经济数学泰勒级数与幂级数优秀课件.ppt
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1、经济数学泰勒级数与幂级数第1页,本讲稿共40页一、泰勒级数的概念一、泰勒级数的概念由泰勒公式知由泰勒公式知,如果函数如果函数在点在点 的某领域内的某领域内有有 阶导数阶导数,则对于该领域内的任意一点则对于该领域内的任意一点,有有其中其中介于介于 与与之间之间.第2页,本讲稿共40页定理定理 1设设在区间在区间 内存在任意阶内存在任意阶的导数的导数,幂级数幂级数的收敛区间的收敛区间为为则在区间则在区间 内内成立的充分必要条件是成立的充分必要条件是:在该区间内在该区间内式右边的级数称为式右边的级数称为在点在点 处的处的泰勒泰勒级数级数.第3页,本讲稿共40页麦克劳林级数麦克劳林级数时的泰勒级数时的
2、泰勒级数称为称为 的的麦克劳林级数麦克劳林级数.注注:由上节定理由上节定理 可知可知,如果函数如果函数 能在某个能在某个区间内展开成幂级数区间内展开成幂级数,则它必定在这个区间内的每则它必定在这个区间内的每一点处具有任意阶的导数一点处具有任意阶的导数.即即没有任意阶导数的函没有任意阶导数的函函数的麦克劳林级数函数的麦克劳林级数数是不可能展开成幂级数的数是不可能展开成幂级数的.是是 的幂级数的幂级数,可以证明可以证明,如果如果 能展开成能展开成 的的第4页,本讲稿共40页是是 的幂级数的幂级数,可以证明可以证明,如果如果 能展开成能展开成 的的幂级数幂级数,则这种展开式是唯一的则这种展开式是唯一
3、的,的麦克劳林级数的麦克劳林级数.它一定等于它一定等于 由函数由函数 的展开式的唯一性可知的展开式的唯一性可知,展开成展开成的幂级数的幂级数,克劳林级数克劳林级数.但是但是,反过来如果反过来如果 的麦克劳林级的麦克劳林级它却不一定收敛于它却不一定收敛于数在点数在点 的某领域内收敛的某领域内收敛,如果如果能能则这个幂级数就是则这个幂级数就是的麦的麦第5页,本讲稿共40页例如例如,函数函数在在 点任意阶可导点任意阶可导,所以所以 的麦克劳林级数为的麦克劳林级数为该级数在该级数在内和函数内和函数显然显然,的麦氏级数处处不收敛于的麦氏级数处处不收敛于且且除除 外外,第6页,本讲稿共40页因此因此,虽然
4、虽然当当 在在 处具有各阶导数时处具有各阶导数时,的麦克劳林级数能被作出来的麦克劳林级数能被作出来,是否能在某个区间内收敛是否能在某个区间内收敛,却需要进一步考虑却需要进一步考虑.但这个级数但这个级数以及是否收敛于以及是否收敛于第7页,本讲稿共40页二、将函数展开成幂级数的方法步骤步骤:(一一)直接法直接法第8页,本讲稿共40页既:既:把函数把函数 展开成泰勒级数展开成泰勒级数,可按下列步骤进行可按下列步骤进行:计算计算写出对应的泰勒级数写出对应的泰勒级数并求出该级数的收敛区间并求出该级数的收敛区间验证在验证在 内内,写出所求函数写出所求函数 的泰勒级数及其收敛区间的泰勒级数及其收敛区间.完完
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