武汉科技大学-信号与系统习题精解第4章.pdf

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1、第第 4 4 章章 时域离散信号的频域分析时域离散信号的频域分析4.1 学习要点1.z 变换的定义序列x(n)的 z 变换定义为：X(z)ZT x(n)n x(n)z n(4-1)单边 z 变换定义为：XI(z)n 0 x(n)z n(4-2)对因果序列，单边 z 变换与双边 z 变换相等。2.z 变换的收敛域并不是所有序列的 z 变换对所有z值都是存在的。序列的 z 变换存在，就必须有|x(n)zn n|(4-3)又因为z rej，则要求n|x(n)r n|(4-4)Rx|z|Rx，Rx根据罗朗级数的性质，z 变换的收敛域一般是某个环域：式中RxRx，可小到 0，Rx可以大到。求序列的 z

2、变换，必需给出收敛域，因为不同序列的z 变换可能相同，但收敛域不同。讨论z 变换的收敛域问题不仅涉及z 变换的存在性和惟一性，而且由收敛域的形态，可大致推断出其对应信号的类型，归纳于表4-1 中。表 4-1 序列类型与收敛域的对应关系序列类型n1n1 0n2n2 0收敛域|z|0|z|有限长序列n1 0n1 0n2 0n2 0n2 0|z|Rx|z|右边序列n1 073n1 0n1 左边序列n2 n2 0n2 0n2 Rx|z|Rx0|z|Rxn1 双边序列|z|Rxn1|z|Rx3.z 反变换已知X(z)及其收敛域，反过来求序列x(n)的变换称为 z 反变换。z 反变换的定义为：12jx(n

3、)X(z)zn 1cdz,c (Rx,Rx)(4-5)c 为X(z)收敛域内环绕原点的一条逆时针闭合围线。直接计算围线积分是比较麻烦的，一般采用幂级数展开法、留数法和部分分式展开法。（1）幂级数展开法幂级数展开法，又叫长除法。根据z 变换的定义，可用长除法将X(z)展开为幂级数形式，其系数就是相应的原序列的值。幂级数展开法的一般步骤：根据收敛域确定对应的序列是因果序列还是反因果序列；若为因果序列，可将X(z)展成负幂级数（分子、分母也按z的降幂排列），若为反因果序列，可将X(z)展成正幂级数（分子、分母也按z的升幂排列）；总结序列的规律。（2）留数法对于有理 z 变换，式(4-5)的围线积分可

4、用留数定理来计算。设在有限的z平面上，ak(k 1,2,N)是X(z)zn 1n 1在围线c内部的极点集，bk(k 1,2,N)是X(z)z在围线c外部的极点集。根据柯西留数定理，有Nx(n)或k 1Re s X(z)zn 1,ak(4-6)Mx(n)Re s X(z)zk 1n 1,bk(4-7)围线c内的极点一般对应于一个因果序列，而c外的极点对应于一个反因果序列，因此当n 0时，使用式(4-6)；当n 0时，使用式(4-7)。如果X(z)zn 1是z的有理函数，且z z0处有m阶极点，即74X(z)zn 1(z)(z z0)n 1m(4-8)式中，(z)在z z0处无极点，那么X(z)z

5、Re s X(z)zn 1在z z0处的留数可用下式计算 d,z0(m 1)!dz1m 1m 1(z z0)mX(z)zn 1z z0(4-9)（3）部分分式展开法同拉普拉斯反变换一样，z 反变换也可使用部分分式展开法来求取原序列。其主要思想依然是将有理分式的象函数分解为基本己知序列的象函数之和，从而求出原序列。若X(z)为两个多项式P(z)和Q(z)的比，设P(z)和Q(z)的阶次分别为M和N。当M N且X(z)只有一阶极点时，则X(z)可以表示成下列形式的部分分式展开式。X(z)P(z)Q(z)b0 b1za0 a1zb0 b1zN11 b2z a2z2 2 bMz aNz MN M N1

6、 bMz1k 1Ak1 dkz1(4-10)k 1(1 dkz)式中，dk(k 1,2,N)是X(z)的极点。Ak可由极点上的留数求得，即Ak=(1 dkz1)X(z)|z d(4-11)k如果M N，则X(z)可展开成如下形式：N(M N)(M N 1)1X(z)BM Nz BMz N 1Ak B1z B0k 1Ak1 dkz1M NN(4-12)n 0Bnz nk 11 dkz1式中，Bn可直接用长除法得到，Ak仍由式(4-11)求得。如果X(z)具有多阶极点，则需要对式(4-12)进行修正，设X(z)在z d1处有一m阶的重极点，其余为单极点，X(z)可展为：M NmX(z)n 0Bnz

7、 nk 1Bk(1 d1z1N)kk m 1Ak1 dkz1(4-13)其中，Am 1,AN计算同上。Bk为：75Bk d(m k)!dz1m km k(1 d1z1)mX(z)(4-14)z d1部分分式展开法的步骤：求出X(z)的所有极点；根据极点进行部分分式分解，求出Bn、Ak和Bk；根据收敛域，分清哪些部分分式对应的是因果序列，那些部分分式对应的是反因果序列；根据常用序列z 变换，求出X(z)所对应的x(n)。在已知X(z)及其收敛域求解序列x(n)的三种方法中：幂级数展开法原理简单，但一般得不到封闭解；留数法能得到封闭解，但需要讨论多种情况；相比较而言，部分分式展开与收敛域相结合的方

8、法是最适用的。当然也可以应用z 变换的性质来求 z 反变换，灵活掌握 z变换的性质不仅能简化求z 变换的运算，也能简化求z 反变换的运算。4.z 变换的性质将 z 变换的基本性质列于表4-2 中。表 4-2z 变换的基本性质序列Z 变换aX(z)bY(z)m收敛域1ax(n)by(n)2x(n m)3ax(n)4x(n)nmax(Rx,Ry)z min(Rx,Ry)zX(z)1Rx z Rx|a|Rx z|a|Rx 1Rx 1Rx X(az)X(1z)z 5x(n)6nx(n)7Re x(n)8Im x(n)*X(z)*Rx z Rx Rx z Rx(z)z1212 jddzX(z)X(z)X

9、Rx z Rx X(z)X(z)Rx z Rx 9x(n)h(n)10 x(n)h(n)X(z)H(z)12jzvmax Rx,Rh z min Rx,Rh X(v)H()v1cdvRx Rh z Rx Rh 11x(0)lim X(z)z x(n)为因果序列，|z|Rx 7612lim x(n)lim(z 1)X(z)n z 1x(n)为因果序列，(z 1)X(z)的极点都在单位圆内13n x(n)h(n)12jX()H(*1c)1dRx Rh z Rx Rh 5.序列傅里叶变换序列x(n)的傅里叶变换定义为：X(ej)n x(n)e jn（4-15）反变换的定义为：x(n)12X(ej)e

10、jnd(4-16)j(4-15)和(4-16)式组成一对傅里叶变换公式。在物理意义上，X(e简称频谱，为数字域频率。X(eX(e或用幅度和相位表示为：X(e其中1jj)表示x(n)的频谱密度，)一般为复数，可用实部和虚部表示为：(ej)XR)jXI(ej)(4-17)j)|X(ej)|ej arg x(ej)X()ej()(4-18)X()|X(ej)|Xj2R(ej)X2I(ej)2(4-19)()arg X(e)arctgXI(eXRjj)(e(4-20)序列傅里叶变换有两个特点：(1)X(ej)是以2为周期的的连续函数。这是因为ej(2)j(2)n ejn，所以从式（4.6-1）可得出X

11、(e)X(ej)。(2)当x(n)为实序列时，X(e数，相位arg X(ejj)的幅值|X(ej)|在0 2区间内是偶对称函)是奇对称函数。序列傅里叶变换是单位圆上的 z 变换。只有绝对可和的序列（即|x(n)|）才能 用（4-15）式求傅里叶变换。特殊地，周期序列需要引入冲激信号，才能得到周期序列的傅里叶变换。776.序列傅里叶变换的性质表 4-3 列出了序列傅里叶变换的一些重要性质。表 4-3 序列的傅里叶变换的有关性质1线性时域离散信号傅里叶变换x(n)X(eY(ej)jy(n)jax1(n)bx2(n)x(n n0)aX1(e)bXj2(ej)2移位e jn0X(e)3调制ej0n x

12、(n)X(eX(ej(0)4反转x(n)nx(n)j)j5乘以 njdX(ed)6复共轭x(n)X(e j)x(n)X7卷积*(ej)x(n)y(n)X(ej)Y(ej)8相乘x(n)y(n)Re x(n)12jX(e)j)Y(ej()d9对称性Xe(eXo(ej Im x(n)j)xe(n)xo(n)XjXR(ej)I(ej7.周期序列傅里叶级数定义WN e j2N，周期序列的傅里叶级数（DFS）变换对为：N 1X(k)DFS x(n)n 0 x(n)eN 1 j2NnkN 1j2Nn 0nknkx(n)WNk 0,1,N 1(4-21)1NN 11x(n)IDFS X(k)Nk 0X(k)

13、ek 0 nkX(k)WNn 0,1,N 178将n和k进行周期延拓可得，X(k)N 1n 0N 1x(n)WknN,k (4-22)1x(n)Nk 0X(k)W knN，n (4-23)式（4-22）和(4-23)表明：（1）将周期序列分解成N次谐波，第k次谐波频率为k(2/N)k，幅度为(1 N)X(k)；（2）基波分量的频率是2N，k 0,1,2,N 1，幅度是(1 N)X(1)。一个周期序列可以用离散傅里叶级数表示其频谱分布规律。（3）DFS 具有线性性质、移位性质、调制性质和时域、频域卷积性质。8.周期序列傅里叶变换对于一般的周期序列x(n)，其傅里叶变换为：X(ej)(2N)k 2

14、X(k)(k)（4-24）N2N式中X(k)为离散傅里叶级数，X(k)N 1n 0 x(n)e jkn。表 4-4 中给出了一些常用序列的傅里叶变换。表 4-4 常用序列的傅里叶变换常用序列傅里叶变换(n)a u(n)n1(1 ae j)1RN(n)e j(N 1)/2sin(N2)/sin(2)u(n)(1 e j)1k (2k)x(n)12(k 2k)ej0n,2 0为有理数2(k 0 2k)cos(0n),2 0为有理数(k 0 2k)(0 2k)79sin(0n),0为有理数 j(k 0 2k)(0 2k)周期序列傅里叶变换是以2为周期的频率为k(2/N)k的一系列冲激，这是周期序列频

15、谱和非周期序列频谱的最大区别。进而联系时域连续信号的频谱特点，可以总结出：时域的连续性对应频域的非周期，时域的离散性对应频域的周期性，时域的周期性对应频域的离散性，时域的非周期对应频域的连续性。9.序列 z 变换、序列傅里叶、时域连续信号拉普拉斯变换、傅里叶变换之间的关系序列 z 变换、序列傅里叶变换和时域连续信号拉普拉斯变换、傅里叶变换有着千丝万缕的联系。（1）在连续域，信号傅里叶变换是虚轴上的拉普拉斯变换，即Xa(j)Xa(s)|s ej（4-25）（2）在离散域，序列傅里叶变换是单位圆上的z 变换，即X(ej)X(z)|z ej（4-26），序列z 变换等于时域连续信号拉普拉斯（3）将连

16、续域和离散域结合起来，当z e变换Xa(s)以ssT 2T为周期进行的周期延拓，即X(z)|z esT1Tr Xa(s jsr)1Tr Xa(s j2Tr)（4-27）序列傅里叶变换X(e进行的周期延拓，即j)等于时域连续信号傅里叶变换Xa(j)以s 2T为周期X(ej)1Tr Xa(j 2rT)（4-28）（4）s平 面 和z平 面 的 关 系。令s j，z rerejj，由z esT得 到 e(j)T eTej T，因此Tr e(4 29)T(4-30)根据式(4-29)，当 0时，有r 1，即s平面中的j轴映射到z平面中的单位圆上；当 0时，有r 1，即s平面的左半平面映射到z平面的单位

17、圆内部；当 0时，有r 1，即s平面的右半平面映射到z平面的单位圆外部。根据式(4-30)，当从T增加80到T时，则由增加到，即辐角旋转一周，或将整个z平面映射一次。这样，2T当再增加（一个采样频率）时，则相应地又增加2，即辐角再次旋转一周，或2T将整个z平面又映射一次。因此，s平面上宽度为的水平带映射到整个z平面，左半带2T映射到单位圆内部，右半带映射到单位圆外部，长度为平面可被分成无限条宽度为2T的虚轴映射成单位圆周。由于s的水平带，所以s平面可映射到z平面无限多次。由于这些z平面重叠在一起，因此这种映射不是简单的一一映射。图4-1 描述了这种映射关系。j3TjIm zT1TR ez0 0

18、0 0 3T(a)s 平面图 4-1 s平面到 z平面的映射关系(b)z 平面4.2 精选例题例 1 利用 z 变换的性质求下列序列的z 变换，并注明收敛域。（1）1 (1)u(n)21n（2）(1)nu(n)（3）n(n 1)u(n 1)（4）()cos(21nnn24)u(n)解：（1）X(z)X1(z)X2(z)X1(z)ZT X2(z)ZT 1122zu(n)n1z12 z 1|z|1z1(1)u(n)2 z 1z2|z|1所以X(z)2|z|12z 1z 1z 1z81（2）因为(1)u(n)所以n(1)u(n)znnzz 1zz2|z|1|z|1ddz(zz 1)z 1（3）因为n

19、u(n)(z 1)2|z|1(n 1)u(n 1)z1z(z 1)21(z 1)2|z|1所以n(n 1)u(n 1)zddz1(z 1)2 2 z 2 z(z 1)42|z|1（3）因为()c o s(21nn24)u(n)22jn2(1nn)c o s()u(n)22 jn2jn2 j22n2(1nn)s i n()u(n)2222(12)ne e2e e2 ju(n)又因为ejn2u(n)zz jzz j|z|1 jn2eu(n)|z|1jn2 jn2e e2u(n)n2zz22 1|z|1jn2 j所以jn2 jn2e e2 ju(n)zz2 1|z|1jn2 jn222(12)ne

20、e2e e2 ju(n)2(2 z)222 2 z 1(2 z)2(4 z222 2 z)14 z2(2 z4 z22 z)1|z|12例 2 因果序列的 z 变换如下，求x(0)、x(1)、x(2)。82X(z)z2 z 112)(z 1)(z 解：由 z 变换的定义得X(z)x(n)z n x(0)x(1)z1 x(2)z 2 x(3)z 3 n 0是关于 z 的幂级数，所以2x(0)lim X(z)limz z 1 1z z (z 1)(z 1)2x(1)lim zX(z)zx(0)lim zz2 z 13z z (z 1)(z 1 1)222x(2)lim z2X(z)z2x(0)zx

21、(1)lim z2z z 19z z (z 1)(z 1 z23z)242例 3 已知x(n)X(z)，求下列信号的 z 变换。n（1）xx(n 1(n)M),M,2 M,)0(othersn)（2）x2(n)x(M n)式中，M为正整数。解：（1）X1(z)x1(n)z nx(lM)z lMx(lM)z lMx(l)z lM X(zM)n l l l 所以X1(z)X(zM)M 1（2）mkmX2(z)x2(n)z nx(M n)z nx(m)1ezMn n m Mj2Mk 0j21 mM 1k11M 1 eMzM)1X(eMzM)M mkx(m)(k 0 m Mj2k 0例 4 已知象函数

22、83X(z)z 22 z2 7 z 3求其收敛域分别为（1）|z|3；（2）0|z|0.5；（3）0.5|z|3时对应的原序列x(n)。解：将X(z)z进行部分分式分解，得X(z)zz 2z(2 z2 7 z 3)23 z1z 0.5131z 3所以X(z)23zz 0.513zz 3（1）当收敛域为|z|3时，x(n)为因果序列，查表 4-1 得原序列x(n)23(n)0.5n 3n 1u(n)（2）当收敛域为0|z|0.5时，式等号右端第一项对应因果序列，第二、三项对应反因果序列，查表 4-1 得原序列x(n)23(n)0.5n 3n 1u(n 1)（3）当收敛域为0.5|z|3时，式等号

23、右端第一、二项对应因果序列，第三项对应反因果序列，查表 4-1 得原序列x(n)23(n)0.5u(n)3nn 1u(n 1)例 5 已知序列x(n)(n 3)(n 1)2(n)(n 1)(n 3)2(n 4)(n 5)(n 7)，X(ej)是信号x(n)的傅里叶变换，求：（1）X(0)的值；（2）X(eX(ej)d的值；)d的值。2（3）解：j（1）由离散时间傅里叶变换的定义式X(ej)n x(n)e jn，当 0时，7X(0)n x(n)n 3x(n)684（2）由离散时间傅里叶反变换的定义式x(n)12X(ej)ejnd，当n 0时，X(ej)d 2x(0)47（3）由帕斯瓦尔定理得X(

24、ej)d 22n 3|x(n)|2 28。例 6x(n)是一个实的且为偶周期信号，周期为N 6，傅里叶级数系数为ak，已知：57na14 2，a19 1，x(n)2，(1)x(n)1。确定a0，a1，a 2，和a 3的值。n 0n 2解：因为x(n)是一个实的且为偶周期信号，周期为N 6，所以x(n)x(6 n)。N 1 j2Nkn5 j3又因为a2 a14 2，a1 a19 1，傅里叶级数系数ak所以5n 0 x(n)en 0knx(n)e，a0n 0 j3kn5x(n)en 0 x(n)25a 3 a3n 0 j3kn557x(n)en 0 x(n)e jnn 0(1)x(n)nn 2(1

25、)x(n)1na 2 a4 a2 2a1 a5 a1 1例 7 已知某离散时间序列x(n)，其傅里叶变换X(ej)如例 7 图所示。x(n),n 2kx1(n)x(2n)，x2(n)0,n 2k 1分别画出x1(n)，x2(n)的频谱X1(ej)，X2(ej)。X(e1j)253303532例 7 图85解：（1）FTx(2n)=令n 2n，则FTx(2n)=n x(2n)e jnn取偶数x(n)e jn 21=1 x(n)(1)n jnx(n)e2n 21=1j1x(n)e2nejn j2nx(n)e2n n =1j1j(1)222 X(e)X(e)或者FTj1j1j1x(2n)=122 X

26、(e)X(e2)X(e2)（2）FTx2(n)=x(n)e jnn 2n取偶数令n n 2,n ，则FTx2(n)=x(n)e j 2n X(ej 2)n n取偶数x1(n)，x2(n)的频谱X1(ej)，Xj2(e)如例 7 解图所示。X1(ej)1 220233286X2(ej)10 2266例 7 解图4.3 习题精解1.1.求出以下序列的 z 变换及收敛域。（1）2 nu(n)（2）2 nu(n 1)（3）2 nu(n)（4）(n)（5）(n 1)（6）2 nu(n)u(n 10)解：解：（1）ZT2 nu(n)2 nu(n)z n2 nz n1|1n n 01 21z1,|z2（2）

27、ZT 2 nu(n 1)2 nu(n 1)z n 2 nz nn n 1 2nzn 2 zn 11 2 z1,|z|11 21z12（3）ZT2 nu(n)2 nu(n)z n2 nz nn n 02nzn1|1n 01 2 z,|z2（4）ZT(n)=1，0|z|（5）ZT(n 1)=z1，0|z|9（6）ZT2 n(u(n)u(n 10)=2 nz n1 210z101,0|z|n 01 2z12.2.求以下序列的 z 变换及收敛域，并在z平面上画出零-极点分布图。87（1）x(n)RN(n),N 4（2）x(n)Arncos(0n)u(n),r 0.9,0 0.5rad,0.25radn

28、（3）x(n)2 N n00 n NN 1 n 2 N,式中 N 4其它解：解：3（1）X(z)n R4(n)z nn 0z n1 z1 z41z34 1z(z 1),0|z|z 1=0，零点为：zk e4j24k,k 0,1,2,3；3z(z 1)=0，极点为：z1,2 0,1零极点分布图如题 2 解图（a）所示，图中z 1处的零极点相消。（2）x(n)Ar12ncos(0n)u(n)12Arenj0nej e12 j0nee ju(n)e1 re j j01jj01X(z)Aren 0nj0nejz nn 0ren j0ne jz n A1 rezz=Acos r cos(0)z(1 re

29、j011z1)(1 re j0,)z|z|r零点：z1 rcos(0)cos，极点：z2 rej0，z3 re j0零极点分布图如题 2 解图（b）所示。（3）令y(n)R4(n)，则x(n 1)y(n)*y(n)zX(z)Y(z)，X(z)z21Y(z)2因为Y(z)1 z1 zz341z34 1z(z 1)1z74因此得到X(z)z1 1z(z 1)j242z4 1z 12极点为：z1 0，z2 1，零点为：zk ek,k 0,1,2,3；88在z 1处的零极点相消，收敛域为：0|z|，零极点分布图如题 2 解图（c）所示。jIm zjIm zjIm z R ez 题 2 解图R ez R

30、 ez（a）（b）（c）3.3.已知：X(z)1 312z121 2 z1求出对应X(z)的各种可能的序列表达式。解：解：X(z)有两个极点：z1 0.5，z2 2，因为收敛域总是以极点为边界，因此收敛域有以下三种情况：|z|0.5，0.5|z|2，|z|2三种收敛域对应三种不同的原序列。（1）当收敛域为|z|0.5时，由收敛域可得原序列为左边序列。X(z)1 312z121 2 z1查表 4-1 可得x(n)3 ()2 2u(n 1)21nn（2）当收敛域为0.5|z|2时，X(z)1 312z121 2 z1 X1(z)X2(z)由收敛域可得X1(z)对应的原序列为右边序列，而X2(z)对

31、应的原序列为左边序列，查表4-1 可得x(n)3 ()u(n)2 2u(n 1)21nn（3）当收敛域为|z|2时，由收敛域可得原序列为右边序列。89X(z)321 1z11 2 z12查表 4-1 可得x(n)3 (1)n 2 2nu(n)24.已知x(n)anu(n),0 a 1。分别求（1）x(n)的 z 变换；（2）nx(n)的 z 变换；（3）a nu(n)的 z 变换。解：解：（1）X(z)ZT anu(n)1a1 az1，|z|d2（2）ZT nx(n)-zX(z)azdz12|z|a(1 az)，（3）ZT a nu(n)a nz nanzn1，n 0n 01 az|z|a11

32、5.已知X(z)3 z2 5 z1 2 z 2，分别求：（1）收敛域0.5|z|2对应的原序列x(n)；（2）收敛域|z|2对应的原序列x(n)。解：解：X(z)有两个极点：z1 0.5，z2 2，所以利用部分分式进行展开为：X(z)A1A21 2 z11 1z12其中3z1A211(1 2 z1)(1 1(1 2 z)|z 2 1z1)290A2(1 2 z132z1)(1 12(1 z112z1)|z 12 1)所以X(z)X1(z)X2(z)A11 2 z11 A212z1 11 2 z11 112z1（1）收敛域0.5|z|2对应的原序列x(n)，由收敛域可得X1(z)对应的原序列为左

33、边序列，而X2(z)对应的原序列为右边序列，查表4-1 可得x(n)()u(n)2u(n 1)21nn（2）收敛域|z|2对应的原序列x(n),由收敛域可得X1(z)、X2(z)对应的原序列都为右边序列，查表 4-1 可得x(n)()u(n)2u(n)21nn6.分别用长除法、部分分式法求以下X(z)的反变换：1 1314zz1（1）X(z)1,2|z|12（2）X(z)1 2 z1 14z1,2|z|12解：解：（1）部分分式法：X(z)有两个极点：z1 0.5，z2 0.5，所以利用部分分式进行展开为：1 X(z)1 1314zz1 2A11 12z11 A212z11 A1(1 12z1

34、13z1)(1 12(1 z112z1)|z 0.516)911 A2(1 12z113z1)(1 12(1 z112z1)|z 0.556)所以1 X(z)1 1314zz11612z15612z1 21 1 由收敛域|z|12可得原序列为右边序列，查表4-1 可得x(n)11n51n()()u(n)6262长除法x(n)1,13,14,112,161（2）部分分式法：X(z)有两个极点：z1 0.5，z2 0.5，所以利用部分分式进行展开为：X(z)1 2 z1 14z1 2A11 12z11 A212z192A1(1 1 2 z12z11)(1 12(1 z112z1)|z 0.5 32

35、)A2(1 1 2 z12z11)(1 12(1 z112z1)|z 0.552)所以1 2 z1 14z11 1232z151 212X(z)z1 2由收敛域|z|12可得原序列为左边序列，查表3-2 可得x(n)31n51n()()u(n 1)2222长除法x(n)n 0 x(1)x(2)x(3)x(4)x(5)08-432-161287.设确定性实序列x(n)的自相关函数用下式表示：rxx(m)n x(n)x(n m)试用x(n)的 Z 变换X(z)和傅里叶变换X(e里叶变换Rxx(ejj)分别表示自相关函数的 Z 变换Rxx(z)和傅)。解：rxx(m)n x(n)x(n m)93Rx

36、x(z)m n x(n)x(n m)z mn x(n)m x(n m)z m令m n m，则Rxx(z)n x(n)m nx(m)z m n=n x(n)zm x(m)z m X(z1)X(z)或者rxx(m)n x(n)x(n m)x(m)x(m)Rxx(z)X(zRxx(ej1)X(z)=Rxx(z)|jz ej X(e(ejj)X(e j)j)=|X(ej因为x(n)是实序列，X(e8.设X(ej)X*)，因此Rxx(e)|。2)和Y(ej)分别是x(n)和y(n)的傅里叶变换，试求下列序列的傅里叶变换：*（1）x(n n0)（2）x(n)（3）x(n)（4）x(n)*y(n)（5）x(

37、n)y(n)（6）nx(n)（7）x(2n)（8）x(n)x(n 2),n 偶数0，n 奇数2（9）x9(n)解：解：（1）FTx(n n0)=n x(n n0)e jn令n n n0，n n n0，则FTx(n n0)=n *x(n)e j(n n0)e jn0X(ej)（2）FTx(n)=*n x(n)e jn n x(n)e jn X*(e*j)94（3）FTx(n)=令n n，则n x(n)e jnjn jFTx(n)=x(n)e X(e)n （4）FTx(n)*y(n)=X(ej)Y(ej)证明x(n)*y(n)=x(m)y(n m)m FTx(n)*y(n)=x(m)y(n m)e

38、 jnn m 令k n m，则FTx(n)*y(n)=x(m)y(k)e jke jmk m =y(k)e jkx(m)e jmk m =X(ej)Y(ej)（5）FTx(n)y(n)=x(n)y(n)e jnn =x(n)1jde jnn 2Y(e)ejn=12Y(ej)e j()ndx(n)n =1Y(ej)X(ej()d2或者FTx(n)y(n)=1X(ej)*Y(ej)2（6）因为X(ej)x(n)e jn，对该式两边对求导，得到n dX(ej)d jnx(n)e jn jFTnx(n)n 95j因此FTnx(n)=jdX(e)d（7）FTx(2n)=x(2n)e jnn 令n 2n，

39、则FTx(2n)=x(n)e jn 2n取偶数=1 j1 x(n)(1)nx(n)e2nn 21=1 j1n jnx(n)e2ejnx(n)e22n n 1=1jj(1)222 X(e)X(e)或者FTj1j1x(2n)=1j122 X(e)X(e2)X(e2)（8）FTx2(n)=x2(n)e jnn 利用（5）题结果，令x(n)y(n)，则FTx2(n)=1(ej)*X(ej)j()2X=12X(e)X(ej)d（9）FTx9(n)=x(n)e jnn 2n取偶数令n n 2,n ，则FTx9(n)=x(n)e j 2n X(ej 2)n n取偶数9.已知X(ej)1,|00,0|求X(e

40、j)的傅里叶反变换x(n)。96解：解：x(n)12j00ejndsin0nnj()10.线性时不变系统的频率响应H(e)|H(ej)|e，如果单位序列响应h(n)为实序列，试证明x(n)A cos(0n)的稳态响应为y(n)x(n)h(n)A|H(ej0)|cos0n(0)解：解：假设输入信号x(n)ej0n，系统单位脉冲响应为h(n)，系统输出为j0(n m)j0n j0mj0j0ny(n)x(n)*h(n)m h(m)e em h(m)e H(e)e上式说明，当输入信号为复指数序列时，输出序列仍是复指数序列，且频率相同，但幅度和相位决定于网络传输函数，利用该性质解此题。x(n)A cos

41、(0n)=12j0Aej0nej e j j0ne jy(n)1212AeAej0nejH(e)e)|e j0neH(e j0)|H(e j0=上式中|H(ejj0nej|H(ej0j(0)e j0ne j)|ej(0)|是的偶函数，相位函数是的奇函数，即|H(ej0)|=|H(e j0)|，(0)(0)j0ny(n)12A|H(ej0j0)|eejej(0)e j0ne je j(0)=A|H(e)|cos0n(0)11.试证当x(n)为实序列且具有偶对称或奇对称时，即x(n)x(n)或x(n)x(n)时，频谱具有线性相位。证明：因为当x(n)为实偶序列时，X(e当x(n)为实奇序列时，X(

42、ejj)也是实偶函数，相角为 0；)为是纯虚奇函数，相角为2。j12.设题图 12 所示的序列x(n)的傅里叶变换用X(e列运算。)表示，不直接求出X(ej)，完成下97（1）X(ej 0)；x(n)（2）X(ej)d；221111（3）X(ej)；-3-2 -10 1 2 3 4 5 6 7（4）确定并画出傅里叶变换实部Re X(ej)题 12 图的时间序列xe(n)；（5）|X(ej)|2d；dX(ej)2（6）|d。d7解：（1）X(ej 0)=x(n)6n 3（2）X(ej)d4=x(0)2=7（3）X(ej)=x(n)e jn(1)nx(n)2n n 3（4）因为傅里叶变换的实部对应

43、序列的共轭对称部分，即Re X(ej)=xe(n)e jnn x1e(n)(x(n)x(n)2按照上式画出xe(n)的波形如题 12 解图所示：xe(n)210.5-77n-6-5-4-3-2-10123456-0.5题 12 解图（5）7|X(ej)|2d=2|x(n)|2 28n 3（6）因为n98dX(edj)FT jnx(n)dX(ej)27因此|nx(n)|2 316d|d=2|n 313.试求如下序列的傅里叶变换。（1）x1(n)(n 3)（2）x2(n)1(2(n 1)(n)12n 1)（3）xan3(n)u(n),0 a 1（4）x4(n)u(n 3)u(n 4)解：解：（1）

44、Xj1(e)(n 3)e jn e j 3n （2）X j1jj2(ej)x2(n)e jn1n 2ej 1 12e 1 2(e e)1 cos（3）X3(ej)anu(n)e jnane jn1 jn n 01 ae3（4）X jn4(ej)u(n 3)u(n 4)ee jnn n 33133=e jne jne jnejnn 0n 3n 0n 1 j 4j 31 e j 4 j1 ej 31 e1 e1 ejej1 e1 e j1 e j=ej 3 e j 41 ej 7ej 31 e j1 e j j7j7 j77e2(e2 e2=)sin(2)111ej 31 jj je2(e2 e2

45、)sin(2)或者x4(n)u(n 3)u(n 4)=R7(n 3)99X4(ej)n R7(n 3)e jn6 j 7FT R7(n)e jn1 e jn 01 eXjn4(ej)R7(n 3)e1 ej 73n 1 e jej j7j7 j7 j1j7 j77e2(e2 e2)222)=111ej 3e(e e)sin(112 jj j j1j j1e2(e2 e2)e2(e2 e2)sin(2)14.设（1）x(n)是实偶序列，（2）x(n)是实奇序列，分别分析推导在以上两种假设下，其x(n)的傅里叶变换的性质。解：令X(ej)x(n)e jnn （1）x(n)是实偶函数，X(ej)x(

46、n)e jnn 两边取共轭，得到X*(ej)x(n)ejnx(n)e j()n X(e j)n n 因此X(ej)X*(e j)上式说明x(n)是实序列，X(ej)具有共轭对称性质。X(ej)x(n)e jnx(n)cos j sinn n 由于x(n)是偶函数，x(n)sin是奇函数，那么100n x(n)sin 0因此X(ej)n x(n)cos该式说明X(ej)是实函数，且是的偶函数。j总结以上x(n)是实偶函数时，对应的傅里叶变换X(e（2）x(n)是实奇函数，上面已经推出，由于x(n)是实序列，X(eX(ejj)也是实偶函数。)具有共轭对称性质，即*)X(e j)X(ej)n x(n

47、)e jnn x(n)cos j sin由于x(n)是奇函数，x(n)cos是奇函数，那么n x(n)cos 0因此X(ej)jn x(n)sin该式说明X(ej)是纯虚数，且是的奇函数。15.设x(n)R4(n)，试求x(n)的共轭对称序列xe(n)和共轭反对称序列xo(n)，并分别用图表示。解：xe(n)12(R4(n)R4(n)，xo(n)12(R4(n)R4(n)xe(n)和xo(n)的波形如题 15 解图所示。xe(n)10.5-3-2-10123n-3-0.5题 15 解图xo(n)0.5-2-10123n10116.设x(n)a u(n),变换。n0 a 1，分别求出x(n)的偶

48、序列xe(n)和奇序列xo(n)的傅里叶解：解：X(ej)n jx(n)e jnj因为xe(n)的傅里叶变换对应X(e)的实部，xo(n)的傅里叶变换对应X(e)的虚部乘以j，因此FTxe(n)=Re X(ej)=Re1Re11 ae j1 ae j 1 ae j1 ae j=1 a cos1 a2 2a cos jFTxj1o(n)=j Im X(e)=j Im j Im11 ae1 ae j1 ae j1 ae j=a sin1 a2 2a cos17.若序列h(n)是实因果序列，其傅里叶变换的实部如下式H(ejR)1 cos求序列h(n)及其傅里叶变换H(ej)。解：解：HjR(e)1

49、cos 1 ej e j FT hjne(n)he(n)en 1,n 1)2he(n1,n 0 1,n 1 20,n 0 1,n 0h(n)he(n),n 01,n 12he(n),n 00,其它 nH(ej)h(n)e jn 1 e j 2e j2cosn 218.若序列h(n)是实因果序列，h(0)1，其傅里叶变换的虚部为HjI(e)sin102求序列h(n)及其傅里叶变换H(ejj)。解：解：HI(e)s i n 12 j(ej e j)FT ho(n)jHI(ej)12(ej e j)n ho(n)e jnho(n)120,n 012,n 1,n 10,n 0 1,n 0h(n)h(n

50、),n 01,n 12h(n),n 00,其它 noj jn j j2H(e)n h(n)e 1 e 2ecos219.设系统的单位序列响应h(n)a u(n),n0 a 1，输入序列为x(n)(n)2(n 2)完成下列各题（1）求出系统输出序列y(n)x(n)h(n)；（2）分别求出x(n)、h(n)和y(n)的傅里叶变换。解：解：n 2（1）y(n)h(n)*x(n)a u(n)*(n)2(n 2)=a u(n)+2au(n 2)nn（2）X(ej)(n)n 2(n 2)e jn 1 2e j 2H(ej)n a u(n)en jnn 0aen jn11 ae jY(ej)H(ej)X(e