考点23 空间几何垂直问题讲义（含答案解析）.docx

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1、考点23空间几何垂直问题思维导图】线面垂百定义面面垂百一线面垂百-线线垂百图形边长正余弦定理线线垂百正方形、矩形、爱形百角边或对角线垂百等腰三角形、等边三角形、取中点勾股定理a G如果直线I与平面a内的任意一条直线都垂直， 装4 声线I与平面a互相垂百判定定理 线面垂百la , lb , aCa , bCa , a（；b=P-la性质定理4垂直与同一个平面的两条直线平行心两个平面相交，如果它们所成的二面角是百二面角，三与1两个平面互相垂直.定理如果一个平面过另外一个平面的垂直，那么这两个平面垂直面面垂百面面垂百判定定理6符号 e la , lb=ap性质 两个平面垂百，如果一个平面内的有一百线

2、垂百定理 与这两个平面的交线，那么这条百线与另一个平面垂百 假设一条直线垂直于一个平面,那么这条直线垂直于这个平面内 的任急直线常用结论假设两条平行线中的一条垂直于一个平面，那么另一条也垂直于 这个平面、垂直于同一条直线的两个平面平行I 一条直线垂直于两平行平面中的一个，那么这条直线与另一个 卜平面也垂直两个相交平面同时垂直于第三个平面，它们的交线也垂直于 第三个平面常见考法】考法一线面垂直1 .如图，在三棱柱ABC HAG中，AB J_侧面BSCC , AB = BC = 1,TT84=2, ZBCC=-,求证：平面 ABC工年【答案】证明见解析.【解析】【分析】在3CG中，由余弦定理求得8

3、G得再由线面垂直得ABA.BQ,于是可证线面垂直.【详解】因为ABJJ那么面BAG。，3C|U侧面34G。，故A5J.8C，77在BCG 中，BC = 1, CQ=BB=2, /BCC,= ,jr由余弦定理得：Bq2 =12 + 22-2x1x2xcos- = 3, 3所以 3G=6,BC2 + BC = CCf ,所以 3C_LBG，而=所以BQ J平面ABC【点睛】此题考查证明线面垂直，掌握线面垂直的判定定理是解题关键.2 .在四棱锥PA5CQ中，平面RLD，平面ABC。，PA = PD = 29四边形ABC。是边长为2的菱形，ND钻= 60。，石是AO的中点，求证：加1平面PAD【答案】

4、证明见解析.【解析】【分析】A3。为等边三角形，可得屈_LA。，再由面面垂直的性质可证线面垂直.【详解】连接30,丁四边形ABC。是边长为2的菱形，ZA = 60,.A3。为等边三角形，石是AO的中点，BELAD,平面P4DJL平面A3CD, 3u平面ABCD,平面PA。平面ABC。= AD, ，班1平面PAD.【点睛】此题考查面面垂直的性质定理证明线面垂直，解题关键得出线线垂直，这 由等边三角形易得.3 .如图，ABC 中，AB = BC = 4, ZABC = 90 , 分别为 A3, AC边的中 点，以所为折痕把AEF折起，使点A到达点尸的位置，证明：3C_L平面PBE.【答案】证明见解

5、析.【解析】【分析】由折叠过程中EFJ_跳，EFPE,于是有5c与BE,垂直，从而可得BC上平面PBE.【详解】因为瓦尸分别为A5, AC边的中点，所以EFBC,因为/ABC = 90。，所以 EFLBE, EF上 PE,所以石，BC上PE,又因为BEcPE=E, BE u平面PBE, PE u平面PBE,所以8C_L平面【点睛】此题考查证明线面垂直，掌握线面垂直的判定定理是解题关键.解题中要 注意折叠过程中有些垂直关系、平行关系会保持不变.考法二面面垂直.如图，四棱锥P-A5CD的底面45CZ）是边长为2的菱形，ZBCD = 60 , E是CO的中点，B4_L底面ABCO, 24 = 4,证

6、明：平面石，平面【答案】证明见解析.【解析】【分析】由38是等边三角形得砥JLC。，即得区E_LAB,由线面垂直又可得PA_LBE ,从而得证线面垂直，又可证得面面垂直.【详解】如下图，连接80,由A3CQ是菱形，且/BCD = 60。知ABCD是等边三角形.因为E是。的中点，所以BE_LCD.又 AB/CD,所以又因为24,平面A5CD,跳u平面A3CD,所以Q4_LB.又Z4nAB = A,因此81平面Q43.又因为3u平面所以平面P3石，平面【点睛】此题考查证明面面垂直，证明方法是利用面面垂直的判定定理.掌握线 线、线面、面面垂直之间的转化是解题关键.4 .如图，在四棱锥PA5C。中，A

7、BUCD, AB = 1, CD = 3, AP = 2, DP = 26 ZPAD = 60 , AB,平面RAO,求证：平面R45,平面 PCDp【答案】证明见解析.【解析】【分析】在中，由正弦定理得NADP = 30。，从而得AP_LQD,由线面 垂直又有从而有线面垂直，得证面面垂直.【详解】证明：四棱锥PA5CZ）中，AP = 2, DP = 20 ZPAD = 60,由正弦定理可得.4 rt = .代入可得WL = ?sin /PAD sin ZADPsin 60 sin /ADP 八22sin6001所以 sin NADP =产一=，232APAB = A平面 , 3Cu平面SBC

8、平面SBC 平面SAB.【点睛】此题考查面面垂直的证明，属于基础题.考法三线线垂直8.如图，在四棱锥石A3CD中，平面A3CO,且AO = CZ) = 2G，AB = BC = 2, NA8C = 120。，点G, ”分别为边CO, D4的中点，点M是线段 BE上的动点，求证：GHLDM .【答案】证明见解析.【解析】【分析】在四边形A3CD中由平面几何的对称性得又由线面垂直得 EBLAC,再由中位线定理得AC/G”,从而可得G”与平面内两条相交直线 垂直，得线面垂直，最终可得线线垂直.【详解】证明：连接AC,相交于点。.如下列图所示：E.J_ 平面 ABCD. AC u 平面 ABCD,:.

9、BEAC.又 yAB = BC , AD = CD,：.50为线段AC的垂直平分线.BDAC. G, ”分别为OC, AO的中点，:.GH / AC,. .GHA.BE, GH BD又 BEcBD = B, BE, BDu 平面 BDE, G，平面班）E又QMu平面&）, :.GHDM.【点睛】此题考查线面垂直的性质定理，掌握线面垂直、线线垂直之间的相互转化 是解题关键.9.在ABC中（图1）, AB = 59 AC = 7,。为线段4C上的点，且BD = CD = 4. 以为折线，把30。翻折，得到如图2所示的图形，M为的中点，且 AMBC9 连接AC,求证：ABLCD.【答案】证明见解析.

10、【解析】【分析】在原三角形中由勾股定理逆定理得3。_LAD,即ND_LC。，翻折后由等腰 三角形性质得= 从而再由勾股定理逆定理得CDJLAD,于是可得线面垂直, 再证得线线垂直.【详解】证明：在图1中有：AC = 7, BD = CD = 4,所以AD = 3,，在A6O中，AB = 5. AD = 3, BD = 4. AD2+BD2=AB2A BDLAD, ；. BD 上 CD,在图2中：在ABC中，AMBC 9 A/为BC的中点.AB = AC = 5,在AC。中，AC = 5, CD = 4, AD = 3/. AC2 = CD2 + AD2,所以 CD_LA。，翻折后仍有3Z)，CD又 A。、BDu平面 AB。，ADCBD = D 9 CD_L平面 ABDABu平面Aa),所以CDLAB.【点睛】此题考查证明线线垂直，掌握线面垂直的性质定理是解题关键.注意折叠 过程中在同一平面内的垂直关系不变.