级数练习题答案(10).docx

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1、1写出下列级数的通项:(1)解:解:(2)Un12解:1)m3ionk (n 1,2 ) 2n 1 3 417(3)解：unri2 1X2(n1,2 )X310 1-3-Xn 1(3n 2)(3n 1)(n 1,2)4!/ 、22 23 24(4) 2 2!3!解:(1)n12n,(n 1,2 )2设级数u的第n次部分和S包，试写出此级数，并求其和。nn n 1n 1解：u S Sn n n 13 (n 2),而 un(n 1)13n(n 1)又limS lim 3,所以级数 u收敛，且 u 3c n n n 1nn3判断下列级数的敛散性。若级数收敛，求其和。 (1)0.001屈讦wwr 疯丽

2、1 1解：了，lim()； 1 .0,所以原然发散。而原级数U 一 n ln(n, 1)ln(n 2)u u ，且limun n 1nnlimnln(n 1)0，由交错级数的莱布尼兹判别法知级数上二Jn(n 1)收敛。所以原级数是条件收敛。(4) sinn (n 1)2 n 1解：将级数的每一项添加绝对值后,nIOII I I III是正项级数,(n 1)2因为sinn(n 1)2 (n 1)2 ,LilU又因为lim寸ri21.(n 1)2 lim3 n 1rpri2lim7 1 (0, n n 1 2工收敛，由比较判别法,ri2n 1所以n 1122910223 103收敛, (n 1)2

3、|sinn(n 1)2解：将级数的每一项添加绝对值后,因为二，二收敛,2n 10nn 1n 1所以原级数绝对收敛。所以 (_ 2nn 1二)收敛, 10n“、1 9 25 49 81 1211/ dXoLJL(2n 1)22 4 8 16 32 6422nln 1解：将级数的每一项添加绝对值后，、 / 工门 广-(1) 2 -是正项级数，22nl 22n1n 1n 1(2n 3)231)2收敛, 2n11由比值法：limgulim 2n lim3)2，所以工n un (2n1)2 2n (2ci1)222n2n 1所以原级数绝对收敛。8求下列嘉级数的收敛半径和收敛域:(1) xX2X3X4T

4、T4解：U(X) ( 1)n 1 nnlimlimunx)U (X)nlim(1)n2Xn 1n 1Xn（廿：limxllim _L x ,n n 1 xn t n 1当|x| 1时 级数收敛,当|x| 1时，即X 1时，级数n 111)n1 一收敛,n1,1，发散，nn 1收敛半径为R 1oX 1时，级数（1 _n 1所以幕级数的收敛区间为（(2) 1XX2X32!4? 6!解：U（X）nXn(2n)!limnu (x)U (x)nlimnXn 1(2n 2)!Xnwlimnxn 1(2n)!(2n 2)! xn(2n 2)(2n 1)0 1,所以嘉级数的收敛区间为（）,收敛半径为R(3)(

5、2nn 1XnWH)解:U0(X)Xn(2n 1)(2n)Xn 1limnU (x)h 1U (X)当卜| 1时,当xl 1时,limn(2n 1)(2n 2)(2nXnn(2H)limnXn 1(2n 1 )(2n)(2n 1)(2n 2) xn2n(2n 1)m(2n 1)(2n 2)级数收敛,即x 1时,级数-收敛, (2n 1 )(2n)n 1x 1时，级数 (1(2n 1)(2n)n 1收敛,所以幕级数的收敛区间为1,1,收敛半径为R 1o/、1 X(4)-2 22X2 X323 24解：u (x)nXn 12Tlimnu (x)u (x)n当|x| 2时,当xl 2时,limnXn

6、2nlXn 14级数收敛,即x 2时,x 2时，级数limnxn 2n2n 1 Xn 1级数2n n1所以幕级数的收敛区间为（2,2）,(5)Xn 13nn n 1解:U（X）nXn 13nnlimu (x)-nHu (x)nlimnXn3n(n 1)Xn 13n in当|x| 3时，级数收敛,lim当卜| 3时，即x 3时，级数x 3时，级数n1 3nm2nIxllim一1 L 2m一发散, 2n 1发散, 2收敛半径为Rxn 3n 1 n3n(n 1) xn 113n1n收敛, nn 1所以幕级数的收敛区间为3,3）,收敛半径为R 3o(6) 1X2 X352 辨 53MX| ,3(n 1

7、) 3解：u (x)nXn 15n 1 Jnlimn5NX)u (x)n当|x| 5时,limnXn(1/=On ,n J(5k级数收敛,当|x| 5时，即x 5时，级数limnxn 5n 1 S5n 小 1 Xn 1(1)n1n 15n 15nl/Yjlim5，n 15阴，收敛,X 5 时，级数(1)nll2l_V 75n1 Fn 17发散,所以幕级数的收敛区间为（5,5,收敛半径为R5o(7)2x4x28x316x417 54解:U (X)，(4n 1 62n 1Xn 1limnu (x)FHlU (X)nlimn7(4n 5)5m2nxnx/(4n 1)5nlim2n 1Xn 17(4n

8、 1)5nJ(4n 5)5m2nxn当|X|亭时,级数收敛,当|x|时，e时，级数22n级数n17(4rTl)所以累级数的收敛区间为岑收敛半径为R 5(8)In(n 1)Xn 1解:U（X）n1)Xn1limu (X)_lim1 ln(n 2)n 2 xn2limin(n N) n i xn 2ux)ln(n2)ln(n 1)呻j)x1 x|lim P 2 nn 1n 2 ln(n 1)xn1当|x|1时，级数收敛,1时，即X 1时,级数ln(n 1),n 1n 1ln(n 1)因为lim n 1nl.mnln(n 1), n n 1因为一发散，所以 nn 1b发散, n 1X 1时，级数*2

9、（山是交错级数，由交错级数的莱布尼兹判别法知级数 n 1收敛，所以累级数的收敛区间为1,1）,收敛半径为R 1o 5n ( 3)n(9)_xnnn 1解：U(X)5r1( 3)n xn nnU (X)Hm U)(x)Hm501 ( 31 Xm(1j)n5n 1( 3)n lxn 1 nHm 也 n ( 3)njn 1 xnxHmXn2时, 5:时,5级数收敛,因为即x 一时,5x 一时，级数5因为级数收敛，所以n5nn 1n 151 2尸 I收敛,n 5n1 2广，nn5nn ( 5)n511 r发散n n5n I5:，nn5nn5nn 1收敛，所以一n二收敛n5n所以幕级数的收敛区间为n 1

10、收敛半径为R另解:Xnnn 1n1Xn Xnn5-*nnJ 3)的收敛区间为nn用的收敛区间为（； n 1方超原方级数的收敛区间为，收敛半径为R解:X。3nXnXn 3nXn5nl1 ( nln53 口(D (n 1) 5n515x（小对于 一limnU(X)n 1U (X)nlimn(1)m x 7 xn 1n 12C xn 2nlimnxn 1 2n2n 1 Xn级数收敛，收敛半径为R 2o对于 3qn , limn 13时，In 1U(X)nlimn* 1 3n Xn3x级数收敛，收敛半径为R一时，级数 3(-)n 3n(2n 3to33(1)“发散, 6n斗时, 3级数1发散,2n n

11、 16n所以原级数的收敛区间为（，收敛半径为R(11)m2解：u (x)nn2limnn 1u (x)nlimnpr z)n 1(n Ip(X 2)nm2limn(x 2 A1ri2-(n 1)2 (x 2)n1,即1x 3时，级数收敛,当 |x 2|1时，即X 1时，级数 1K1rf收敛,作n 1x 3时,级数十十收敛,住n 1(12) (W 1 J7)2nx2nn 1解：U(X) (yjn 1 /)2nx2n nlimnlimnU (XJU(X)nlimn(JTZ1 *n z(Jn 1 #T)2nx2n2mm 2 n Jn 1 Jn工时，级数收敛,当|x当|x时，即x 下时，级数 （Jn

12、1向2n（Jn 1万）发散,（kr发散，J/V，n 1n 1x下时，级数（Jn 1加2n方J，n 1n 111所以募级数的收敛区间为（收敛半径为R2n(X 3)2nn 1解:U(X)2n(X 3)2n nlimnlim2|x 3f,级数 2n1发散,级数收敛,n7时，鼠n。2n 时,时，级数 2n1发散,43 4453 54454L ,54 42(2)-5 52解：公比q Iql ,1 1，所以级数收敛，和为， 55limun(4) (3)1 2 Z 2 4 6 8 解：工3 2 2 2 4 6 8r 2n 1 hm n 2n2 3 43 4 52n 1rTn 10,所以原级数发散。nn 1n

13、 1limu lim 1-n . n 10,所以原级数发散。118 27解：对于（Jn,公比qn 11 1,所以级数收敛，和为2121匚2对于（；）n,公比q n 11 1,所以级数收敛，和为313u3118 2713收敛2 24用比较判别法判定下列级数的敛散性一、 111（1） 1 -3 5 71解：un 2n 1所以嘉级数的收敛区间为（3木，3套收敛半径为R(14)( 1)n 1ni(2X 3)n2n 1解：u (x)(nlimnU（X）nlimn仆3)u 2n 1八(2x 31)n 1 7 2n 1limn(2x 3)m 2n 12n 1 (2x 3)n|2x 3|,当 |2x 3|1,

14、即1 x 2时，级数收敛,当 |2x 3|1,时,即X 1时,级数(1)n 12nx 2时，级数 （5收敛,2n 1n 1所以幕级数的收敛区间为（1,2,收敛半径为R9求下列幕级数的收敛域,并求和函数(1) X -3X5解:设s(x)s(x) 1 X2X4X6, 1 1x11 X2两边积分Xs（x）dxX-1 .dx1 X20s(x) s(0) arctan x,而 s(0) 0所以s(x) XX3 X5 ”T F 7arctan (1x1)(2) 2x 4x3 6x5 8x7 解：设 s(x) 2x 4x3 6x5 8”两边积分 Xs(x)dx x2 x4 x6 x8 1 x 1 41 M0

15、两边求导s(x)(旦)Z_.1 X2 (1 X2)2s(x) 2x 4x3 6x5 8x72x(1 X2)2(1x1)n(n 1 )xnn 1解：设 n(n 1* x n(n 1)xn 1n 1令s(x)n(n 1)xn 1 2 6x 12x2 20x3n 1X两边积分 s(x)dx 2x 3X2 4x3 5x4 oh(x)两边再积分:xh(x)dx x2 x3 x40X2.d_XX2 2X X2 两边求导：h(x)()一Y2两边再求导s(x)(1 X)2 )(1 X)3n(n 1)xn x n(n 1)xn 1_空(1 X)3(1x1)(4)xn 1n2nn 1iii角轧Xn 1n2nxn2

16、nn 1n 1令 S(x) JLXn 1_ 1n2n22n 1两边求导：s(x) 2 ,两边积分：Xs(x)dx X_J_00s(x) s(0)ln(2 x)|In：0 1111xn 1(In-n2nx n2nn 1n 1iX2时，一(2)3(X 0) 113 X422323 磔1工工工，(1 2 1)杳苏1 x 2 x12，2 -dx,X22 ln(2 x),而s(0) 0, s(x) In2 ln(2 x) In -/ X 收敛,X 2时，.(2)一发散，nznnzn 1n 112-(In) x 0 ( 2AXn1 X 2 X1 n2n1x nn 1A U210利用已知展开式把下列函数展开

17、为(1) f (x) ax (a 0,a 1),Xn解：exx,n!n 0、人 II 1 d/II 1 Clax exInaXn；n!n!n 0n 0(2) f (x) sin 5nznnzn 1n 1X 2):的幕级数，并确定收敛域x ,解：sinxX3 3!X5 5!X2n 1 7 (2n 1)!.X sin_2X *3！1 x5! 2,X、(J2n 1( (2n 1)!x -4X3 2 3!23-4-X5 5!251)n (2nA X2n 1 1 )!22n 1(3)解:(4)解:COS2X(5)解:(1)nf(x)exf(x)1X2n 1 (2n 1)!22nl心n!n 0L 2n!0

18、0S2xcosxn!n 02(2n)!n 0八 IX2n X2n0(2X)2n(2n)!、(2n)!(2x)2n( X )f(x) J1 X2(1 x) 1n!Xn 1 X将上式中的X换为X2,1 (1 X2)24. 1X23-X4-5(2n-44 口2 4 6(2n) E(21川中(2n)!(1x1)(6) f(x) x3e x解：ex 丝 x n!n 0k ” k ” re x Xn .xn! n!n 0n 0Xn 0Xn 0 x X3 xn Xn 3-n!n!n 0n 0(7) f(x)解：A.1 X(7) f(x)解：A.1 X13(卜 11)1 X X377Xn ( 3 x 3) X

19、33 x1-1 3l31 03档3 31)(8) f(x)-Xn ( 1 X 1),(1/Xn (1X1)-()X2 2x 3 4 x 3 x V-(-(-)n 4V 3 3,n 0(1 )n xn)n 0(1Xn )n 0Xn 13n 1/V4 ( 1)n1Xn1 翥 n 0X 1)n利用已知展开式把下列函数展开为x 2的幕级数,并确定收敛域f(x)解:X2 X31)2 (x 2)2(11 21x 2 x T1)(0x 4)x 2TX 2(2) f(x)Inx解：ln(1X)n 0(1)nXn( 11)InxIn x 22 In2InIn2no 0 1In21n n2n(0 x 4)(3)f

20、 (x) ex解:Xn exn!n 0ex e2ex 2 改(X 2)nn!n 0(4) f(x) In5 4x x2X 1)解：ln(1 X) ( Ihxn 1, ( 1n 1n 0Inln1 (x 2)2(X 2)2n2,(x 2)2 1)察(x 2月,(1 x 3)n 1（注：可编辑下载，若有不当之处，请指正，谢谢!） 2n 1 r n 1 limfLL_L hm _nn 2n 12n因为由比较判别法,解：un1171m2 1m2ri2 1 1hm n 1rpm2lim 1n n2 112rTn 1(0,由比较判别法,m2 1n 1因为工收敛,ri2n 1223523243 5 7 92

21、n 13T7(2n 1)解：3 5 72nl(2n 1)2 (g)n1因为n 1收敛，由比较判别法,原级数收敛。(4)1ln(n 1)n 1解：Un1ln(n 1)uIimo-ri1lim| lim(n 1)n 1 nn 1nlimn ln(n 1)因为1 发散。ln(n 1)n 11发散，由比较判别法, nn 1(5)n222333 524734解：un2n(2n 1) 3n2nu lim n(2n 1) 3nlimn (2)1n /n因为收敛，由比较判别法,(6)( )n2n Vn 1解：(-)n ?)n)n 2n V v2n 7 3因为收敛，由比较判别法,(7)解：Un咱3 n-2lim

22、n1njn 13n23ri2 lim t= nn Jn 1因为1一收敛，由比较判别法,ri2n 1T 0原级数收敛。原级数收敛。1 （0，） 收敛。n /h 1n 1 V(8) ln(1 1) n1解：u ln(1 )n n1lim 中 1 (0, n n1 ln(1 -) limHn. lim n n 1nnnln(1 L发散。 nn 1因为 1发散，由比较判别法, nn 1nn 1(n 1解：unnn 1(n 1)n1nn 1u(n1 it 1n 11际丁 lim- lim-lim(7)n 1- (0,)n 工 n n (n 1 )n 1n V e ri2PR上一收敛。(n 1/ 1n 1

23、因为 工收敛，由比较判别法, 便n 15用比值判别法判定下列各级数的敛散性:解：Un3 522 232n 12n2n1 Un U nlimn2n 12n 1lim lim ”2 1 1n 2ni 2n 1 2n 2n 122n原级数收敛1 -2! 3! 解n I14!u (n 1)! lim-4- lim -： n U n 1nn!原级数收敛n! 1lim- lim- n (n 1)! n n 1解：un1(2n 1)!1. 3)! lim n(2n 1)!limn(2n 1)!I (2n 3)! n (2n 3)(2n 2)原级数收敛(4)22nl (2n 1)n 1解：Un22nl(2n

24、1)u lim-4 n U nlimn22nl(2n 1)22nl (2n 1) 1(2n 1)叫而砸e那西不原级数收敛(5)21000解：un22n I(2n 1)22232000 30002nWOOn2n11000(n 1)lim5n 2n1000n2440002n 11000nI ：n 1000(n 1) 2n1000n2limn 1000(n 1)原级数发散。(6) 152532! 3! 4!解：un5n 1TiT5n(n-11 lim 7 n n!limn5n n!(n 1)!5nln!15lim 5lim 0 1n (n 1)! n n 1原级数收敛(7)(2n)!n 1解：un!

25、limn(n 1)!(2n 2)!n!limn(n 1)! (2n)!(2n 2)! n!原级数收敛(8) 一12 22273解：uU lim4 n U n(2n-2)(2n-) 1(2n)!2357242nn(n 1)2n1limn(n 1)(n 2)2nn(n 1)limn2n1n(n 1)(n 1)(n 2) 2nn2lim- 2 1n n 2原级数发散(9)2 sin 3n解：Un2n sin 一 3nu limu n U2sin 折limn 2 sin3n3n12lim_n3n$22lim _ 1n 3nl 3原级数收敛6判定下列交错级数的敛散性:(1) 1un 1解:解:才,n,

26、且limu lim0,由交错级数的莱布尼兹判别法知级数收敛。(2)4-2! 3!+14!解:4,un! n1 (n 1)!，且limu Rm/ 0,由交错级数的莱布尼兹判别法知级数收敛。(3)5_7解:n2nlim( 1)niu nnIim( 1)n1 nf 0,由级数收敛的必要条件知级数发散。 2n 17判定下列级数哪些是绝对收敛，哪些是条件收敛?/、1111(1) 1解：将猿攵的上页浓珈绝对值后,(1)n1是正项级数,(2n(2n 1)2n 1由比值法：lim工 n u n.(2n 1)2limlimn(2n 1)2(2n1)21,比值法失效，改用比较法,(2n1.(2n 1)2limn

27、1 rpm2 limn (2n 1)214 (0-因为 JL收敛，由比较判别法, ri2一收敛, 1)2所以原级数绝对收敛。2 22 3 23 4 24解：将级数的每一项添加绝对值后,1)mn2n是正项级数, n2nn 1由比值法：lim, n U nlimn(n 1)2mn2n1n2nlimn (n 1)21 n 1-lim - 1,2n n 1 2所以收敛，原级数绝对收敛。n 1解：将级数的每一项添加绝对值后,ln(n1)是正项级数, ln(n 1)n 1由比较判别法，1ulim子nn limn ln(n 1)1nrTllim(n 1) n因为n 1万发散,所以发散n 11ln(n 1) lim 7n n