复变函数与积分变换第五版习题解答.pdf
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1、复变函数与积分变换第五版答案目录练习一.1练习二.3练习三.5练习四.8练习五.13练习六.16练习七.18练习八.21练习九.24练习一1求下列各复数的实部、虚部、模与幅角。1 2i2i5i;(1)3 4i1 2i2i3 4i5i解:168i2525=13i3()2(2)13i3()2解:Rez 1625Imz 825z 8 525isin)e33 133Rez 1 Imz 0 z 1(cosArgz 2kk z3iArgz arctan1 2k2k z2将下列复数写成三角表示式。1)13i1解:13i 2(cos55isin)332i解:1i2i(2)1i3利用复数的三角表示计算下列各式。
2、1i 2(cosisin)44 23i(1)3 2i 23i解:3 2i i cos2isin24(2)2 2i3342 2(cosisin)4 2 2i44解:33/4 2k3/4 2k38k38k 2 cosisin 28cosisin441616k 0,1,2,33814.设z1,z2,z3三点适合条件:z1 z2 z3=0,z1 z2 z31,z1,z2,z3是内接于单位z1+z2z2z圆=1 的一个正三角形的项点。0z3z z z1,z z 1,z,z,z1231123证:因所以都在圆周又因z1 z2 z3=0则z1 z2 z3,z1 z2 z31,所 以z1 z2也 在 圆 周z
3、1上,又z1 z2 z1 z21,所以以 0,z1,z1 z2为顶点的三角形是正三角形,所以向量2z1与z1 z2之间的张角是3,同理z2与z1 z2之间的张角也是3,于是z1与z2之间的张角22z,z,z是3,同理z1与z3,z2与z3之间的张角都是3,所以123是一个正三角形的三个顶点。35解方程z 1 0解:z3 1 z cos2k2kisin3313z1 cosisini3322z2 cosisin 1z3 cos5513isini3322k 0,1,211,16试证:当时,则1。111 证:1nnz z 2cos(z 0,是Z的辐角)7设,求证z z 2cosn.证:z z1 2co
4、s z2 2cos z 1 0则z cosisin当z cosisin时z1 cosisinzn zn(cosnisin)cos(n)isin(n)2cosnnn故z z 2cosn当z cosisin时,同理可证。*8.思考题:(1)复数为什么不能比较大小?答:复数域不是有序域,复数的几何意义是平面上的点。(2)是否任意复数都有辐角?3答:否,z 0是模为零,辐角无定义的复数。练 习 二1指出满足下列各式的点Z的轨迹是什么曲线?(1)arg(z i)4y解:设z x iy则arg(z i)argx i(y 1)4i0 x 0y 1 0 x y 1(2)则点Z的轨迹为:,其中a,b为实数常数;
5、z a Re(z b)(xa)iy Re(xbiy)解:设z x iy则:y2 2(a b)x b2a2a b 2(a b)(x)(x a)2 y2(x b)22x bx b 0则:若:a b则轨迹为:y 0若:a b则2yx a b b2b0a by 2(a b)(x)2轨迹:若:a b则a b2x a b,2无意义(3)zz az az b 0,其中为a复数b为实常数。解:由题设可知:22(z a)(z a)b a 02即:4z a ab若:若:若:a b2,则Z的轨迹为一点-a,则Z的轨迹为圆,圆心在-a,半径为,无意义0a ba b22ab2y(1,1)2用复参数方程表示曲线,连接1i
6、与14i直线段。解:z (1i)(1 4i)(1 i)t则z (1i)(25i)t0 t 1(-1,-4)(0 t)3描出下列不等式所确定和区域与闭区域,并指明它是有界的还是无界的?是单连域还是多连域?并标出区域边界的方向。(1)解:由z 1,Rez 12yz 122x y 1,得又Re z 11x 2,得200有界,单连域2(2)Re z1y解:令z x iy222Re z1 x y 1由x-100122y x 1即:无界,单连域5z 1 2(3)z 1y54(x)2 y2()233解:令z x iy则:无界,多连域3/5x4对于函数 f(z)iz,D:Im z 0,描出当z在区域D内变化时
7、,w的变化范围。解:令z x iy则w f(z)iz i(x iy)y ixIm z 0,则y 0Rew y 0,w的变化范围在第 2,3 象限,但不包括虚轴0uvRe z5.试证z0z不存在。limRe zlimxlimx0 x iyz0z证:=y01令y kx则:上述极限为1 ki不确定,因而极限不存在。练 习 三1用导数定义,求f(z)zRe z的导数。解:z0limf(z z)f(z)(z z)Re(z z)zRez limz0zzzRez zRez zRezRez lim(Rez Rez z)z0z0zzRezx lim(Rez)lim(Rez z)z0 x0zx iyy0 lim当
8、z 0时,导数不存在,6当z 0时,导数为 0。2下列函数在何处可导?何处不可导?何处解析?何处不解析?(1)f(z)1zf(z)解:1zxy22i2 u(x,y)iv(x,y)2zzx iyx yuy 2xy(x2 y2)2y2 x2ux2(x y2)2 2xyvx2(x y2)2x2 y2vy2(x y2)2当且仅当x y时,f(z)满足C R条件,故当x y时f(z)可导,但在复平面不解析。3223f(z)x 3xy i(3x y y)(2)解:令f(z)u(x,y)iv(xy)ux 3x23y2则vx 6xyvy 3x23y2uy 6xy因f(z)在复平面上处处满足C R条件,且偏导数
9、连续,故f(z)可导且解析。3设my nx y i(x lxy)为解析函数,试确定l,m,n的值。解:由C R条件可知:2nxy 2lxy又3my nx 3x ly22223232所以n l所以3m l,且n 3m 1即n l 34.设f(z)在区域D内解析,试证明在D内下列条件是彼此等价的。(1)f(z)=常数;(2)f(z)0;(3)Re f(z)常数f(z)常数。(2)Im f(z)常数;(5)f(z)解析;(6)证:由于f(z)在且域D内解析,则可得C R方程成立,即7uvuvxy且yx1)2)由f(z)c则f(z)c0在D内成立,故(2)显然成立,f(z)2)3)由uvvuuuii0
10、0u(x,y)xxyyxy是常数即Re f(z)常数v0yv(x,y)uuv00 xy3)4)u常数由CR条件x是常数Im f(z)常数4)5)若Im f(z)c,f(z)uic,f(z)uic1,因f(z)在D内解析uvc0,xyyuvc0yxxu(c),y即xu(c)yx一阶偏导连续且满足CR条件f(z)在D内解析。5)6)f(z)uiv,g(z)f(z)uiv因g(z)解析,则由CR条件uv,xyuvyx,对f(z)在D内解析,uv0v为常数uvuvyx,f(z)xyyxuv0v为常数yx为常数6)1)f(z)常数f(z)222=常数,令uvc分别对x,y求偏导数得8u u22uuv 0
11、(u v)0 xyxvuuu 0(u2 v2)u 0yyx22若u v 0则u v 0,f(z)0,因而得证uuvvi 0 0,v22xyxy若u v 0,则,故u 常数,由C R条件为常数 f(z)常数*5.思考题:zz(1)复变函数f(z)在一点0可导与在0解析有什么区别?答:f(z)在z0解析则必在z0可导,反之不对。这是因为f(z)在z0解析,不但要求f(z)在z0可导,而且要求f(z)在z0的某个邻域内可导,因此,f(z)在z0解析比f(z)在z0可导的要求高得多,如f(z)z2在z0=0 处可导,但在z0 0处不解析。(2)函数f(z)在区域 D 内解析与f(z)在区域 D 内可导
12、有无区别?答:无,(两者等价)。(3)用C R条件判断f(z)u(x,y)iv(x,y)解析时应注意些什么?答:u(x,y),v(x,y)是否可微。(4)判断复变函数的可导性或解析性一般有哪些方法。答:一是定义。二是充要条件。三是可导(解析)函数的和、差、积、商与复合仍可导(解析)函数。练 习 四1由下列条件求解析函数f(z)u iv:(1)u 2(x 1)y,f(2)iu vy解:由f(z)解析可知:x则9uy vx而ux 2yuy 2(x 1)vx uy 2(x 1),vy ux 2y所以v(x,y)vydy 2ydy y2(x)2 2(x 1)vx(x)(x)2(x 1)dx (x 1)
13、c由f(2)i可知c 0 f(z)2(x 1)y i(y2 x2 2x 1)(2)v arctgy,x 0.xyvyvx 22x y解:因 xx2 y2 vx由f(z)解析xuyux vy22x y可知:u(x,y)uxdx yx2 y2x122dx ln(x y)(y)2x2 y2uyyy1(y)u(x,y)ln(x2 y2)c2222x yx y2即f(z)1yln(x2 y2)c iarctg2xpxv esin y,求p的值使v为调和函数,并求出解析函数f(z)u iv。2设2pxpxv vxx vyy 0p esin y esin y 0v(x,y)解:要使为调和函数,有:,即:p
14、1时,v为调和函数,要使f(z)解析,则ux vy,uy vxu(x,y)uxdx vydy epxcos ydx uy1pxesin y(y)pepxsin yp1pxecos y(y)p(y)(11 p)epxsin y(y)(p)epxcos y cpp1 0 xze(cos y isin y)c e cp 1 f(z)xzpxe(cos y isin y)c e cp 1u(x,y)pecos y c即:3如果f(z)u iv为解析函数,试证u是v的共轭调和函数。u 0,v 0,ux vy,uy vx证:因f(z)解析,有:所以,u,v均为调和函数,且u亦为调和函数(u)v u xyy
15、v u(u)yxx故u是v的共轭调和函数4如果f(z)u iv是一解函数,试证:i f(z)也是解析函数。u vy,uy vx证:因f(z)解析,则x且u,v均可微,从而u也可微。而i f(z)v iu v i(u)可知:vx uyvy ux(u)y(u)x即满足C R条件if(z)也是解析函数。5试解方程:ze 13i(1)e 13i 2(cos解:z3sin3)2ei(2k)3 e1n2i(2k)3k zz ln2i(2k3)k z(2)sinz cosz 0解:由题设可知:e1 1i2z iz k4,k z6求下列各式的值:(1)Ln(3 4i)解:Ln(3 4i)ln5iarg(3 4
16、i)4 ln5i(2k aratg)3(2)33i解:Ln33i 333i 27eiLn3 27ei(ln3i2k)27eiln32k 27e2kcos(ln3)isin(ln3)1 2(3)e解:e2i2i e2ei1 e2(cos1 isin1)*7.思考题(1)为什么复变指数函数是周期函数,而实变指数函数没有周期?答:由于实数是复数的特例,因此在把实变函数中的一些初等函数推广到复变数情形时,要使定义的各种复变初等函数当z取实数x时与相应的实变初等函数有相同的值并保持某些性质不变,但不能保持所有的性质不变。z复变指数函数并不能保持实变指数函数的所有性质。如对复数z,一般没有e 0。而复变指
17、数函数的周期性,仅当周期是复数(2ki)时才显现出来。所谓实变指数函数e没x有周期,是指其没有实的周期。(2)实变三角函数与复变三角函数在性质上有哪些异同?答:两者在函数的奇偶性、周期性、可导性上是类似的,而且导数的形式、加法定理、正余弦函数的平方和等公式也有相同的形式。最大的区别是,实变三角函数中,正弦函数与余弦函数都是有界函数,但在复变三角函数中,sinz 1与cosz 1不再成立。因为eizeiz1sin z eizeiz221ize eiz21eyey2yye 0,e。故sinz.y 当时,(3)怎样理解实变对数函数与复变对数函数的异同?并理解复变对数函数的运算性质。答:因为我们把对数
18、函数定义为指数函数的反函数。所以由复变指数函数的多值性推出复变对数函数也是多值函数,Lnz ln z iArgz.Lnz的主值即lnz ln z iargz,是单值函数,当z x,而x 0时,ln z就与高等数学中的lnx值一致了。在复变对数函数的运算性质中,注意到等式ln(z1z2)lnz1lnz2与ln(z1/z2)lnz1lnz2,要对其含义理解清楚。在实变对数函数中它们的意义是明了的,但在复变指数函数中,例如,1 3Ln(z1z2)Lnz1z2iArg(z1z2).lnz1 ln z1iArgz1,lnz2 ln z2iArgz2,而lnz1z2 ln z1ln z2,Arg(z1z2
19、)Argz1 Argz2应理解为:任意给定等式两端两个多值函数一对可能取的值,左端多值函数也必有一个值使等式成立。反过来也一样。也就是理解为等式两端可能取的函数值从全体上讲是相同的(即不能只考虑某一单值支)。后一式也同样理解,但对等式nLnz Ln(z)和nLnnz 1Lnz,nin它两端所能取的值从全体上看还是不一致的。如对nLnz Lnz,取n 2时,设z re,22i2得2Lnz 2lnr i(2 4k).k 0,1,2,而从z r e,得22Ln(z)lnr i(2 2m),m 0,1,2,两者的实部是相同的,但虚部的可取值不完全相同。(4)调和函数与解析函数有什么关系?答:如果f(z
20、)u iv是区域D内的解析函数,则它的实部u和虚部v的二阶偏导数必连续,从而满足拉普拉斯方程,所以是调和函数。由于解析函数的导函数仍是解析函数,所以它的实部和虚部的任意阶偏导数都是f(z)的相应阶导数的实部和虚部,所以它们的任意阶偏导数都存在且连续。故可以推出:u、v的任意阶偏导数仍是调和函数。(5)若v是u的共轭调和函数,可以说u是v的共轭调和函数吗?答:不行,两者的地位不能颠倒。因为,若v是u的共轭调和函数,则应有uv vuvu uv,;,xy xy而u是v的共轭调和函数,要求xy xy两者一般不能同时成立,所能推知的是u是v的共轭调和函数。练 习 五1计算积分解:1i0(x y)ix2d
21、z,积分路径:自原点沿实轴至1,再由1 铅直向上至 1+i。1i0(x y)ix2dz(1,i)01 4(1,0)(0,0)1(x y)ix2dz 210(1,0)(0,0)(x y)ix2)dz(x ix)dx i(1 y i)dy015 i26c2计算积分zdzz的值,其中 C 为(1)z 2;(2)z 4.i解:令z re则z ri2rezdz rieid 2ri0zr当r 2时,为4i当r 4时,为8iezdzz 2z 1cz3求积分的值,其中 C 为由正向圆周与负向圆周所组成。eeedz dz dzczz 2zz 1z解:2i 2i 0DC2zzzC1y121dzz 2.cz2 z4
22、计算,其中 C 为圆周1dzcz2 z解:111dz dz dzz 2z(z 1)z 2(z 1)z 2z 2i 2i 05计算下列积分值:i(1)解:0sin zdzi0i coszsin zdz01cosizezdz(2)1i11 5解:1i1ze dz1zde (ze e)1z1izzz1i ie1i6当积分路径是自i沿虚轴到i,利用积分性质证明:ii(x2iy2)dz 2iiii证:22222(x iy)dz(x iy)dzyiids 1.2 2*7.思考题(1)在积分的定义中为什么要强调积分f(z)“沿曲线C由到的积分”?它与“沿曲线C由到的积分”有什么区别?答:在定积分中已有baf
23、(x)dx f(x)dxba,即积分是与区间的方向有关的,这里w f(z)在C上的积分也与C的方向有关。这从积分和式snf(k)zkk1n中的因子zk zk zk1可直接看出,若改变C的方向,即f(z)是沿曲线C由到积分,则积分与原积分反号:其中C1Cf(z)dz Cf(z)dz表示C的反向曲线。(2)复函数f(z)的积分与实一元函数定积分是否一致?答:若C是实轴上的区间,,由定义知Cf(z)dz f(x)dx,即为一个实函数的积分,如果f(x)是实值的,则为一元实函数的定积分,因而这样定义复变函数积分是合理的,而且可以把高等数学中的一元实函数的定积分当作复积分的特例看待。f(z)dzf(z)
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- 函数 积分 变换 第五 习题 解答
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