01NFue j2ux/N第34页，本讲稿共119页相位:能量谱傅里叶频谱：Fu R2u I 2uu arctanIu/Ru22u I 2u RPu Fu4.2 离散傅里叶变换（Discrete FourierTransform）第35页，本讲稿共119页4.2 离散傅里叶变换（Discrete FourierTransform）同连续函数的傅里叶变换一样，离散函数的傅里叶变换也可推广到二维的情

19、形，其二维离散傅里叶变换定义为：1Nf x,ye j2(uxvy)/NN1 N1x0 y0Fu,v 式中u 0,1,.,N 1，v 0,1,.,N 1。二维离散傅里叶反变换定义为N 1N 1u0 v01Nfx,yFu,ve j2(uxvy)/N第36页，本讲稿共119页Pu,v Fu,v R2u,v I2u,v傅里叶频谱：相位：能量谱：4.2 离散傅里叶变换（Discrete FourierTransform）式中 x 0,1,.,N 1，y 0,1,.,N 1式中u、v是频率变量。与一维的情况一样，二维函数的离散傅里叶谱、能量和相位谱为:Fu,v R2u,v I 2u,vIu,vRu,vu,

20、v arctan2第37页，本讲稿共119页示例 1、编写程序，计算二维离散傅立叶级数 2、讨论算法执行的时间第38页，本讲稿共119页快速傅里叶变换(FFT)并不是一种新的变换，它是离散傅里叶变换(DFT)的一种算法。这种方法是在分析离散傅里叶变换(DFT)中的多余运算的基础上，进而消除这些重复工作的思想指导下得到的，所以在运算中大大节省了工作量，达到了快速的目的。4.3 快速傅里叶变换(Fast FourierTransform)第39页，本讲稿共119页4.3.1 引言 FFT:Fast Fourier Transform 1965年，Cooley-Turky 发表文章机器计算傅里叶级数

21、的一种算法，提出FFT算法，解决DFT运算量太大，在实际使用中受限制的问题。FFT的应用。频谱分析、滤波器实现、实时信号处理等。DSP芯片实现。TI公司的TMS 320c30，10MHz时钟，基2-FFT1024点FFT时间15ms。第40页，本讲稿共119页 IFFT y(n)x(n)FFTh(n)FFT 典型应用：信号频谱计算、系统分析等频谱分析与功率谱计算DFT系统分析x(n)h(n)y(n)第41页，本讲稿共119页 k 0 X(k)WN1 N1 knNx(n)直接计算DFT的问题及改进途径1、DFT与IDFTN点有限长序列x(n)N1knNn0第42页，本讲稿共119页实数乘法实数加

22、法一次复乘42一次复加2一个X(k)4N2N+2(N1)=2(2N1)N个X(k)(N点DFT)24N2N(2N1)IDFT运算量与DFT复数乘法复数加法一个X(k)NN1N个X(k)(N点DFT)2NN(N1)()x n W DFT与IDFT运算特点nkNN1n0a jbc jd acbd jad cb相同。第43页，本讲稿共119页(WN )WN nk WNNn)k WN(Nk)WWWN NWN Nnk *对称性nkNW(Nn)kNn(Nk)NWW周期性降低DFT运算量的考虑 j nknkNNk nk nN nk nk mnk nk nk/mN mN N N/m j j mnk N 2mN

23、0第44页，本讲稿共119页FFT算法分类:时间抽选法DIT:Decimation-In-Time 频率抽选法DIF:Decimation-In-FrequencyFFT算法的基本思想：利用DFT系数的特性，合并DFT运算中的某些项，把长序列DFT 短序列DFT，从而减少其运算量。第45页，本讲稿共119页)2()(1 r x r x按时间抽取（DIT）的FFT算法12.，r 0，N/21x2(r)x(2r 1)（Decimation In Time）1、算法原理设序列点数 N=2L，L 为整数。若不满足，则补零N为2的整数幂的FFT算法称基-2FFT算法。将序列x(n)按n的奇偶分成两组：第

24、46页，本讲稿共119页 DFT x(n)x(n)WN knx(2r)WN N/21 (2r1)kx(2r 1)WN r 0 x1(r)WN rk/2 WN k x2(r)WN rk/2 将N点DFT定义式分解为两个长度为N/2的DFTN1n0X(k)2rkr0 N/21n为奇r 0n为偶r 0N/21 N/21X(k)X1(k)WN kX2(k)记：（1）X1(k)（这一步利用：WN 2rk WN rk/2X2(k)）r,k 0,1,.N/21第47页，本讲稿共119页WWX1k x1(r)WN r(/N 2/2k)x1(r)WN rk/2 X1(k)k X2(k)X2k又WN W W W2

25、X(N k)X (N k)W(N/2k)X (N k)222再利用周期性求X(k)的后半部分NN/2 kN NkN N 2 N 2N/21 N/21 r0 r0rkN/2r(N/2k)N/2(2)X(k)X1(k)WN kX2(k)，k 0,1,2,.N/211 N 2 X1(k)WN kX2(k)，k 0,1,2,.N/21第48页，本讲稿共119页X(k 2)X1(k)WN X 2(k)将上式表达的运算用一个专用“蝶形”信流图表示。X1(k)WN kX2(k)X1(k)WN kX2(k)X1(k)X2(k)WN kkk X(k)X1(k)WN X 2(k)Nk 0,1,.,N/21注：a.

26、上支路为加法，下支路为减法；b.乘法运算的支路标箭头和系数。第49页，本讲稿共119页N 8 2用“蝶形结”表示上面运算的分解：3x(0)x(2)x(4)x(6)x(1)x(3)x(5)x(7)X(0)X(1)X(2)X(3)X(4)X(5)X(6)X(7)WN 0WN 1WN 2WN 3X1(0)X1(1)X1(2)X1(3)X 2(0)X 2(1)X 2(2)X 2(3)N2点DFTN2点DFT第50页，本讲稿共119页复数乘法复数加法一个N/2点DFT2(N/2)N/2(N/21)两个N/2点DFT2N/2N(N/21)一个蝶形12N/2个蝶形N/2N总计2N/2N/22N/2NN/21

27、N2N/2分解后的运算量：运算量减少了近一半第51页，本讲稿共119页(2l 1)xX1 3(k)WN k/2 4(k)(k)X X进一步分解M N2DFT又可同样进一步分解为4个 点的DFT。4 x1(2l)x3(l)x1 4(l)l 0,1,.,N/41kX1(k)X3(k)WN/2X4(k)N4N4k 0,1,.,1第52页，本讲稿共119页点点WN 0/2WN 1/2x4(l)x(2)x(6)x(0)x(4)X1(0)X1(1)X1(2)X1(3)X3(0)X3(1)X4(0)X 4(1)N4DFTN4DFT蝶形”信流图表示x3(l)第53页，本讲稿共119页点点点W点.N点DFT分解

28、为四个N/4点的DFTN4DFTN4DFTN4DFTN4DFTx(2)x(6)x(0)x(4)x(1)x(5)WN 0WN 2WN 0WN 2WN 01NWN 2WN 3X(0)X(1)X(2)X(3)X(4)X(5)X(6)X(7)X(k)x(3)x(7).x(n)第54页，本讲稿共119页类似进一步分解 类似的分解一直继续下去，直到分解为最后的两类蝶形运算为止(2点DFT).如上述N=8=23，N/4=2点中：1点DFTx(0)1点DFTx(4)X3(0)X3(1)02W第55页，本讲稿共119页x(0)WN/4x(4)x(0)WNx(4)x(0)WN/4x(4)x(0)WNx(4)进一步

29、简化为蝶形流图：0NWX3(0)X3(1)x(0)x(4)0001X3(0)X3(1)因此8点FFT时间抽取方法的信流图如下第56页，本讲稿共119页WWWW.第三级x(2)x(6)x(0)x(4)x(1)x(3)x(5)x(7)WN 00N0N0NWN 0WN 2WN 0WN 2第一级 第二级X0(k)m1 X1(k)m 2 X 2(k)m 31NWN 0WN 2WN 3X(0)X(1)X(2)X(3)X(4)X(5)X(6)X(7)X3(k)第57页，本讲稿共119页FFT运算量与运算特点1 N=2L时，共有L=log2N级运算；每一级有N/2个蝶形结。2每一级有N个数据中间数据），且每级

30、只用到本级的转入中间数据，适合于迭代运算。3计算量：每级N/2次复乘法，N次复加。（每蝶形只乘一次，加减各一次）。共有L*N/2=N/2log2N 次复乘法；复加法L*N=Nlog2N 次。与直接DFT定义式运算量相比(倍数)N2/(Nlog2N)。当 N大时，此倍数很大。第58页，本讲稿共119页()F m DFTN2N2()log F m FFT N22Nlog2 N 比较DFT可以直观看出，当点数N越大时，FFT的优点更突出。第59页，本讲稿共119页按时间抽取FFT蝶形运算特点1、关于FFT运算的混序与顺序处理（位倒序处理）由于输入序列按时间序位的奇偶抽取，故输入序列是混序的，为此需要

31、先进行混序处理。混序规律：x(n)按n位置进行码位（二进制）倒置规律输入，而非自然排序，即得到混序排列。所以称为位倒序处理。位倒序实现：（1）DSP实现采用位倒序寻址（2）通用计算机实现可以有两个方法：一是严格按照位倒序含义进行；二是倒进位的加N/2。第60页，本讲稿共119页倒位序自然序00000000100410010102201011063011001141001015510101136110111771111x(n)n (n2nn0)2倒位序第61页，本讲稿共119页第62页，本讲稿共119页x(n)n n，0,1,2.31计算。计算x(13)13 169x(13)22 484例问倒序

32、前寄存器的数据值？2N 32 点FFT。用时间抽取输入倒序算法，x(13)和倒序后 x(13)的数2N 32 25(13)10 (01101)22解：倒序前倒序倒序为 (10110)2 (22)10倒序后第63页，本讲稿共119页(N 2 )DIT FFT中最主要的蝶形运算实现（1）参与蝶形运算的两类结点（信号）间“距离”（码地址）与其所处的第几级蝶形有关；第mL级的“结距离”为2m1，m 1,2,.L(即原位计算迭代）（2）每级迭形结构为Xm(k)Xm1(k)Xm1(k 2m1)WN r第64页，本讲稿共119页（3）WN的确定：蝶形运算两节点的第一个节点为k值，表示成L位二进制数，左移L

33、m位，把右边空出的位置补零，结果为r的二进制数。Lmr (k)2 2r第m级的r取值：WN k第65页，本讲稿共119页DIT算法的其他形式流图输入倒位序输出自然序输入自然序输出倒位序输入输出均自然序相同几何形状 输入倒位序输出自然序 输入自然序输出倒位序第66页，本讲稿共119页时间抽取、输入自然顺序、输出倒位序的FFT流图WN 0WN 0WN 0WN 2 1 1 1WN 0 1WN 0WN 2 1 1 1 1X(0)x(0)X(4)x(1)X(2)x(2)X(6)X(1)x(3)x(4)X(5)x(5)X(3)x(6)X(7)x(7)1 1WN 0WN 0WN 2WN 1WN 3 1 1第

34、67页，本讲稿共119页例用FFT算法处理一幅NN点的二维图像，如用每秒可做10万次复数乘法的计算机，当N=1024时，问需要多少时间（不考虑加法运算时间）？解 当N=1024点时，FFT算法处理一幅二维图像所需复数乘法约为分之一。即原需要3000小时，现在只需要2 分钟。log2 N 2 107 次，仅为直接计算DFT所需时间的10万N 22第68页，本讲稿共119页e y 0 f x,yeF(x,v)N x 04.4.1可分离性（Separability）4.4 傅里叶变换的性质(Characteristics ofFourier Transform)1Nf(x,y)e j2(uxvy)/

35、NN 1 N 1x0 y0F(u,v)N1x0N1y01NFu,vfx,ye j2vy/N j2ux/Nv 0,1,N 11 N1NFx,ve j2ux/NFu,v u,v 0,1,N 1每1列求变换再乘以 N 1 N1 j2vy/N Nx,v 每1行求傅里叶变换再对F第69页，本讲稿共119页4.4 傅里叶变换的性质(Characteristics ofFourier Transform)可分离性（Divisibility）F(x,v)图4.5 由2步1-D变换计算2-D变换第70页，本讲稿共119页 u 0 v 0 F(u,v)eeFu,ve1NN1N1j2(uxvy)/Nf(x,y)N

36、1u0N 1v01Nfx,yj2vy/Nj2ux/N4.4 傅里叶变换的性质(Characteristics ofFourier Transform)第71页，本讲稿共119页4.4 傅里叶变换的性质(Characteristics ofFourier Transform)4.4.2平移性质（Translation）f(x,y)ej2ux0v0y/N F(u u0,v v0)j2ux0vy0/Nf(x x0,y y0)F(u,v)e(1)xy e j(xy)1 e jf x,y 与一个指数相乘等于将变换后的频率域中心移到新的位置。f x,y的平移将不改变频谱的幅值（amplitude）。第72

37、页，本讲稿共119页4.4 傅里叶变换的性质(Characteristics ofFourier Transform)4.4.3周期性和共轭对称性（Periodicity andConjugate Symmetry）傅里叶变换和反变换均以N 为周期，即Fu,v Fu N,v Fu,v N Fu N,v N（4.29）上式可通过将右边几项分别代入式（4.16）来验证。它表明，尽管 Fu,v有无穷多个u 和v 的值重复出现，但只需根据在任一个周期里的 N个值就可以从Fu,v 得到 fx,y。第73页，本讲稿共119页频谱的周期性F(u,v)F(uM,vN)第74页，本讲稿共119页第75页，本讲稿

38、共119页共轭对成性（4.30）（4.31）4.4 傅里叶变换的性质(Characteristics ofFourier Transform)如果 fx,y 是实函数，则它的傅里叶变换具有Fu,v F u,vFu,v F u,v第76页，本讲稿共119页4.4 傅里叶变换的性质(Characteristics ofFourier Transform)4.4.4旋转性质（Rotation）f(x,y)Fu,vx rcosy rsinu wcosv wsinf(r,0)F(w,0)上式表明，对 f(x,y)旋转一个角度 0F(u,v)对应于将其傅里叶变换也旋转相同的角度 0第77页，本讲稿共119

39、页例4.4二维离散傅立叶变换的旋转性（具体程序参见书）。（a）原始图像（b）原图像的傅（c）旋转后的图像（d）旋转后图像的傅里叶频谱4.4 傅里叶变换的性质(Characteristics ofFourier Transform)里叶频谱上例表明，对 fx,y旋转一个角度0对应于将其傅里叶变换Fu,v也旋转相同的角度0。第78页，本讲稿共119页分配律(Distribution Law)根据傅里叶变换对的定义可得到：（4.33）4.4 傅里叶变换的性质(Characteristics ofFourier Transform)f1x,y f2x,y f1x,yf2x,y上式表明傅里叶变换和反变换

40、对加法满足分配律，但需注意对乘法则不满足，一般有：f1x,y f2x,y f1x,yf2x,y（4.34）4.4.5分配律（Distribution Law）第79页，本讲稿共119页F ,4.4 傅里叶变换的性质(Characteristics ofFourier Transform)4.4.6尺度变换（Scaling）afx,y aFu,v u v a b1abfax,by第80页，本讲稿共119页4.4 傅里叶变换的性质(Characteristics ofFourier Transform)【例4.5】比例尺度展宽。（a）原始图像（b）比例尺度展宽前的频谱（c）比例尺度a=0.1，b=

41、1，展宽后的频谱第81页，本讲稿共119页 fx,y fx,ye Nfx,y对一个2-D离散函数，其平均值可用下式表示：（4.37）4.4 傅里叶变换的性质(Characteristics ofFourier Transform)N 1N 1x0 y01N 2f(x,y)当正反变换采用相同的标度数1/N时，傅里叶变换域原点的频谱分量为：1NN 1N 1x0 y0N 1N 1x0 y0 x0 y0 j N f(x,y)1N 2F0,02N4.4.7平均值（Average Value）第82页，本讲稿共119页（4.39）4.4 傅里叶变换的性质(Characteristics ofFourier

42、 Transform)两式比较可得：F0,01Nf(x,y)也就是说，频谱的直流成分 N 倍于图像平面的亮度平均值。在使用诸如高通滤波器的场合，其F0,0值会衰减，因为图像的亮度在很大程度上受到影响，采用对比度拉伸的方法可以缓和这种衰减。第83页，本讲稿共119页fx gx4.4 傅里叶变换的性质(Characteristics ofFourier Transform)4.4.8 卷积定理(Convolution Theorem)卷积定理是线性系统分析中最重要的一条定理。下面先考虑一维傅里叶变换：fzgx zdz FuGu（4.40）同样二维情况也是如此fx,y gx,y Fu,vGu,v（4

43、.41）第84页，本讲稿共119页例4.6对一副图进行傅里叶变换，求出其频谱图，（a）原图（b）频谱图（c）中心移到零点的频谱图图4.8二维离散傅里叶变换结果中频率成分分布示意图（结果看下）4.5 图像傅里叶变换实例(Examples ofFourier Transform Images)xy变换的频谱图（程序参照例4.2）。第85页，本讲稿共119页频成分。对原图乘以 后进行傅里叶变换，观察 1图4.8（a）为原图，对其求傅里叶变换得到图4.8（b）傅里叶变换的频谱图，观察频谱图可知，在未平移前，图（b）坐标原点在窗口的左上角，即变换后的直流成分位于左上角，而窗口的四角分布低频谱图（c）可知

44、，变换后的坐标原点移至频谱图窗口中央，因而围绕坐标原点是低频，向外是高频。4.5 图像傅里叶变换实例(Examples ofFourier Transform Images)x y第86页，本讲稿共119页通过例4.6可知，图像的能量主要集中在低频区，即图像的中央位置，而相对的高频区（左上、右上、左下、右下四个角）的幅值很小或接近于0。以后傅里叶变换都进行相似平移处理，将不再重复叙述。4.5 图像傅里叶变换实例(Examples ofFourier Transform Images)第87页，本讲稿共119页例4.7：图4.8（a）乘以一指数，将图像亮度整体变暗，并求其中心移到零点的频谱图（详

45、细程序参加书）。（a）变暗后的图（b）变暗后中心移到零点的频谱图图4.9二维离散傅里叶变换结果中频率成分分布示意图4.5 图像傅里叶变换实例(Examples ofFourier Transform Images)第88页，本讲稿共119页所示。对其亮度平均变暗后的图像进行傅里叶变换，并将坐标原点移到频谱图中央位置，结果如图4.9（b）所示。对比图4.8（c）和4.9（b）后，可以看出当图片亮度变暗后，中央低频成分变小。故从中可知，中央低频成分代表了图片的平均亮度，当图片亮度平均值发生变化时，对应的频谱图中央的低频成分也发生改变。4.5 图像傅里叶变换实例(Examples ofFourier

46、 Transform Images)将原图（a）函数乘以 e1，结果如图4.9（a）第89页，本讲稿共119页例4.8：图4.8（a）加入高e 斯噪声，得出一个有颗（a）有颗粒噪音（b）有颗粒噪音中心移到零点的频谱图图4.10二维离散傅里叶变换结果中频率成分分布示意图4.5 图像傅里叶变换实例(Examples ofFourier Transform Images)1粒噪音的图，并求其中心移到零点的频谱图（程序如例4.7）。第90页，本讲稿共119页例4.9：对中心为一小正方形和以斜长方形求其傅里叶变换的谱分布（程序见例4.4）。（a）正方形原图 （b）正方形的谱分布（c）长方形的原始（d）长

47、方形的谱分布图像图4.11傅氏变换谱分布实例4.5 图像傅里叶变换实例(Examples ofFourier Transform Images)第91页，本讲稿共119页图4.11示出两幅图像经傅氏变换后的频谱分布例子。左边均为原始图像，右边分别是他们变换后的谱分布。图（a）是中心为一小正方形，周边为空；图(c)是中心为斜置的小矩形。谱分布中，最亮区域表示其变换后的幅值最大。对（c）傅里叶变换后中心移到零点后的结果，我们可以发现当长证了傅里叶变换的旋转性。4.5 图像傅里叶变换实例(Examples ofFourier Transform Images)方形旋转了45时，频谱也跟着旋转 45，

48、此实例验第92页，本讲稿共119页例4.10:对一副图片如图4.12（a）求其幅值谱和相位谱，并对幅值谱和相位谱分别进行图像构，对比其所求结果(详细程序参加书)。（a）原图4.5 图像傅里叶变换实例(Examples ofFourier Transform Images)第93页，本讲稿共119页4.5 图像傅里叶变换实例(Examples ofFourier Transform Images)（b）幅值谱（c）相位谱（d）幅值谱重构图像（e）相位谱重构图像图4.12傅里叶图像及其傅里叶变换第94页，本讲稿共119页4.5 图像傅里叶变换实例(Examples ofFourier Transf

49、orm Images)对图4.12（a）进行离散傅里叶变换，得出幅值谱图（b），相位谱图（d）及幅值谱重构图像图（c），相位谱重构图像图（e）。从实验结果可以看出，从幅值谱图像中得到的信息比在相位谱图像中得到的信息多，但对幅值谱图像重构后，即忽略相位信息，将其设为0，所得到的图像与原始图像相比，结果差别很大；而对相位谱图像重构后，及忽略幅值信息，将其设为常数，可以从中看出图像的基本轮廓来。第95页，本讲稿共119页图像处理中常用的正交变换除了傅里叶变换外，还有其它变换。在图像处理中常用到的有离散余弦变换、沃尔什等。4.6 其他离散变换 （Other DiscreteTransform）第96页

50、，本讲稿共119页 fx（4.43）（4.44）4.6.1离散余弦变换(Discrete CosineTransform)一维离散余弦变换的定义由下式表示N 1x01NF0N 1x0fxcos2NFu2x 1u2N第97页，本讲稿共119页 u1Fucos 2N （4.45）NF01Nfx2 N1 2x1uu4.6.1离散余弦变换(Discrete CosineTransform)式中Fu是第u个余弦变换系数，是广义频率变量，u1,2,3,.,N 1;fx是时域N点实序列.一维离散余弦反变换由下式表示第98页，本讲稿共119页 fx,y2y1v x 0 y0 fx,ycos 2N4.6.1离散