复变函数与积分变换精.ppt

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1、复变函数与积分变换课件复变函数与积分变换课件第1页，本讲稿共31页2一、复平面一、复平面1.复平面的定义复平面的定义第2页，本讲稿共31页32.复数的模复数的模(或绝对值或绝对值)显然下列各式成立显然下列各式成立第3页，本讲稿共31页43.复数的辐角复数的辐角说明说明辐角不确定辐角不确定.第4页，本讲稿共31页5辐角主值的定义辐角主值的定义:第5页，本讲稿共31页64.利用平行四边形法求复数的和差利用平行四边形法求复数的和差 两个复数的加减法运算与相应的向量的加减法两个复数的加减法运算与相应的向量的加减法运算一致运算一致.第6页，本讲稿共31页75.复数和差的模的性质复数和差的模的性质第7页，

2、本讲稿共31页8利用直角坐标与极坐标的关系利用直角坐标与极坐标的关系复数可以表示成复数可以表示成复数的三角表示式复数的三角表示式再利用欧拉公式再利用欧拉公式复数可以表示成复数可以表示成复数的指数表示式复数的指数表示式欧拉介绍欧拉介绍6.6.复数的三角表示和指数表示复数的三角表示和指数表示第8页，本讲稿共31页9例例1 1 将下列复数化为三角表示式与指数表示式将下列复数化为三角表示式与指数表示式:解解故三角表示式为故三角表示式为第9页，本讲稿共31页10指数表示式为指数表示式为故三角表示式为故三角表示式为指数表示式为指数表示式为第10页，本讲稿共31页11故三角表示式为故三角表示式为指数表示式为

3、指数表示式为第11页，本讲稿共31页12例例2 2解解(三角式三角式)(指数式指数式)第12页，本讲稿共31页13例例3 3解解第13页，本讲稿共31页14例例4 4证证第14页，本讲稿共31页15两边同时开方得两边同时开方得第15页，本讲稿共31页16例例5 5证证第16页，本讲稿共31页17两边平方两边平方,并化简得并化简得 下面例子表明下面例子表明,很多平面图形能用复数形式的很多平面图形能用复数形式的方程方程(或不等式或不等式)来表示来表示;也可以由给定的复数形式也可以由给定的复数形式的方程的方程(或不等式或不等式)来确定它所表示的平面图形来确定它所表示的平面图形.第17页，本讲稿共31

4、页18例例6 6解解所以它的复数形式的参数方程为所以它的复数形式的参数方程为第18页，本讲稿共31页19第19页，本讲稿共31页20例例7 7证证第20页，本讲稿共31页21两边同时平方两边同时平方,第21页，本讲稿共31页22例例8 8求下列方程所表示的曲线求下列方程所表示的曲线:解解第22页，本讲稿共31页23化简后得化简后得第23页，本讲稿共31页24二、复球面二、复球面1.南极、北极的定义南极、北极的定义第24页，本讲稿共31页25 球面上的点球面上的点,除去北极除去北极 N 外外,与复平面内的点与复平面内的点之间存在着一一对应的关系之间存在着一一对应的关系.我们可以用球面上的我们可以

5、用球面上的点来表示复数点来表示复数.我们规定我们规定:复数中有一个唯一的复数中有一个唯一的“无穷大无穷大”与复平与复平面上的无穷远点相对应面上的无穷远点相对应,记作记作.因而球面上的北极因而球面上的北极 N 就是复数无穷大就是复数无穷大的几何表示的几何表示.球面上的每一个点都有唯一的复数与之对应球面上的每一个点都有唯一的复数与之对应,这这样的球面称为样的球面称为复球面复球面.2.复球面的定义复球面的定义第25页，本讲稿共31页263.扩充复平面的定义扩充复平面的定义包括无穷远点在内的复平面称为扩充复平面包括无穷远点在内的复平面称为扩充复平面.不包括无穷远点在内的复平面称为有限复平面不包括无穷远

6、点在内的复平面称为有限复平面,或或简称复平面简称复平面.对于复数对于复数来说来说,实部实部,虚部虚部,辐角等概念均无意义辐角等概念均无意义,它的模规定为正无穷大它的模规定为正无穷大.复球面的优越处复球面的优越处:能将扩充复平面的无穷远点明显地表示出来能将扩充复平面的无穷远点明显地表示出来.第26页，本讲稿共31页27第27页，本讲稿共31页28三、小结与思考三、小结与思考 学习的主要内容有复数的模、辐角学习的主要内容有复数的模、辐角;复数的各复数的各种表示法种表示法.并且介绍了复平面、复球面和扩充复平并且介绍了复平面、复球面和扩充复平面面.注意注意：为了用球面上的点来表示复数，引入了无：为了用球面上的点来表示复数，引入了无穷远点无穷远点与无穷大穷远点无穷远点与无穷大这个复数相对应这个复数相对应,所谓所谓无穷大无穷大是指模为正无穷大（辐角无意义）的唯一是指模为正无穷大（辐角无意义）的唯一的一个复数，不要与实数中的的一个复数，不要与实数中的无穷大无穷大或正、负或正、负无穷无穷大大混为一谈混为一谈第28页，本讲稿共31页29思考题思考题是否任意复数都有辐角是否任意复数都有辐角?第29页，本讲稿共31页30思考题答案思考题答案否否.它的模为零而辐角不确定它的模为零而辐角不确定.放映结束，按放映结束，按EscEsc退出退出.第30页，本讲稿共31页