高中数学 第三章 推理与证明教案 北师大版选修1-2.docx

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1、第三章推理与证明1归纳与类比1.1 归纳推理(教师用书独具)三维目标1 .知识与技能(1)通过实例了解归纳推理的概念.(2)能利用归纳推理进行一些简单的推理.2 .过程与方法通过实例，使学生经历观察、发现、归纳的过程，理解归纳推理，并体会归纳推理的意义和价值.3 .情感、态度与价值观培养学生勇于创新而又不失严谨的思维习惯.重点难点重点：归纳推理的理解与应用.难点：归纳推理的应用.本节课的教学中，为了突出重点、突破难点，需要注意以下两点：(1)结构的开放性归纳推理很大程度上是一种创造性思维，教学中每个学生作出的推理可能并不一致，在这里有些时候结论是开放的，不是唯一的，只要“合情”，就应该认为是对

2、的，应当鼓励学生积极地创造性的思维.当然面对推出的不同结论，可以比较哪些结论是更具有研究价值的，哪些思考是更有深度的.(2)过程的复杂性归纳推理有时不是一蹴而就的，并不是所有的问题只看三五个特殊情形，就能得出一般性结论，有些问题则需要多看几个，在归纳的同时也能培养学生在探究问题的过程中锲而不舍的精神.(教师用书独具)教学建议1 .从学生熟悉的实例出发，引出归纳推理的概念；以问题的形式启发学生思考如何进行归纳推理.2 .本节课应充分尊重学生的思维活动.在分组讨论的过程中给学生想的时间、说的机会.3 .数学不仅仅是演绎的科学，更是归纳的科学.本节课主要培养学生观察、分析及在此基础上的猜想能力.引导

3、学生观察、发现、归纳；鼓励学生发言，允许学生犯错.对于几何习题，一般情况下，既可以从数字角度寻找规律，也可以从几何图形角度出发，当然应该侧重于后者.4 .处理好推理和证明的关系.数学上为保证结论正确，总是强调要证明结论，但合情推理部分重在“推理”，重在得出新结论，“证明”不是本节课要解决的问题.教学流程情境引入=新知探究：归纳推理的定义、特点、作胎应用示例n抽象概括：归纳推理的一般步骤n课堂练习：通过练习，进行体验、感悟n课堂小结：通过总结，升华对本节课所学知识的认识课标解读1.结合已学过的数学实例和生活中的实例，了解归纳推理的含义.2 .能利用归纳推理进行简单的推理(重点).3 .体会并认识

4、归纳推理在数学发现中的作用.归纳推理【问题导思】(1)同学甲发现锐角三角形，直角三角形都存在唯一内切圆，由此他推断所有的三角形都存在唯一内切圆.(2)同学乙观察到2552,2662272,由此他推断：nN5时，2nn2.以上两位同学的推断方式有什么共同特点？【提示】都是从特殊到一般，由部分到整体的推理.1 .归纳推理的含义根据一类事物中部分事物具有某种属性，推断该类事物中每一个事物都有这种属性的推理方式称为归纳推理.2 .归纳推理的特点(1)归纳推理是由部分到整体，由个别到一般的推理.(2)利用归纳推理得出的结论不一定是正确的.数与式中的归纳推理例观察以下不等式,131+-2，11171+_+

5、_+_3时不等式成立.10 .观察下表，填表后再解答问题：完成下列表格：序号123图形i。 Q1*大,在备去衾造自我立备女&的个数824击的个数14试求第几个图形中“”的个数和“J”的个数相等？【解】(1)169设第9个图形中“”的个数和“”的个数相等.观察图形可知89=注,解得n =8或n =0(舍去).所以第8个图形中“”的个数和“”的个数相等.=仪封，且当92 时，fn(x)=f(fn-1(x),试求11 .设函数&)=三a0), f (x) x十21f2(X),f3(x)【解】f (x)=f(f (x)f1xx+ 2 xx + 2 x + 23x + 4x+2 + 2f (x)=f(f

6、 (x)f2xf2 x3x + 4+ 2 x x + 2 3x + 47x + 83x + 4 + 2猜想：f (x) =n2n-1x + 2n(nGN*).猜想出反映一般规律的等式，并给出证明.(教师用书独具)sin230+ cos260+ sin30cos6034,sin220+ cos250+ sin20cos5034,sin215+ cos245+ sin15cos45=34.观察以下各等式:分析上述各式的共同特点，【思路探究】观察等式左边三角函数名称和角之间的关系，猜想一般规律3【自主解答】猜想：sin2a+cos2（a+30）+sin a cos（ a +30）=4.证明：sin2

7、a+cos2(a+30)+sin a cos( a +30)=sin2a+(cos acos 30sin asin 30)2+sin a(cosacos 30sin asin30)3.131.= sin2 a+( cos a - sin a )2+sin a( cos a - sin2222a),33,13= sin2a+cos2 a一卞sin a cos a +-sin2 a+ sin a cos a 42421-sin2 a23,33=sin2 a +4cos2 a =4.1归纳推理是从特殊到一般的推理，所以从特殊中发现它们的共同特点是解决这类问题的关键2本题从已知的三个式的左边函数名、两

8、个角的关系入手，不难发现其共性观察以下等式：3sin25+sin265+sin2125=,乙。，。，。3sin215+sin215+sin2135=5,乙sin230+sin290+sin2150=|,乙分析上述各式的共同特点，猜想出反映一般规律的等式，并给出证明3【解】猜想：sin2（ a 60）+sin2 a +sin2（ a +60）=.2证明：sin2(a60)+sin2a+sin2(a+60)=(sin acos 60cos asin 60)2+sin2a+(sinacos 60+cos asin 60)2.一近13=(sin a cos a )2+sin2 a +(-sin a +

9、_1；cos乙乙乙乙a)21331.一= sin2 a sin a cos a + cos2 a +sin2 a + sin2 a +4244号sin acos a+3cos2 a 243,33=sin2 a +-cos2 a =-22212类比推理（教师用书独具）三维目标1知识与技能（1）通过实例了解类比推理的概念.（2）能利用类比推理进行一些简单的推理.2 .过程与方法通过实例，使学生经历观察、发现、类比的过程，理解类比推理，并体会类比推理的意义和价值.3 .情感、态度与价值观培养学生勇于创新又不失严谨的思维习惯.重点难点重点：类比推理的理解与应用.难点：学生使用合情推理解决问题的能力的培

10、养.为了突出重点，突破难点，教师可提供类比推理的实例，在学生自主探究、动手实践中，引导学生感悟类比推理的定义、特点、步骤及作用.（教师用书独具）教学建议1 .掌握类比推理的关键是要明确类比推理的概念，建议通过具体实例理解类比推理的本质与价值.2 .教学中可以灵活使用教材所给的例题，比如可以采用自主探究、动手实践等方法.3 .教学中可以适当地渗透一些数学文化，提高学生的学习兴趣，同时使学生了解到数学不仅是最终形成的理论体会，结论的形成过程也是宝贵的财富，使学生形成对数学较完整的认识.教学流程情境引入=新知探究：类比推理的定义、特点、作胎应用示例n抽象概括：类比推理的一般步骤n课堂练习：通过练习体

11、验进行感悟n课堂小结：通过总结，提升对本节所学知识、方法的认识1 .理解类比推理的含义，并能用类比推理进行简单的推理（重点）.课标解读2 .了解合情推理的含义，体会并认识合情推理在数学中的作用（难点）.类比推理【问题导思】200年前奥地利一位医生解剖死尸时发现，一些病人死后胸腔内化脓，积水现象严重，为了及时诊断，挽救病人，这位医生反复思考.一次他突然想起父亲经营酒业时，用手指关节叩击木制酒桶，然后根据声音估量出桶中酒量的多少，于是他想：酒桶和胸腔都是封闭的，叩击时都能发出声音，既然能用叩击来估量桶内藏酒量，那么应该也能用叩击来判定病人胸腔内的积水量.由此这位奥地利医生发明了“叩诊”的方法.这位

12、医生的推理方法有什么特点？【提示】A, B两类事物类似，由人有某种特征，则推得8也有这种特征.1 .类比推理的定义两类不同对象具有某些类似的特征，在此基础上，根据一类对象的其他特征，推断另类对象也具有类似的其他特征，我们把这种推理过程称为类比推理.2 .类比推理的特征类比推理是两类事物特征之间的推理，利用类比推理得出的结论不一定是正确的.3.合情推理归纳推理和类比推理是最常见的合情推理，合情推理是根据实验和实践的结果、个人的经验和直觉、已有的事实和正确的结论(定义、公理、定理等)，推测出某些结果的推理方式.等差数列与等比数列的类比根据等差数列的性质，利用类比的方法写出相应的等比数列的性质.等差

13、数列同，公差为d等比数列，公比为q若m + n = p + q =2t，贝”a+a=a+a=2am11Pqta =a +(m-n) dmna，a，a .，构成公差为md的等差数列kkTmkT 2mSk，S2k-Sk，Sk-S2k，构成公差为卜2d的等差数列【思路探究】根据等差数列、等比数列的定义、通项公式进行类比.【自主解答】若m + n = P + q =2t,则bmbn = bpbq = bt;a =a qm-n；bk，bk+m，bk+2m，构成公比为%的等比数列U；当1于0时，Sk，S2k-Sk，S3k-S2k，构成公比为qk的等比数列.等差数列与等比数列有许多类似的性质，在类比时有如下

14、的规律：和积类比，差商类比，乘乘方类比，除开方类比.若an是等差数列，m，n，P是互不相等的正整数，则有(m-n)ap+(n-p)am+(p-m)an =0，类比上述性质，相应地，对等比数列“有.n【解析】根据等差数列与等比数列类比的规律，有环-n bn-p bp-m=1. pmn【答案】 bm-n bn-p bp-m=1 pmn平面几何与立体几何之间的类比如图3-1-5,若射线OM，ON上分别存在点M1，M2与点N1，N2，则三SOMN、 OM、 ON 角形面积之比SOMN OM ON.2 222若不在同平面内的射线OP, OQ和OR上分别存在点P1,P2,点Q1, Q2和点R1, R2,则

15、类似的结论是什么？图 3一 1 一5【思路探究】|二维的平面类比三维的空间一面积类比体积/线段比的乘积法结论【自主解答】 设VOP&RJD VOP2Q2R2分别表示四面体OP&RJD OP2Q2R2的体积， 则VO-PQR OP OQ OR111 1 1 3VO-PQR OP OQ OR,平面占八、线圆三角形角边长周长面积空间线面球三棱锥二面角面积表面积体积2 2 2222一般地，平面中的一些元素与空间中的元素的类比列表如下:六个面都是平行四边形的四棱柱称为平行六面体，在ABCD中，有AC2+BD2 = 2(AB2 +AD2),那么在平行六面体ABCDAp1cpi中，AC1+BD1+CA2+D

16、B2等于()A. 2(AR+AD2+AA2)B. 3(AB2+AD2+AA?C. 4(AR+A+AA2)D. 4(AR+AD2)【解析】如图所示，四边形AA1cle和BB1D1D也都是平行四边形，从而有AC2+CA2 = 2(AC2 +AA1), BD1+DB1 = 2(BD2+BB1),所以 AC1+CA1+BD2+DB2 = 2(AC2+BD2)+4AA2 = 4(AB2+AD2+AA；).【答案】C通过类比得到新概念类比“等差数列”的定义，写出“等和数列”的定义，并解答下列问题：已知数列an是等和数列，且32,公和为5,求墨及前n项和Sn.【思路探究】【自主解答】定义“等和数列”：在一个

17、数列中，从第二项起每一项与它前一项的和都为同一个常数，那么这个数列叫作等和数列，这个常数叫作该数列的公和.由上述定义得an2, n为奇数，3，n为偶数，故 aj3.512n一, n为奇数，1 .本题是一道定义类比应用题，通过对等差数列的定义及性质的理解，类比等和数列的定义和性质，其中，深刻理解等差数列的定义及性质是实现类比的关键.2 .除了定义类比、结论类比外，还有方法类比，它是解决新情境问题的主要思维方法.类比“等比数列”的定义，写出“等积数列”的定义，若已知等积数列的首项为2,公积为6,写出该等积数列的通项公式和前n项和.【解】等积数列：在一个数列中，从第二项起每一项与它前一项的积都为同一

18、个常数，那么这个数列叫作等积数列，这个常数叫作该数列的公积.由定义得&=n2 n为奇数，3,n为偶数.512n一, n为奇数，,5n,n为偶数.典例找不到合理的类比对象致误三角形的面积为S=1（a+b+c）r, a, b, c为三角形的边长，r为三角形的内切圆的半径.利用类比推理得到四面体的体积为（）A. V=1abc（a, b, c为四面体共顶点的三棱长）3B. V=1Sh（S为四面体的底面积，h为四面体的高）3C. V=1（S+S+S+S）r（S、S、S、S为四个面的面积，r为内切球的半径）312341234D.V=1（ab+bc+ac）h（a,b, c为四面体底面三角形三边长，h为四面体

19、的高）3【错解】B或D【错因分析】这属于知识性错误.选B不是由类比推理得到的；选D是因为没有找到合理的类比点.【防范措施】一般地，空间几何体与平面图形之间的性质类比，如三角形与四面体、矩形与长方体、圆与球、线与面、平面角与空间角、面积与体积等之间都具有类比关系.【正解】4ABC的内心为。，连接OA、OB、OC,将4ABC分割为三个小三角形，这三个小三角形的高都为r,底边长为a, b, c.类比可知：四面体ABCD的内切球球心为0,连接OA, OB，OC，OD将四面体分割成为四个以O为顶点，四面体的面为底面的小四面体，高都为r,所以V=1(S+S+S+S)r.答案为C.31234【答案】 C1类

20、比推理的思维过程类推相似性观察、比较一一联想、一致性猜测新的结论2类比推理的特点(1)类比是从人们已经掌握的事物的属性,推测正在研究中的事物的属性,它以旧的知识作基础,类比出新的结果；(2)类比从一种事物的特殊属性,推测另一种事物的特殊属性；(3)类比的结果是猜测性的,不一定可靠,但它却具有发现的功能3合情推理的思维过程及特点从具体问题出发一观察、分析、比较、联想一归纳、类比一提出猜想1下列平面图形中与空间的平行六面体作为类比对象较为合适的是()A.三角形B.梯形C.平行四边形D.矩形【解析】因为平行六面体相对的两个面互相平行,类比平面图形,则相对的两条边互相平行，故选C.【答案】 C2.平面

21、内圆的周长公式C=d,类比到空间中可得球的表面积公式为()A. S=n r2B. S =2n r2C. S =4n 2D. S=n d2【解析】周长一面积，d-d2,应选D.【答案】 D3.(2013丽水高二检测)设等差数列an的前n项和为Sn,则S4, S8S4, S12S8, S16 S12成等差数列，类比以上结论有：设等比数列bn的前n项积为Tn,则T4,T, T6成等比数列.12【解析】由于等差数列与等比数列具有类比性,且等差数列与和差有关,等比数列与积商有关,因此当等差数列依次每4项之和仍成等差数列时,类比等比数列为依次每4项的积成等比数列TT【答案】 T8亍2484在平面上，我们如

22、果用一条直线去截正方形的一个角，那么截下的一个直角三角形，按图所标边长，由勾股定理有：C2=a2+b%设想正方形换成正方体，把截线换成如图316的截面，这时从正方体上截下三条侧棱两两垂直的三棱锥OLMN,如果用“ S2, S3表示三个侧面面积，S4表示截面面积，那么你类比得到的结论是什么？图316【解】S2+ S2+ S2= S2.1234一、选择题1.已知扇形的弧长为1,半径为r，类比三角形的面积公式$=底产，乙可推知扇形面积公式S扇等于（）r2A.7乙12B.7 乙rlC. - D.乙不可类比【解析】扇形的弧长类比三角形的底边，扇形的半径类比三角形的高，可得扇形的面积公式【答案】 C2下列

23、类比推理：由（ab）n=anbn 类比得（a+b）n=an+bn；由1oga（xy）=1ogax+1ogay 类比得 sin ab=sin a+sin b；由（a+b）2=az+2ab+b2类比得（a+b）2=a2+2a b+b2.其中正确结论的个数是（）A0 B1C2 D3【解析】只有正确【答案】 B3.在平面直角坐标系中，点A（1,1）关于原点的对称点为（一1,1）,那么在空间直角坐标系中，点A（1,1,1）关于原点的对称点为（）A（1，1,1） B（1，1，1）C（1，1,1） D（1，1，1）【解析】横坐标、纵坐标、竖坐标均变为原来的相反数【答案】D4.类比平面直角坐标系中4ABC的重

24、心6（ x , y）的坐标公式x +x +x123x 3，工 + 丫2 + 丫33(其中 A(xJyi), B(x2, y2), C(x3, yj),猜想以 A(xy/z), B(x2, y2, z2), C(x3, y3, zj, D(x4, y4, z4)为顶点的四面体ABCD的重心6(7，飞,丁)的坐标公式是()x +x +x +x1234x 2，A.y=yi+y2+y3+y4,y2， z +z +z +zz =4x+x2+x3+xw,B.C.y= y1+y2+y3+y4y4,一 y.+y+y+y.y =r234y3, z +z +z +z z =27743x +x +x +xX =-1

25、234x 45 z +z +z +zz =L1-344x+x2+x3+xw, D.【解析】结合类比、推广，猜想C正确.y.+y；+y：+y. y=12534,z +z +z +z 234【答案】5.已知aR+，不等式x+（N2,4、，27、x+三3, x+三4,x2x3可推广为x+;aNn+1,xn的值为（）An2 B(n1)2Cnn D(n1)n【解析】观察各式中分子随n的变化规律，1=11,4=22,27=33,由此猜想，a=nn.【答案】 C二、填空题6对于平面几何中的命题：夹在两条平行线间的平行线段相等，在立体几何中，类比上述命题，可以得到命题：.【解析】“两条直线平行”类比“两个平面

26、平行”【答案】夹在两个平行平面间的平行线段相等7.在平面上，若两个正方形的边长的比为1：2,则它们的面积比为1：4.类似地，在空间中，若两个正方体的棱长的比为1：2,则它们的体积比为.【解析】由题意知，在平面上，两个正方形的面积比是边长比的平方由类比推理知，体积比是棱长比的立方，即可得它们的体积比*=S1 h1=1x1=1.V2 S2 h2428【答案】1：88 .已知等差数列数中，有皿2才+ a20=ai + a2北+ a3。，则在等比数列数中,n1030n会有类似的结论【解析】等差数列与等比数列的对应关系有：等差数列中的加法对应等比数列中的乘法，等差数列中的除法对应等比数列中的开方，据此类比得Rb11bl220=30/也b30.【答案】101b11bl2.b20=心也发。三、解答题9 .已知圆的方程是X2+y2=r2,则经过圆上一点M(x, y )的