《平方差教学设计及反思》.docx

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1、“平方差公式”教学设计及反思一、教材分析：（一）教材的地位与作用。平方差公式是北师大版义务教育课程标准实验教科书数 学七年级（下）第一章整式的运算第七节的内容。平方差公式 是特殊的乘法公式，它既是前面知识“多项式乘多项式”的应用，也 是后继知识如因式分解，分式等的基础，对整个教科书也起到了承上 启下的作用，在初中阶段占有很重要的地位。本节课主要研究的是平方差公式的推导和平方差公式在整式乘 法中的应用。它是学生在已经掌握单项式乘法、多项式乘法基础上的 拓展和再创造，一方面是对多项式乘法中出现的较为特殊的算式的一 种归纳、总结；另一方面，通过乘法公式的学习可以简化某些整式的 运算、培养学生的求简意

2、识。（二）教学重难点、关键：1、重点：平方差公式的探索和应用。2、难点：理解平方差公式的结构特征，准确找到a, bo二、目标分析：学生在前一节课中已经学习了多项式乘以多项式，容易得出 Q+b）（d-b）=a2_b2,但理解和掌握公式的结构特征，准确运用公式 是难点，所以应该进一步开展学生的观察、归纳、类比、概括等能力, 开展有条理的思考及语言表达能力。因此我觉得本节课应关注学生对 公式的探索过程，让学生经历“特例一归纳一猜测一证明”的知识发 都要指出什么是a,什么是b,这个地方不应作过多的强调，而应该 给他们一些时间，让他们在今后的学习过程中自己去感悟。3 .在启发、引导学生的语言方面不够准确

3、。比方，在引导学生总 结的公式结构特征时，没有明确说明意图，学生不知道说什么。而我 自己在解释时，说的也不是很到位。这也是一名新教师必然面对的问 题。应抽时间充电，多看书，提高自己的内在修养，丰富教学语言。4 .在调动学生方面有些欠缺，应多说些鼓励性的话，调动课堂气 氛及学生的积极性。5 .在以后的教学中，培养教育机智。碰到学生的反映超出自己的 预想时，能够灵活处理。生过程，有意识的培养学生的推理能力，数感和符号感，真正理解公 式的来源、本质和应用。参照数学课程标准的要求及教材的特点和学生的认知水平与 数学思维特征，确定本节课的教学目标如下：(1)知识与技能目标：了解平方差公式的几何背景，理解

4、并掌握 公式的结构特征，能利用公式进行简单的计算。(2)过程与方法目标：经历探索平方差公式的过程，培养学生观 察、分析、归纳和推理能力，通过讨论几何图形的面积，来验证公式, 进而感受数形结合思想。(3)情感态度目标：让学生在合作探究学习的过程中体验成功的 喜悦；在感悟数学美的同时激发学习兴趣和信心；开展学生的符号感 和有条理推理的能力。三、教学过程：(一)回顾复习【问题一】：回忆多项式乘多项式的运算法那么【算一算】：看谁算的又快又准(l)(x+2)(x-2)(2)(l+3a)(l-3a)(x+5y)( x-5y)(4) (3y+z)(3y-z)学生活动：快速计算这四道题，为后面讨论做准备。(点

5、评：提供一组与推导平方差公式有关的计算题，让学生运算 并比速度，目的在于调动学生学习和探究的积极性，为建立公式搭建平台。)（二）自主探究【问题二】：按说两个二项式相乘，应得到四项，为什么这四道 题结果只有两项呢？（点评：这个问题虽说很简单，但不能小看它的作用，第一，它 让学生的思想在问题的启发下变得活跃；第二，为后面的探究活动作 一铺垫。）【问题串】：（1）等式左边的两个多项式有什么特点？（2）等式右边的多项式有什么规律？（3）你能从中猜测出一般性的结论吗？学生活动：小组合作，解决上面三个问题。并向全班汇报自己小 组讨论的成果，提出猜测（。十份尸屋_b2o（点评：根据上面的运算，提出三个问题，

6、引领学生的探究方向， 让学生带着问题探究，进一步开展学生的观察、归纳、类比、概括等 能力，开展有条理的思考及语言表达能力。）（三）证明猜测【代数证明运用多项式乘多项式的运算法那么证明猜测（a+b） （a-b）=a2- ab+ ab - b2= a2- b2【归纳公式工得出平方差公式：m+勿（。/）=居-加学生活动：尝试用所学知识证明这一猜测，并用自己的语言表达 平方差公式。（点评：让学生经历“特例一归纳一猜测一证明”的知识发生过程，用所学知识解决问题，有意识的培养学生的推理能力和语言表达 能力，从而真正理解公式的来源。）（四）几何解释【问题三】在一块边长为 cm的正方形纸板上，因实际需要在 一

7、角上剪去一块边长为人cm的正方形，剩下局部的面积是多少平方 厘米？方法一：用大正方形面积减去小正方形面积，即次42方法二：割补法。可以把剩下的部份分割成两个矩形，然后拼成 一个矩形来计算。得到新矩形的面积为（份（。1）利用面积相等推得平方差公式：（。+份（。1）二。2.学生活动：教师启发引导，演示剪拼动画，学生动脑思考。（点评：让学生用面积相等来验证平方差公式的准确性，更好地 理解和掌握公式，培养学生多角度思考问题的习惯，教会学生一种计 算面积的方法割补法，渗透数形结合思想。）（五）公式分析【问题四】使用平方差公式可以简化运算，那什么样的多项式相 乘才能用平方差公式来计算呢？也就是说，平方差公

8、式具有什么样的 特征？（1）公式的结构特征：公式左边的两个二项式必须是相同两项的和与差相乘；且两括号 内的一项完全相同，另一项只有符号不同。公式右边是这两数的平方差，即相同项的平方减去相反项的平方。（2）字母的广泛含义：公式中的a, b可以表示数，也可表示单项式或多项式（即a, b 表示代数式），只要符合公式的结构特征，就可用此公式来计算。学生活动：尝试用语言来表达，总结公式的结构特征，并加以理 解掌握，以便能够准确运用。（点评：理解并掌握公式的结构特征，是这节课的重点，也为下 一个环节：平方差公式的准确应用打下基础。因此，应让学生充分思 考，体会，发表自己的看法，到达真正理解的目的。）（六）

9、知识运用【试一试】：寻找a, b现在我们已经知道什么样的运算可以用平方差公式来做了，那么 下一步的关键是要解决什么问题？运算的结果是aZb?,要套用公式, 必须要知道谁是a,谁是b。(a+b)(a-b)aba2-b2最后结果(2+y)(2y)(l+5b)(l-5b)(2m+3n)(2iri-3n)(-x+l)(x+l)反思：如何寻找a, b?两个多项式中，a前的符号相同，b前的符号相反。找a, b的关 键是找符号相同的项和符号相反的项。谁是a,谁是b,并不以先后 为准，而是以符号为准。学生活动：思考，口答，填充表格，总结规律。(点评：以填表的形式让学生初步尝试运用公式，分清结构，找 准a、b,

10、学会公式的应用，有效地进行难点突破。)【学一学】：例题讲解例1运用平方差公式计算：(1) (5+6x)(5-6x)(2) (x-2y)( x+2y)(3) (-m+n)( -m-n)例2运用平方差公式计算(1)( x-y)( x-y)(2) (ab+8)(ab-8)(3) (m+n)( m-n)+3n244学生活动：在教师板书例题格式后，独立练习。并有同学上台板 演。(点评：通过两组例题，逐渐加深题目难度，让学生能够熟练利 用公式计算，从而完善学生认知结构。同时，让学生初步感知换元、 整体代换的思想方法，通过思考解法的多样性，培养学生的创新精 神。)【练一练】：判断正误(1) (-a-b)(a

11、-b)=-a2+b2(2) (-a+b)(a-b)=-a2-b2(3) (2x+3)( 3-2x)=2x2-9(4) (y3+z3)( y3-z3)= y9-z9(5) (x2+y)( x-y2)=x3-y3学生活动：独立思考，举手回答，在疑难处进行适当讨论。(点评：通过练习，帮助学生总结解决问题过程中的经验教训，理顺思路。从而进一步明确平方差公式的结构特征，完善学生的认知 结构。)【想一想】：思维拓展(1) (b2+2a3)(2a3-b2)(2) (x+y+a)(x+y-l)(3) (x+y)( x-y)( x2+y2)(4)在(3a+2bx)的括号内，填入怎样的式子，才能用平 方差公式计算

12、。(点评：通过拓展练习，提高学生认知水平，进一步深化对平方 差公式的理解，培养学生逆向思维和发散思维能力。)(七)反思小结【说一说】：通过本节课的学习，你有何收获？学生活动：认真回顾，总结本节课所学到的知识及教学思想方法。(点评：小结是构建和完善学生认知结构的重要环节，先让学生 总结本节课收获，教师对公式的掌握和运用作最后强调。) 四、教学反思这一课时的重点是要学生明白平方差公式的推导，并能应用平 方差公式简化运算。而其中的关键是要学生明确平方差公式的结构特 征，准确找到a、bo为了让学生对平方差公式有个全面的认识和了 解，我在教学设计方面打破了教材原来的安排，把第二课时中的几何 解释融入第一

13、课时。先让学生从代数的角度入手，利用多项式乘多项 式的知识，推导出平方差公式，紧接着从几何角度加以解释。在此基 础上，通过分析公式的结构特征，加深对公式的理解。之后，设计了 一个“寻找a、b”的环节，通过这个练习进行难点突破。引导学生 反思练习过程，得出“谁是a,谁是b,并不以先后为准，而是以符 号为准”这一结论。紧接着给出两组例题，考察学生对公式的应用。 最后通过一组判断题和补充练习，拓展学生的思维水平。整节课在备课及教学过程中有很多得失：1 .在备课方面，备的比拟细，发现了教材中的一些问题，并在教 学设计时尝试解决。比方，为了给学生渗透数形结合的思想，要从代 数、几何两个角度证明平方差公式

14、，但是从哪个角度入手，有利于知 识的衔接，便于学生理解，我设计了好几种方案，通过与其他老师的 讨论，最终决定给让学生猜测结论，再用代数方法加以证明，后给出 儿何解释，符合知识的发生过程；课本中的公式文字说明是“两数和 与这两数差的积”，仅这几个字，我就有两个疑问：第一，在对公式 理解时就强调“a、b不仅表示一个数或字母，还可以表示代数式”。 但这里说的是“两数二经过张老师的点拨我才明白，因为所有的规 律最初都是在具体的数字中发现的，然后才推广到字母。所以这里说 的数不再是具体的数，而是代表一个整体；第二，公式中说的“两数 和与两数差的积”，从这个角度说，这两项应是完全相同的，差异只 在于运算符

15、号上。但由于我们之前介绍过“代数和，(a+b) (a-b) 也可以理解为(a+b) a (-b),就像许多教参上说的，是相同项与 互为相反数的项，这样就与课本定义发生矛盾。为了防止这个问题， 我在介绍公式结构特征时，只说“有一项完全相同，另一项只有符号 不同”，学生可以自己去理解；课本在给出几何背景时也不是很合理, 它先给出“大正方形一角剪去一个小正方形”，学生很容易看出其面 积为之后通过割补法，把它拼接成一个规那么的矩形，其面积 为(a+b) (ab),按这个逻辑关系得到的结论是/二5+粗。)。 因为学生还不知道“因式分解”，在他们看来等号左边等于右边，右 边等于左边，无所谓，但实际含义却不

16、一样。为了解决这个问题，我 也思考了好久，最终在幻灯片制作方面做了些处理。可能在整个备课过程中，我是抠的太细，有些钻牛角尖了。但在 这个思考，推敲过程中，我确实进步了很多，为教材的理解又深入了 一层。2 .在上课过程中，前半局部知识讲解时基本上符合自己的预想， 知识衔接比拟紧密，过渡自然。讲解时尽量让自己的语言简洁，但由 于有些紧张，中间有两次停顿。3 .我自己比拟满意的地方在“难点突破”方面。要运用平方差公 式，关键要正确地找到a、b,因此设计了一个寻找a、b的环节，让 学生通过练习，自己发现a、b的重要性以及寻找a、b的方法。总体说来，这节课基本到达了我预期的教学目标，但还有许多方 面自己很不满意，希望在以后的教学工作中改进提高。1 .课堂节奏把握不好。在判断正误这一环节，由于学生理解不是 很到位，讨论讲解花费了很多时间，导致后面的拓展题目没有时间完 成，并且出现脱堂现象。2 .在习题讲解方面有些罗嗦。为了强调a、b的重要性，每道题