2018-2021年高考真题立体几何解答题全集（学生版+解析版）.docx

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1、2018-2021年髙考真题立体几何解答题全集(学生版+解析版)1. (2021天津)如图,在棱长为2的正方体ABCQ-41BC1O1中,E,分别为棱BC, CD的中点.(1)求证:平面A1EC1；(2)求直线与平面4EC1所成角的正弦值;(3)求二面角A - AiCi - E的正弦值.2. (2021新高考1【)在四棱锥Q-ABC。中,底面A8C。是正方形,若4。=2,。=。=遅, QC=3.(I )求证:平面。丄平面48CC；(II)求二面角B-QD-A的平面角的余弦值.3. (2021上海)如图,在长方体ABCO-4B1C1Q1中，已知AB=BC=2,41 = 3.(1)若P是棱A1O1

2、上的动点，求三棱锥CF。的体积:(2)求直线A与平面ACC14的夹角大小.4. (2021北京)已知正方体A8CC-4iBiCiOi,点E为401中点,直线BiCi交平面CCE于点.(1)求证:点为BiCi中点:.V5 4M(2)若点”为棱Ai8i上一点,且二面角M-C尸-E的余弦值为:,求I一 3 A1B15. (2021 甲卷)已知直三棱柱ABC-Ai81cl中,侧面41818为正方形，AB=BC=2, E,分别为AC和CC1的中点，BFABi.(1)求三棱锥-EBC的体积:(2)已知。为棱81上的点，证明:BF1DE.C6. (2021乙卷)如图，四棱锥P-A8C。的底面是矩形，尸。丄底

3、面A8CO, PD=DC=,M为BC中点、,且PB丄AM.(1)求 BC；(2)求二面角A- PM-B的正弦值.7. (2021浙江)如图,在四棱锥P-ABCO中,底面ABCO是平行四边形,ZABC= 120 , AB=1, BC=4, M= V15, M, N 分别为 BC, PC 的中点,PDDC, PM丄MD.(I )证明:AB 1PM；(II )求直线AN与平面PCM所成角的正弦值.8. (2021 甲卷)已知直三棱柱4BC-481cl中，侧面41B1B为正方形,AB=BC=2, E,分别为AC和CC1的中点，。为棱A1B1上的点，BF1AB.(1)证明:BF1DE；(2)当为何值时，

4、面881cle与面。FE所成的二面角的正弦值最小?9. (2021乙卷)如图,四棱锥尸-ABC。的底面是矩形，P。丄底面ABC。，M为8c的中点，且PB丄AM.(1)证明:平面FM丄平面尸8。;(2)若尸。=OC=1,求四棱锥P-ABCO的体积.10. (2021新髙考【)如图,在三棱锥A- BCD中,平面ABZ)丄平面BCD, AB=AD, 为8。的中点.(1)证明:OACD；(2)若OC。是边长为1的等边三角形,点E在棱上,DE=2EA,且二面角E- BC-O的大小为45 ,求三棱锥4-BC0的体积.11. (2021上海)四棱锥P-ABCC,底面为正方形ABCD,边长为4, E为AB中点

5、,PEL 平面ABCD.(1)若FB为等边三角形,求四棱锥尸ABC。的体积;(2)若C。的中点为尸,P与平面A8C。所成角为45 ,求PC与4。所成角的大小.12. (2020海南)如图，四棱锥P-ABC。的底面为正方形，P。丄底面ABC。.设平面以。与平面PBC的交线为/.(1)证明:L平面PDCt(2)已知尸。=AO=1, Q为I上的点,QB=近,求PB与平面QCO所成角的正弦13. (2020天津)如图,在三棱柱 ABC-A1B1C1 中,CC1 丄平面 ABC, ACBC, AC=BC =2, CCi=3,点、D, E分别在棱A4和棱CCi上,且AO=1, CE=2, M为棱81的 中

6、点.(I )求证:CMBD；(II )求二面角B- BiE-D的正弦值;(III)求直线AB与平面。B1E所成角的正弦值.14. (2020上海)已知A8C。是边长为1的正方形,正方形A8C。绕A8旋转形成一个圆柱.(1)求该圆柱的表面积;(2)正方形A8C。绕AB逆时针旋转一至8。1,求线段。1与平面A8C。所成的角.15. (2020北京)如图，在正方体ABC。-4。1。1中,E为881的中点.求证:BCi 平面AGE；求直线A4与平面AOiE所成角的正弦值.(II)（1）证明:，丄平面产。C；-ABCD的底面为正方形,丄底面ABCD,设平面PAD（2）己知PO=4O=1,。为，上的点,求

7、尸8与平面QCO所成角的正弦值的最大值.17. （2020江苏）在三棱锥4 - BC。中，已知CB=CD=遅,80=2, 0为8。的中点,AO丄平面8CO, AO=2, E为AC中点.（1）求直线A8与。E所成角的余弦值;（2）若点F在BC上，满足=誣（7,设二面角F。-C的大小为,求sin0的值.18. （2020浙江）如图，在三棱台ABC-。E中，平面AC尸。丄平面ABC, ZACB= ZACD=45 , DC=2BC.(I )证明:EF丄DB；(II)求直线。与平面。BC所成角的正弦值.19. (2020江苏)在三棱柱ABC-4BC1中,AB丄AC, BC丄平面ABC, E,分别是AC,

8、BiC的中点.(1)求证:E平面4B1C1；(2)求证:平面ABC丄平面ABB1.20. (2020新课标III)如图，在长方体ABCD-AiBiGDi中,点E, 分别在棱。i, BB上,且 2OE=EOi, BF=2FB.证明:(1)当 时，E丄AC；(2)点。在平面AE内.21. (2020新课标I )如图,。为圆锥的顶点,。是圆锥底面的圆心,AE为底面直径,AE =AD. ZXABC是底面的内接正三角形,P为DO上一点PO建DO.(1)证明:阳丄平面PBC-,(2)求二面角B-PC-E的余弦值.22. (2020新课标I )如图，。为圆锥的顶点,。是圆锥底面的圆心，A8C是底面的内接正三

9、角形，P为0。上一点，NAPC=90 .(1)证明:平面 B丄平面B4C；(2)设。=夜，圆锥的侧面积为遅立，求三棱锥P-ABC的体积.23. (2020新课标0)如图,已知三棱柱ABC-ABC的底面是正三角形,侧面BBCC 是矩形,M, N分别为BC, BiCi的中点,尸为AM上一点.过BC1和P的平面交AB于 E,交4c于.(1)证明:AM/MN,且平面AMN丄平面EB1C1F；(2)设0为AiBiCi 的中心.若 AO=A8=6, A。平面 EBCiF,且/MPN=求 四棱锥B-EBiCi尸的体积.24. (2020新课标HD如图，在长方体ABC。中,点E,分别在棱i, BB上，且 2O

10、E=EOi, BF=2FB.(1)证明:点C1在平面AE内;(2)若4B=2, AD=l,41=3,求二面角A - EF - Ai的正弦值.25. (2020新课标U)如图,已知三棱柱ABC-ABCI的底面是正三角形,侧面BBCC是矩形,M, N分别为BC, 81cl的中点，尸为AM上一点过81。和/5的平面交AB于E,交4C于.(1)证明:AA/MN,且平面AMN丄平面EBiCiF；(2)设。为A181C1的中心.若AO平面EB1GF,且40=48,求直线君与平面AMMN所成角的正弦值.26. (2020上海)已知四棱锥P - ABCD,底面ABCD为正方形,边长为3, PO丄平面ABCD.

11、(1)若PC=5,求四棱锥尸-A8C。的体积;(2)若直线40与BP的夹角为60 ,求Pn的长.27. (2019天津)如图,AE丄平面4BCQ, CF/AE, AD/BC, ADLAB, AB=AD=l, AE =BC=2.(I )求证:B平面ADE；(II )求直线CE与平面8DE所成角的正弦值;(III)若二面角E-8。F的余弦值为 求线段C尸的长.28. (2019上海)如图,在长方体ABC。4B1C1O1中,M为BB1上一点,已知8M=2,8=3, AD=4, AA=5.(1)求直线4C和平面ABCO的夹角；(2)求点A到平面4MC的距离.29. (2019新课标H )如图,长方体A

12、8CO-481cleI的底面ABC。是正方形,点E在棱AAi , BE丄ECi.(1)证明:8E丄平面EBiCi；(2)若AE=4E,求二面角8-EC-Ci的正弦值.30. (2019新课标HI)图1是由矩形AOEB, RtZVlBC和菱形8FGC组成的个平面图形, 其中AB=1, BE=BF=2, NFBC= 60: 将其沿48, BC折起使得BE与8F重合,连 结G,如图2.图1图2(1)证明:图2中的A, C, G,。四点共面，且平面48c丄平面8CGE；(2)求图2中的四边形4CG。的面积.31. (2019新课标HI)图1是由矩形AOEB、RtZABC和菱形BFGC组成的个平面图形,

13、其中AB=1, BE=BF=2, ZFBC=60 .将其沿B, 8c折起使得BE与8F重合,连结。G,如图2.DA图1图2(1)证明:图2中的4, C, G,。四点共面,且平面A8C丄平面BCGE；(2)求图2中的二面角B-CG-4的大小.32. (2019天津)如图，在四棱锥P-ABC。中，底面ABCO为平行四边形，APCD为等 边三角形，平面以C丄平面PC), PA VCD, CD=2, AD=3.(I )设G, H分别为PB, AC的中点,求证:G 平面外。:(II )求证:砲丄平面PCD；(III)求直线40与平面C所成角的正弦值.C33. (2019新课标I)如图，直四棱柱ABC。4

14、B1C1Q1的底面是菱形,41=4, AB=2,ZBAD=60 , E, M, N 分别是 8C, BB, Ai。的中点.(1)证明:MN平面Ci。；(2)求点C到平面。E的距离.DiC34. (2019浙江)如图,已知三棱柱ABC-AiBiCi,平面ACC1丄平面ABC, NA8C=90 ,ZBAC= 30 , AiA=AiC=AC, E, 分别是 4C, 4的中点.(I )证明:尸丄BC；(II)求直线E与平面A18C所成角的余弦值.(1) Ai)平面 DEC1；41 上,BELECi.35. (2019江苏)如图,在直三棱柱ABC-A出1C1中,D, E分别为8C, AC的中点,AB=B

15、C.求证:长方体ABCD -ABCD的底面ABCD是正方形,点E在棱(1)证明:BE丄平面EBiCi；(2)若AE=4E, AB=3,求四棱锥E - BB1C1C的体积.37. (2019北京)如图,在四棱锥P-ABC。中,阳丄平面ABC,底面ABC为菱形,E 为C的中点.(I )求证:丄平面MC；(II )若/ABC=60 ,求证:平面网8丄平面Z？4E；(III)棱P8上是否存在点F,使得b平面以E?说明理由.38. (2019北京)如图，在四棱锥P-ABC。中,布丄平面ABC。,AD LCD, AD/BC, PA,PF 1=AD=CD=2, BC=3. E为P。的中点,点、F在PC上,且

16、 =.(I )求证:C。丄平面PAD；(II )求二面角F-AE-P的余弦值;PG 2(III)设点G在尸8上,且一=一.判断直线AG是否在平面AE内,说明理由.PB 339. (2019新课标I )如图,直四棱柱ABCO-AiBiCiQi的底面是菱形,41=4, AB=2,ZBAD=60 , E, M, N 分别是 8C, BB, 4O的中点.(1)证明:平面C13E；(2)求二面角A-MA-N的正弦值.40. (2019上海)如图，在正三棱锥尸A8C 中，PA = PB = PC = 2, AB = BC = AC = V3.(1)若PB的中点为M, BC的中点为N,求AC与MN的夹角:(

17、2)求P-ABC的体积.B41. (2018江苏)如图,在正三棱柱ABC-481cl中，AB=A4=2,点P,。分别为,8C的中点.(1)求异面直线BP与AC1所成角的余弦值;(2)求直线CC1与平面AQC所成角的正弦值.42. (2018北京)如图,在三棱柱ABC-AiBiCi中,CCi丄平面ABC, D, E, F, G分别 为41, AC, A1C1, 8B1 的中点,AB=BC= V5, AC=AA=2.(I )求证:AC丄平面BEF；(II)求二面角B-CD-C的余弦值:(III)证明:直线G与平面BC。相交.43. (2018江苏)在平行六面体 A8CQ-4B1C1O1 中,AA=

18、AB, ABLBC.求证:(1) AB平面 B1C：(2)平面A8814丄平面A18C.44. (2018天津)如图，在四面体ABC中,ZXABC是等边三角形，平面ABC丄平面点M为棱AB的中点,A8=2, 40=2百,NBAD=90(I )求证:AD1BC；(ID求异面直线BC与MO所成角的余弦值;(Ill)求直线C。与平面ABO所成角的正弦值.45. (2018新课标 11 )如图,在三棱锥尸4BC 中,AB=BC=2&, PA=PB=PC=AC=4, 。为AC的中点.(1)证明:。丄平面ABC；(2)若点M在棱BC上,且MC=2MB,求点C到平面尸OM的距离.PB46. (2018天津)

19、如图，A。 BC 且 A3=2BC, AD VCD, EG 且 G=A。，CD/FG 且 CZ)=2FG, OG丄平面 ABC。，DA=DC=DG=2.(I )若M为C的中点,N为EG的中点，求证;MN平面CCE；(II )求二面角E-BC- F的正弦值;(III)若点P在线段。G上，且直线8P与平面AOGE所成的角为60 ,求线段OP的 长.47. （2018浙江）如图,已知多面体ABC-A1B1C, AiA, BB, C1C均垂直于平面ABC,ZABC= 120 , AA=4, CC=, AB=BC=BiB=2.(I )证明:ABi丄平面AiBiCi；(II )求直线AC与平面ABBi所成

20、的角的正弦值.厶48. （2018上海）已知圆锥的顶点为P,底面圆心为,半径为2.（1）设圆锥的母线长为4,求圆锥的体积;（2）设PO=4, 04、是底面半径,且/AO8=90 , M为线段AB的中点,如图, 求异面直线与08所成的角的大小.A49. （2018新课标I）如图,四边形48co为正方形，E, 分别为AC, BC的中点，以 。为折痕把。C折起，使点C到达点P的位置,且PF丄B凡（1）证明:平面尸E丄平面A8尸;（2）求。P与平面A8/7）所成角的正弦值.50. （2018新课标HI）如图,矩形A8C。所在平面与半圆弧前所在平面垂直，例是前上异于C,。的点.(1)证明:平面WO丄平面

21、BMC；(2)在线段AM上是否存在点尸,使得MC平面P8O?说明理由.51. (2018北京)如图,在四棱锥P - 4BCO中,底面ABCD为矩形,平面胆。丄平面ABCD,PALPD, PA = PD, E,分别为AO, PB的中点.(I )求证:PELBC；(II )求证:平面B丄平面PCD；(III)求证:E平面PCD.B52. (2018新课标I )如图，在平行四边形48cM中，AB=AC=3, NACM=90 ,以AC 为折痕将ACM折起,使点M到达点。的位置，且AB丄0A.(1)证明:平面AC。丄平面ABC；(2)。为线段。上一点,P为线段BC上一点,且82=。=(。,求三棱锥Q-A

22、B尸 的体积.53. （2018新课标 H ）如图,在三棱锥尸-ABC 中，AB=BC=22, PA=PB=PC=AC=,0为AC的中点.(1)证明:P。丄平面ABC；(2)若点M在棱BC上,且二面角M-%-C为30 ,求PC与平面拝1M所成角的正 弦值.54. (2018新课标HI)如图,边长为2的正方形ABC。所在的平面与半圆弧所在平面垂直,历是加上异于C,D的点.(1)证明:平面AMO丄平面BMC：(2)当三棱锥M-ABC体积最大时，求面MAB与面MC。所成二面角的正弦值.2018-2021年髙考真题立体几何解答题全集(学生版+解析版)参考答案与试题解析1. (2021天津)如图,在棱长

23、为2的正方体A8CC-48C1O1中,E,尸分别为棱BC, CD 的中点.(1)求证:DiF平面4EC1；(2)求直线4。与平面EC1所成角的正弦值:(3)求二面角A-AC -E的正弦值.【解答】(1)证明:以点A为坐标原点,建立空间直角坐标系如图所示,则 Ai (0, 0, 2), E (2, 1, 0), Ci (2, 2, 2),故Cl = (2, 2, ), ECX = (0, 1, 2),设平面AiEG的法向量为瑞=(，y, z),则.賀即短。, In EC】=0 令 z=l,则 =2, y= - 2故 = (2, - 2, 1),又(1, 2, 0), D (0, 2, 2),所以

24、i = (-1, 0, 2),则n 尸。1 = 0,又 OiRt平面 A1EC,故n尸平面4EC1：(2)解：由(1)可知，4G = (2，2, 2),则|cos 4, ACX | = 171114cli故直线AC1与平面AEC所成角的正弦值为日;(3)解:由(1)可知,441 = (, 0, 2),设平面41。的法向量为肩=（q, b, c）,m - AAr = 0 目 c = 0一 Jr / U + h = 0* .m 41cl = 0令=1,则=-1,故m = (l, - 1, 0),所以|cosOn, n =故二面角A -Aid- E的正弦值为Jl -（孥）2 = 1.2. （2021

25、 新高考II ）在四棱锥Q-ABC。中,底面ABC。是正方形,若AO=2,QO=QA= V5, QC=3.（I ）求证:平面QA。丄平面ABC。:（II）求二面角B-QD-A的平面角的余弦值.【解答】（I ）证明:QC。中,CD=AD=2,。=遅，QC=3,所以 C。2+Q。2=QC2, 所以C。丄Q。:又 C。丄 A。，A。CQ。=。，ADcYffi QAD,。=平面 QA。，所以 C。丄平面。A。;又C7）u平面ABCD,所以平面QA。丄平面ABCD.(II )解:取40的中点。,在平面ABCD内作Ox丄以。为y轴,。为z轴,建立空间直角坐标系。孙z,如图所示:则。(0, 0, 0), B

26、 (2, - 1, 0), D (0, 1, 0), Q (0, 0, 2),因为。x丄平面AOQ,所以平面AOQ的个法向量为之=(1, 0, 0),设平面BDQ的一个法向量为=(x, y, z),得由= ( - 2, 2, 0), DQ = (0, - 1, 2),(-2x + 2y = 0(-y + 2z = 0令 z= 1 得 y=2,=2,所以/? = (2, 2, 1 )；T T所以cos Va,ap _ _2+0+0 _ _ 2国.而 !x74+4+1 3所以二面角B-QD-A的平面角的余弦值为3. (2021上海)如图,在长方体ABCD-481。中,已知AB=8C=2,41=3.

27、(1)若P是棱上的动点,求三棱锥C布O的体积;(2)求直线AB1与平面ACC1的夹角大小.【解答】解:（1）如图,在长方体ABC。481cl中,册=Sap40 平解,=|x (|x 2 x 3) x 2 = 2；(2)连接4cme1 =。,：AB=BC,.四边形A1B1CD1为正方形,则。田丄。4,又 AAi丄031, OAi QAAi=Ai,.081 丄平面 4CC14,.直线AB与平面ACCA所成的角为/OAB1,sinOABx =/io 1直线AB与平面ACC1A1所成的角为arcsi.DBi4. （2021北京）已知正方体BC。-AiBiCiQi,点E为401中点,直线BC1交平面CC

28、E于点F.（1）求证:点为810中点;y/5 4M（2）若点M为棱AiBi上一点,且二面角M-CF-E的余弦值为二,求3 Bi【解答】(1)证明:连结E,在正方体 ABC) - ABCD 中,CD/ CD, CiOiu 平面 ABCD, C)，平面 ABCD,则C。平面81因为平面AiBiCiOiC平面CDEF=EF,所以CE兄 则EFC1O1,故 4BiEF。,又因为 AiDiBiCi,所以四边形AiFE为平行四边形，四边形E。1为平行四边形，所以 AiE=Bi凡 EDi=FCi,面点为4D的中点，所以4E=EQi,故BiF=。，则点为。的中点:(2)解:以点以为原点，建立空间直角坐标系，如

29、图所示，设正方体边长为2,设点M(m, 0, 0),且山故E = (2, 0, 0), FC = (0, 1, -2), FM = (m, - 1, 0),设平面CM的法向量为茄=(a, b, 1),m5=0, gppa-b = Om - FC = 010/ -U所以a = 1, b=2,故益=，2, 1),设平面CDE的法向量为/=(x, y, 1),.呼=o,即-2x = 0了一2 = 0所以x=0, y=2,故n = (0, 2, 1),A V5因为二面角M- CF- E的余弦值为多, 则|cos =吁=J旦/冋川白+4+lx+l解得山=1,又m丄底面ABC。,PD=DC=,M为BC中点

30、,且尸8丄AM.(1)求 BC；(2)求二面角A - PM- B的正弦值.【解答】解:(1)连结8，因为尸。丄底面A8C0,且Wu平面ABCO,则 AM丄PQ,又4M丄PB, PBCPD=P, PB, POu平面尸BO,所以AM丄平面PBD,又BOu平面尸BD,则AM丄BD,所以/ABO+/AOB=90 ,又/ABD+/MA8=90 ,则有/A8=NM4B,所以 RtZXDABsRt/ABM,则一=,所以-BC? = 1,解得 BC= V2；AB BM 2(2)因为D4, DC, OP两两垂直，故以点位坐标原点建立空间直角坐标系如图所示， 则(& 0, 0), B(V2, 1, 0), M呼,

31、1, 0), P (0, 0, 1),所以”=(,0, 1), AM =(一号,1, ), BM =(与,0, ), BP = (-V2, 一1, 1),设平面AM尸的法向量为n =(,y, z),(Z ad - c (-V2x + z = 0则有。,即72，U = 0(一2-x + y = 0令x =i,则 y=l, z=2,故=(遮,1, 2),设平面BMP的法向量为蔡=(p, q, r),则有何公。,即卜齐=,77i - BP = 0(-V2p - q + =0令=1,则厂=1,故/=(0, 1, 1),所以IcosVn,牆=时=噜设二面角A - PM - B的平面角为a,则 sina=

32、 Vl cos2a =1 cos2 =所以二面角A一所8的正弦值为震.7. (2021浙江)如图,在四棱锥尸-A8c。中,底面4BCO是平行四边形,NABC=120 ,AB=1, BC=4, PA= V15, M, N分别为 BC, PC 的中点，PDDC, PM丄MD.(I )证明:AB丄M：(11 )求直线AN与平面PCM所成角的正弦值.A B【解答】(I )证明:在平行四边形A8C中,由已知可得,CD=AB 1,CM= BC=2, NOCM=60。,由余弦定理可得，DM2=CD2+CM2 - 2CDXCA/Xcos60= 1 + 4 2xlx2x =3,贝即 COLOM,又 PD丄DC,

33、 PDCDM=D, ；.C。丄平面尸DW,而PMu平面尸。M, ；.CD丄PM,.CD/AB, ：.ABPM；(n )解:由(I )知,C丄平面PDM,又COU平面ABCD, .平面ABCO丄平面PDM,且平面A8CDC平面PDM=DM,；PM丄MD,且 PMu平面 POM,丄平面 BC。，连接AM,则PM丄MA,在4BM 中,AB=l, BM=2, NA8M=120 ,可得 “2 = 1 + 4 2xlx2x(/) = 7,又以=同,在Rt尸肠4中，求得尸M= VPA2 一 “矛=2亜，取4。中点,连接ME,则MEC。，可得ME、MD. MP两两互相垂直,以M为坐标原点，分别以M。、ME、M

34、P为x、y、z轴建立空间直角坐标系,则 A (V5, 2, 0), P (0, 0, 2V2), C(V3, - 1, 0),又N为PC的中点,.，.N 号,V2),局=(夢,一,V2),平面尸。M的个法向量为 = (0, 1, 0),设直线AN与平面PDM所成角为0,T T5rmi (7 1r T 7 AN-n2则 sin0 = cos =-J- = r I训向伊吟+2X1故直线AN与平面PDM所成角的正弦值为了亜. 6【解答】（1）证明:8. （2021甲卷）已知直三棱柱ABC-AiBiCi中,侧面AiBiB为正方形,AB=BC=2, E,分别为AC和CC1的中点，为棱481上的点,BFV

35、AB.(1)证明:BFLDE；（2）当Bi。为何值时,面8B1GC与面OFE所成的二面角的正弦值最小?连接AF,VE,分别为直三棱柱ABC-481cl的棱AC和CC1的中点，且AB=BC=2,/.CF= 1, BF= V5,：BFAB, AB/AB,J.BFLAB：.AF= y/AB2 + BF2 = J22 + (V5)2 =3, AC= JAF2 - CF2 = V32 - l2 = 2夜, ：.AC2=AB2+BC1,即 BA IBC,故以8为原点，BA, BC, 8B1所在直线分别为x, y, z轴建立如图所示的空间直角坐标系,则 A (2, 0, 0), B (0, 0, 0), C

36、 (0, 2, 0), E (1, 1, 0), F (0, 2, 1),设 BD=m,则 D (m, 0, 2),：.BF = (0, 2, 1), DE= (1 - w, 1, - 2), ：.BF-DE =0.即 B/丄E.(2)解:AB丄平面BBiCiC, .,平面BBiCiC的个法向量为卩=(1, 0, 0),由(1)知,DE = (1 - w, 1, - 2), EF = ( - 1, 1, 1),设平面。E万的法向量为=(x, y, z),则“呼=,即,0二m)： + y、2z = 0, ln.FF = 0 J + y + z = 0令=3,贝 y=/w+l, z=2 - m,

37、.n = (3, m+1, 2 - zn), pn333.cos =: =j= = /= I =IPllnl lxj9+(m+l)2+(2-m)2 J2m2-2m+14 j2(m-；)+孕.当?=时,面B81cle与面OFE所成的二面角的余弦值最大,此时正弦值最小, 故当。=时，面881cle与面0FE所成的二面角的正弦值最小.9. (2021乙卷)如图,四棱锥P-ABC。的底面是矩形，丄底面ABC。，M为BC的中点,M PB1AM.(1)证明:平面FM丄平面尸8)；(2)若PO=OC=1,求四棱锥P-48cO的体积.【解答】(1)证明:.尸丄底面4BC, AMu平面ABC。,：.PDAM,又

38、丄AM,PDCPB=P, PB,尸。u平面尸8。.二AM丄平面PBD.；AMu平面 PAM,.平面网M丄平面PBD；(2)解:由尸。丄底面ABC。，.”。即为四棱锥尸-ABC。的高，ZWP8是直角三角形;；A8C。底面是矩形，PD=DC=, M为BC的中点,且PB丄AM.设。=8=20 取CP的中点为F.作EELC。交于E,连接M尸，AF, AE,可得M尸8, EF/DP,那么 AM1.MF.且 EF= AE= JAD2 + ED2 = 1 + 4a2, AM= JAB2 + BM2 = Va2 + 1,AF = y/EF2 Tae2.,.。尸B是直角三角形，.根据勾股定理：BP= V2 +

39、4a2,则MF=也q。-;由AM是直角三角形，可得 AM2+MF2=AF2,解得a=參底面ABCD的面积S= V2,则四棱锥 P -ABCD 的体积 V=1-/i-S = |xlxV2=.10. (2021新高考I )如图,在三棱锥A - BCD中,平面ABO丄平面BCD, AB=AD, 0为8。的中点.(1)证明:OALCD；(2)若OC。是边长为1的等边三角形,点E在棱上,DE=2EA,且二面角E-BC-。的大小为45 ,求三棱锥A - 8CO的体积.【解答】解:(1)证明:因为A8=4O,。为80的中点,所以AO丄BO,又平面4BO丄平面BCC,平面ABOC平面BCQ=8C, AOu平面

40、ABO,所以A。丄平面BCD,又C)u平面BCD,所以AO丄C)；(2)方法一：取。的中点，因为0。为正三角形，所以C丄0，过。作。例 CF与BC交于点M,则OM丄OD,所以。M, OD,。两两垂直,以点。为坐标原点，分别以。M, OD,。为轴,y轴，z轴建立空间直角坐标系如图所示,则 8(0, - 1, 0), eg, I，0), D (0, 1, 0),设 A (0, , f),则E(0,等),因为04丄平面BCQ,故平面BC。的一个法向量为04 = (0, 0,。,设平面BCE的法向量为 = (x, y, z),又BC = (够,I，0), BE = (0, I，y),厂 丄3 所以由呼、,得;(nBE = O (y + z = 令 x=V5,贝 y= - 1, z = p 故 =(6,1, %),因为二面角E-BC-O的大小为45 ,所以|cos =丄磐丄|n|O 川解得r=l,所以04=1,又Sad = *xlxlx孚=乎,所以Sabcd =冬 故匕-bcd = 1 Sbcd -O1 = 1xx1 = .方法二:过E作E丄80,交BO于点F,过作G丄BC于点G,连结EG, 由题意可知，EF/AO,又A。丄平面BCO所以E丄平面BCD,又BCu平面BCD,所以E丄BC,又BC丄尸G, FGQEF=F所以8c丄平面EFG,又EFu平面EFG,所以BC丄EG,则/EG