大数定律及中心极限定理 (2)精.ppt

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1、大数定律及中心极限定理第1页，本讲稿共12页设设EX=,DX=2,则对任意正数则对任意正数，成立不等式，成立不等式证：（就连续型证）证：（就连续型证）或或5.1 Chebyshev不等式不等式第2页，本讲稿共12页5.2 大数定律大数定律定理定理5.2.1（契比雪夫大数定律）（契比雪夫大数定律）设设 X1,X2,是相互独立的随机变量，它们都有有限的是相互独立的随机变量，它们都有有限的方差，并且方差有共同的上界，即方差，并且方差有共同的上界，即 D(Xk)C，k=1,2,，契比雪夫契比雪夫则对任意的则对任意的0，特别，当特别，当则对任意的则对任意的0，证：由契比雪夫不等式，证：由契比雪夫不等式，

2、即即令令n,并注意概率不能大于并注意概率不能大于1，称称 依概率收敛于依概率收敛于第3页，本讲稿共12页 契比雪夫大数定律表明，独立随机变量序列契比雪夫大数定律表明，独立随机变量序列Xn，如，如果方差有共同的上界，则果方差有共同的上界，则 与其数学期望与其数学期望 偏差很小的概率接近于偏差很小的概率接近于1.取值接近于其数学期望的概率接近于取值接近于其数学期望的概率接近于1.即当即当n充分大时，充分大时，差不多不再是随机的了，差不多不再是随机的了，契比雪夫大数定律给出了契比雪夫大数定律给出了平均值稳定性的科学描述平均值稳定性的科学描述5.2 大数定律大数定律(续续1)与其数学期望与其数学期望时

3、时,X1,X2,Xn的算术平均值的算术平均值=偏差很小的概率接近于偏差很小的概率接近于1.特别当特别当 第4页，本讲稿共12页 设设nA是是n重伯努利试验中事件重伯努利试验中事件A发生的发生的 次数，次数，p是事件是事件A在每次试验中发生的概率，在每次试验中发生的概率，则对任给的则对任给的 0，定理定理5.2.2（伯努利大数定律伯努利大数定律）或或伯努利伯努利 伯努利大数定律表明，当重复试验次数伯努利大数定律表明，当重复试验次数n充分大时，事件充分大时，事件A发生的频率发生的频率nA/n与事件与事件A的概率的概率p有较大偏差的概率很小有较大偏差的概率很小.伯努利大数定律提供了通过试验来确定事件

4、概率的方法伯努利大数定律提供了通过试验来确定事件概率的方法.5.2 大数定律大数定律(续续2)证：因为证：因为nAB(n,p),可记可记 nA=X1+X2+XnX1,X2,Xn相互独立，相互独立，E(Xi)=p,i=1,2,.,n.第5页，本讲稿共12页下面给出的独立同分布下的大数定律，不要求随下面给出的独立同分布下的大数定律，不要求随机变量的方差存在机变量的方差存在.设随机变量序列设随机变量序列X1,X2,独立同分布，具有有限的数学期望独立同分布，具有有限的数学期望 E(Xi)=,i=1,2,，则对任给则对任给 0，定理定理5.2.3（辛钦大数定律辛钦大数定律）辛钦辛钦辛钦大数定律为寻找随机

5、变量的期望值提供了一条实辛钦大数定律为寻找随机变量的期望值提供了一条实际可行的途径际可行的途径.5.2 大数定律大数定律(续续3)第6页，本讲稿共12页 在客观实际中有许多随机变量，它们是由大量的相互独立的随机因素的综合影响所形成的。而其中每一个别因素在总的影响中所起的作用都是微小的。这种随机变量往往近似地服从正态分布。这种现象就是中心极限定理中心极限定理 的客观背景。5.3 中心极限定理中心极限定理第7页，本讲稿共12页5.3 中心极限定理（续中心极限定理（续1）定理定理5.3.1（独立同分布的中心极限定理独立同分布的中心极限定理）设随机变量）设随机变量X1,X2,Xn,.相互独立，服从同一

6、分布，且相互独立，服从同一分布，且k=1,2,则则的标准化变量的标准化变量的分布函数的分布函数Fn(x)=PYnx，对，对 x，满足：，满足：即即n很大时，很大时，Yn近似服从近似服从N(0,1)，或，或=即即第8页，本讲稿共12页5.3 中心极限定理中心极限定理(续续2)定理定理5.3.2(棣莫佛拉普拉斯定理）棣莫佛拉普拉斯定理）设随机变量设随机变量 服从服从二项分布二项分布B(B(n,p)，n=1,2,n=1,2,则对任意则对任意x，有，有 定理表明，当定理表明，当n很大很大(一般一般n50)，0p115.65即总机应备有即总机应备有116条外线才能以条外线才能以95%以上的把握保以上的把

7、握保证各个分机在使用外线时不等候。证各个分机在使用外线时不等候。5.3 中心极限定理中心极限定理(续续4)第11页，本讲稿共12页例例2.2.设电路供电网中有设电路供电网中有1000010000盏灯，夜晚每一盏灯开着盏灯，夜晚每一盏灯开着的概率都是的概率都是0.70.7，假定各灯开、关时间彼此无关，计算，假定各灯开、关时间彼此无关，计算同时开着的灯数在同时开着的灯数在68006800与与72007200之间的概率。之间的概率。解：记同时开着的灯数为解：记同时开着的灯数为X，X B(10000,0.7)np=10000 0.7=70005.3 中心极限定理中心极限定理(续续5)第12页，本讲稿共12页