高中必修课考点及题型解析.docx

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1、高中数学必修课考点及题型解析一、数学必修1考点一：集合间的运算：求交集（AAB）、并集（AUB）、补集（CUA）题型1：用列举法表示的集合间的运算 对于用列举法表示的集合间的运算，A nB （交集）为A与B的相同元素组成的集合，AUB （并集）为A与B的所有元 素合在一起并把重复元素去掉一个所组成的集合，CUA （补集）为在全集U中把 A拥有的元素全部去掉剩下的元素所组成的集合。例 1、已知全集 U=1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10,集合A=1, 3, 5, 7,集合B=2, 5, 8, 求 A AB, AUB, CUAo解：AnB=l,3, 5,7 n 2,5,8

2、= 5AUB=1, 3, 5, 7 U 2, 5, 8 = 1, 2, 3, 5, 7, 8）CUA=2, 4, 6,8,9, 10题型.2：用描述法表示的集合间的运算（主要针对用不等式描述元素特征） 对于用描述法表示的集合间的运算，主要采用数形结合的方法，将集合用数轴或 文氏图表示出来（常选用数轴表示），再通过观察图形求相应运算。AAB （交集） 为图形中A与B重叠即共同拥有的部分表示的集合。AUB （并集）为图形中A 加上B所表示的集合。CUA （补集）为图形中表示全集U的部分中去除表示A剩 下的部分所表示的集合（若全集为R,则数轴表示时是整条数轴）注意表示数轴是带 有等于号的用实心点表示

3、，没带等于号的用空心点表示。例 2、已知集合 A 二x|0x2, B=x|-Kx3,求 A AB, AUB, CRA。解：AnB=x|0x2 n x|-Kx3 = x|0x2戈兰表示，（把分可在五胃垢迸行：工二一-10123Ux|-lx3=xFl 线面垂直：定义：如果一条直线垂直于一个平面内的任意一条直线，那么就说这 条直线和这个平面垂直。判定：一条直线与一个平面内的两条相交直线都垂直，则该直线与此 平面垂直（简称线线垂直，则线面垂直）。性质：垂直于同一个平面的两条直线平行。12、面面垂直：定义：两个平面相交，如果它们所成的二面角是直二面角，就说这两 个平面互相垂直。判定：一个平面经过另一个平

4、面的一条垂线，则这两个平面垂直（简 称线面垂直，则面面垂直）。性质：两个平面互相垂直，则一个平面内垂直于交线的直线垂直于另 一个平面。（简称面面垂直，则线面垂直）O题型：例1： 一棱锥被平行于底面的平面所截，若截面面积与底面面积之比是1:2,则此棱锥的高（自上而下）被分成两段长度之比为A、1:72 B、1:4C、1: （V2+1） D、1: （J2-1）例2：已知两个不同平面a、0及三条不同直线abc, a 1 p , a p=c,a，p ,alb, c与b不平行，则（）A. bp且b与a相交 B.。2。且。0C. b与a相交D. b_La且与P不相交例3：有四个命题：平行于同一直线的两条直线

5、平行；垂直于同一平面的两 条直线平行；平行于同一直线的两个平面平行；垂直于同一平面的两个平面平 行。其中正确的是（）A.B.C.D.在正方体ABC。-A3CO中，民尸分别是DCWCC的中点.求证:11111例5：如图，在正方体ABCD-A1B1C1D1 中，E、F为棱AD、AB的中点.（1）求证：EF平面 CB1D1；（2）求证：平面CAA1C1J_平面CB1D1（2013课标全国H,理4）已知m, n为异面直线, J_平面a , n_L平面B .直线1满足ln, iCa , ，则（）.P且1邛c.。与B相交，且交线垂直于1D.Q与B相交，且交线平行于1（2013课标全国H,理18）如图，直三

6、棱柱ABC-A1B1C1中，D, E分别是AB,住ABBB1 的中点,AA1=AC = CB= 2证明：BC1 平面A1CD；（2）求二面角DA1C E的正弦值.（2014课标全国H,理18）如图，四棱锥P-ABCD中，底面ABCD为矩形, PAJL平面ABCD, E为PD的中点.（I ）证明：PB平面AEC；（II）设二面角D-AE-C为60。，AP=1, AD=*,求三棱锥E-ACD的体积.A. q B 且 1。B. a （2014课标全国H,理11）直三棱柱ABC-A1B1C1中，ZBCA=90 , M, N分别是 A1B1, A1C1 的中点,BC二CA=CC1,则BM与AN所成的角的

7、余弦值为（）2廊近A. 10B. 5C. 10D. 23平面几何初步 考点：1、倾斜角与斜率：k = tana = 2X -X212、直线方程:点斜式:y y = k(x - x )oo斜截式：y = kx+b斜截式：y = kx+b两点式:截距式:一般式:两点式:截距式:一般式:x-X x-X1211=1 a bAx + By +3、对于直线：l：y = kx + b,l ：y = kx + b： 111 222k = k/12；1 2 b b123、对于直线：l：y = kx + b,l ：y = kx + b： 111 222k = k/12；1 2 b b12(2)/和/相交今ZwZ；

8、 1 212r 令人k = k(3)/ 和 / 重合O . 12 ；12 b = b1 12(4)/ 11 okk =1. 121 2l Ax + B y + C =0, 4、对于直线：1111 有:I A x+B y + C =02222AB =a b / / o，1 22 1 ；12 C 芋 B C1 22 1/和/相交oAB wAB； 12122 1AB=A B/和/重合O 1 1 22 1 ；12IBC=BCl 1 22 1(4)/ 1/ oAA +BB =0.121 21 25、两点间距离公式：PP= JG1 1 2 V 21216、点到直线距离公式:6、点到直线距离公式:|Ax +

9、 By + C|JA2 + B27、两平行线间的距离公式: C-CZ： Ax + 3y+C=0 与/： Ar + 3y+C=0 平行，则二，11 122$A2 + B2题型： 例1：若过坐标原点的直线/的斜率为-小，则在直线/上的点是()A (1,73) B (J3,1) C (-73,1)D (1,/3)例 2：直线/ :丘+(1攵)y 3 = 0和/ :伏1)x + (2Z + 3)y 2 = 0 12互相垂直，则攵的值是()A .-3 B .0C . 0 或3 D . 0 或 1(2014课标全国H,理16)设点M若在圆0:X2 + * = 1上存在点2使得zxxkN0MN=45 ,则%

10、的取值范围是.(2013 课标全国 H,理 12)已知点 A(-l,0), B(l,0), C(0, 1),直线 y=ax+b 国 0)将AABC分割为面积相等的两部分，则b的取值范围是().A. (0,1)B. I J C. I D.臣可2. 4圆与方程考点：1、圆的方程：标准方程：Q-1+G=厂2,其中圆心为半径为厂.一般方程：2+产+m+项+/=0.其中圆心为(-2,金)，半径为22r )2 + 2 - 4F - 22、直线与圆的位置关系直线Ax + By + C=0与圆(x - a” + (y - /?)2 =厂2的位置关系有三种：4 =相离=八0;d = ro 相切= = ();d

11、0 .3、两圆位置关系：d=OO1 1 2外禺：d R + r ；外切：d = R + r ；相交：R-rdR + r；(4)内切：d = R-r；内含：d0x + 2 = 0解得:x -3x * 2所给函数的定义域为X IX 2 -3且x工2。例2、求函数y = log 二（4 一 x）+ （x 一 3）的定义域。解一.二:解得：所给函数的定义域为且。例3、求函数丁 = （ + 1）、1咤（1）的定义域。f x + 1 0x -1I x + 1 # 1 I x # 0解：j X - 2 0解得：! X 2，所给出数的定义域为x I x 2且x # 3 ox - 21x 3I x 0I x 0

12、LL例4、设一个矩形周长为80,其中一边长为x,求它的面积关于x的函数的解析式， 并写出定义域.80 _ ”解：由题意知,另一边长为 T,且边长为正数,所以0x40.280 _ 2x 所以 s= x = （40x） x （0x40）2考点三：相同函数的判断O 1构成函数三个要素是定义域、对应关系和值域.由于值域是由定义域和对 应关系决定的，所以，如果两个函数的定义域和对应关系完全一致，即称这两个 函数相等（或为同一函数）O 2两个函数相等当且仅当它们的定义域和对应关系完全一致，而与表示自变 量和函数值的字母无关。130 13CC2cle1 +C25 4 2 25C4104.为了了解参加某种知识

13、竞赛的1003名学生的成绩，请用系统抽样抽取一个容 量为50的样本.1003.解：随机地将这1003个个体编号为1, 2, 3,利用简单随机抽样，先从总体中剔除3个个体（可利用随机数表），剩下 的个体数1000能被样本容量50整除，然后再按系统抽样的方法进行.说明：总体中的每个个体被剔除的概率相等（-1.），也就是每个个体不被剔1003除的概率相等愣叫用系统抽样时每个个体被抽取的概率都是藕，所以在整个抽样过程中每个个体被抽取的概率仍然相等，都是吧?_吵一吵 ibosTooo 1003考点7：数据抽样和分析频率分布直方图的制作与分析 考点8：总体的数字特征（2014课标全国H,理19）某地区20

14、07年至2013年农村居民家庭纯收入y （单位：千元）的数据如下表:年份2007200820092010201120122013年份代号t1234567人均纯收入y2.93. 33.64.44.85.25.9（I ）求y关于t的线性回归方程；（II）利用（I ）中的回归方程，分析2007年至2013年该地区农村居民家庭人 均纯收入的变化情况，并预测该地区2015年农村居民家庭人均纯收入.附：回归直线的斜率和截距的最小二乘法估计公式分别为：Z（r -r）（y -y）b = H I八i=i 1, d=y- hF考点9：离散性随机变量及其分布列题型（2013课标全国H,理19）（本小题满分12分）经

15、销商经销某种农产品，在一个销 售季度内，每售出1 t该产品获利润500元，未售出的产品，每1 t亏损300 元.根据历史资料，得到销售季度内市场需求量的频率分布直方图，如图所示.经销 商为下一个销售季度购进了 130 t该农产品.以X（单位：t, 100WXW150）表示 下一个销售季度内的市场需求量，T（单位：元）表示下一个销售季度内经销该农 产品的利润.（1）将T表示为X的函数；根据直方图估计利润T不少于57 000元的概率；在直方图的需求量分组中，以各组的区间中点值代表该组的各个值，并以需 求量落入该区间的频率作为需求量取该区间中点值的概率（例如：若需求量Xe 100, 110）,则取X

16、=105,且X=105的概率等上频率/组距于需求量落入100,110）的频率），求T的数学0.030 期望.0.025 0.0200.0150.010100 110 120 130 140 150 需求量/t数学必修44.1三角函数考点：1 .三角函数的概念和性质(单调性，周期性，奇偶性，最值).三角函数的图象2 .三角恒等变换(主要是求值).三角函数模型的应用3 .正余弦定理及其应用.平面向量的基本问题及其应用.题型1三角函数的最值：最值是三角函数最为重要的内容之一，其主要方法是 利用正余弦函数的有界性，通过三角换元或者是其它的三角恒等变换转化问题.例1若x是三角形的最小内角，则函数y =

17、sinx + cosx + sinxcosx的最大值是()A. -1B.C-D +2分析：二角形的最小内角是不大于的，而(sinx + cosx)2= J + 2sin x cos x , 3换元解决.解析：由 0xV3，令/= sinx+cos x=筝门(x +)而_% + _4_.兀，得A4 44 121 t=，+= _ + l)2L 有 1+022+必1，.=1+_.选择答案22点评：涉及至Usinx cosx与sinxcosx的问题时，通常用换元解决.解法二： y = sin x + cos x + sin xcos x = + K sin 2x ,户sin x I 4j 2兀1当了=

18、时，y =6十一,选D。4 max 2兀例 2.已知函数 f(x) = 2asinxcosx + 2bcos2% .,且 /(0) = 8,/( -) = 12 .6(1)求实数，。的值；(2)求函数/(x)的最大值及取得最大值时x的 值.分析：待定系数求。，b；然后用倍角公式和降幕公式转化问题. 角阜析：函数 /(x)可化为 f(x) = a sin 2x + b cos 2x + b .(1)由 /(0)=8, /(_)=12可得0) = 2。= 8, 671 内 3/(_)=*。+ _匕=1271 内 3/(_)=*。+ _匕=12兀(2) /(x) =4sin2x + 4cos2x +

19、 4 = 8sin(2x+ )+4,671兀故当 2x +- =2kn +_62即l=左兀+:（女2）时，函数/（x）取得最大值为12. 6点评：结论asinO +/?cos =42 +枕sin（0+（p）是三角函数中的一个重要公式，它在解决三角函数的图象、单调性、最值、周期以及化简求值恒等式的 证明中有着广泛应用，是实现转化的工具，是联系三角函数问题间的一条纽 带，是三角函数部分高考命题的重点内容.题型2三角函数的图象：三角函数图象从“形”上反应了三角函数的性质, 一直是高考所重点考查的问题之一.+ TT例3. （2009年福建省理科数学高考样卷第8题）为得到函数y = cos 2x 3A.

20、向左平移生个长度单位12C.向左平移生个长度单位57rB.向右平移一个长度单位12D.向右平移比个长度单位的图象，只需将函数y = sin2x的图象66分析：先统一函数名称，在根据平移的法则解决.解析y=,兀、（ 兀兀、+ _ = 上8心/ S叫2%+专2）5兀故要将函数sin12xy = sin 2x的图象向左平移个长度单位,选择答案A.12例4函数 =1211% + 5访元一悭门-521在区间（5.J内的图象是分析：分段去绝对值后，结合选择支分析判断.,2 tan x,当 taru siru时择支和一些特殊点，选择答案D.点评：本题综合考察三角函数的图象和性质，当不注意正切函数的定义域或

21、是函数分段不准确时，就会解错这个题目.题型3用三角恒等变换求值：其主要方法是通过和与差的，二倍角的三角变换 公式解决.例5 (2008高考山东卷理5)已知cosh-兀)-4+ sina=a,则si(7Ga +_I 6 J的值是分析：所求的siiVa += sin(a + ),将已知条件分拆整合后解决.6解析：C . cosa 、+ sina =、= 3sina +I 6J 所以sin a + 7兀 -6-i 7*cosa = %o25sia +兀J=-sirji a-5 cosJ 始+sina = 4的分拆与整合.点评：本题考查两角和与差的正余弦、诱导公式等三角函数的知识，考查分 拆与整合的数

22、 学思想和运算能力.解题的关键是对6J例 6 (2008 高考浙江理 8)cosa + 2sin ot = /5, PW tan a =A. 1B. 2C. -1D. -222分析：可以结合已知和求解多方位地寻找解题的思路.方法一：Jsin(a+(p)=其中 sin(p = j=,cos(p = ；，即tan(p =，再由sin(a+(p)=-1 知道a+(p =2依:一 (k e Z),所以a = 2%兀 一22.(K 、z、,、 sin (p所以 tana =tarV| 2Z兀一兀一(p = tan兀一(p )=卜一茎 一 cos(pI 2 ) I 2 J coQ.同 sin方法二：将已知

23、式两端平方得COS2OC+4cosasina+4sin2a = 5 = 5(sin2a + cos2a )=sin2a4sinacosa+4cos2a = 0= tan2 a4 tana + 4 = 0 = tana = 2方法三：令sina 2cosa =，和已知式平方相力口得5 = 5 +招，故”0,即 sin a - 2cos a = 0 ,故tana = 2 .方法四：我们可以认为点M（cosa,sina）在直线+2y =力上,I 非A 而点M又在单位圆x2 + y2 =1上，解方程组可得，5 ,1=-2衽I 5从而tana =2.这个解法和用方程组fsa + 2sina=-器求解实质

24、上是 x siri2a+ cos2a =1一致的.方法五：a只能是第三象限角，排除C. D.,这时直接从选择支入手验证，由于一计算麻烦，我们假定tana =2,不难由同角三角函数关系求出2sina =空,cos a=五，检验符合已知条件，故选B. 55点评：本题考查利用三角恒等变换求值的能力，试题的根源是考生所常见的“已知sinP+cosB，Be（0M），求tan P的值（人教A版必修4第三章复习题B组最后一题第一问）”之类的题目，背景是熟悉的，但要解决这个 问题还需要考生具有相当的知识迁移能力.题型4正余弦定理的实际应用：这类问题通常是有实际背景的应用问题， 主要表现在航海和测量上，解决的主

25、要方法是利用正余弦定理建立数学模 型.例7. （2008高考湖南理19）在一个特定时段内，以点为中心的7海里以 内海域被设为警戒水域.点石正北55海里处有一个雷达观测站A .某时刻测得一艘匀速直线行驶的船只位于点A北偏东45且与点A相距40卷海里的 n位置3,经过40分钟又测得该船已行驶到点A北偏东45+9 （其中sino=誓，0 。90）且与点A相距10J海里的位置c.（1）求该船的行驶速度（单位：海里/小时）；（2）若该船不改变航行方向继续行驶.判断它是否会进入警戒水域，并说 明理由.北U分析：根据方位角画出图形，如图.第一问实际上就是求3C的长，在AA8C 中用余弦定理即可解决；第二问本

26、质上求是求点到直线的距离，即可 以用平面解析几何的方法，也可以通过解三角形解决.角郛斤：(1)如图，AB = 40AC = 10T3 , /&4C = asin =26.26由于0 。90 ,由余弦定理得 BC =，AB2 + AQ 2A/4C/OS : 1 4.所以船的行驶速度为早=15式（海里/小时）.3（2）方法一：如上面的图所示，以A为原点建立平面直角坐标系, 设点用。的坐标分别是）, 8C与x轴的交点为Q.1122由题设有，x =y=理AB = 40, 112x =ACcos/G4Q = 10/cos(45-0)=30, 2oy = ACsin ZCAD = 10jT3sin(45

27、-0) =20.2c20所以过点8C的直线/的斜率4=_ = 2,直线/的方程为y = 2x-40.10又点。(055)至U直线/的距离d0+?5-4| =7 ,所以船会进入警戒J1+ 4水域.解法二： 如图所示，设直线与BC的延长线相交于点Q.在AA8C中,由余弦定理得,A & + B C2 AC2 cosZABCA & + B C2 AC2 cosZABC2ABBC402 x2 + 102x5-102x13 3yfo2x4aj2x1(X/510从而 si n ZABC=/-COS2/4BC =从而 si n ZABC=/-COS2/4BC =K=f-在AABQ中，由正弦定理得,在AABQ中

28、，由正弦定理得,40犷AQ= ABsinZABC _=40.sin(45-ZABCf 械 2X210由于八注5 5 4 0= A Q所以点Q位于点A和点E之间，且EQ=AE-AO=15.过点E作EPL BC于点P,则EP为点、E到直线BC的距离.在RtA QPE中，PE= QEsin/PQE= QEsinZAQC= QEsin(45 -ZABC) = 15xV = 3小7 c5所以船会进入警戒水域.点评：本题以教材上所常用的航海问题为背景，考查利用正余弦定理解决实 际问题的能力，解决问题的关键是根据坐标方位画出正确的解题图.本题 容易出现两个方面的错误，一是对方位角的认识模糊，画图错误；二是由

29、 于运算相对繁琐，在运算上出错.题型5三角函数与平面向量的结合：三角函数与平面向量的关系最为密切， 这二者的结合有的是利用平面向量去解决三角函数问题，有的是利用三角函数去解决平面向量问题，更多的时候是平面向量只起衬托作用，三角函数的基本问题才是考查的重点.例8 (2009年杭州市第一次高考科目教学质量检测理科第18题)已知向量 a = (2coscox,cos2(ox),S = (sinco/,1) ,(30),令 f(x) = W方，且 f(x)的周求/口|的值；写出，(x)在-士上的单调递增区14；间.22分析：根据平面向量数量积的计算公式将函数f(x)的解析式求出来，再根据f(x)的周期

30、为兀就可以具体确定这个函数的解析式，下面只要根据三角函数的有关知识解决即可.解析：(1)f f71f(x) = a-b=2coscoxsincox+cos2cox=sin2cox+cos2cox=返sin(2cox+ /，co=1 ， f(x) = /2 sin(2x+), 4co=1 ， f(x) = /2 sin(2x+), 4e f(x)的周期为兀71f (一)= sin_+cos一 = 1 422L兀(2)由于 f(x) =/sin(2x+),4CkeZ)时，/(x)单增,兀7171当一+ 2/cti W 2.x + + 2,kn242 兀兀 Xi_122即 _ ku x_+ kn （

31、k eZ）,、V 8z 兀兀3兀兀/(%)在-,一呼单调递增区间为-飞-,0点评：本题以平面向量的数量积的坐标运算为入口，但本质上是考查的三角 函数的性质，这是近年来高考命题的一个热点.例9 (2009江苏泰州期末15题)已知向量 =(3sina,cosa), b =(2sina,5sin a - 4cosa), a e371,2ji 且 区Ja A-b.(1)求tan a的值；工2y求cos,a+C的值.12, 3分析：根据两个平面向量垂直的条件将问题转化为一个三角函数的等式，通 过这个等式探究第一问的答案，第一问解决后，借助于这个结果解决第二问.解析：(1 ) *.* a Lb, a-b = Q.而 =(3 Sana)c, 0 sZ? =(2sina,5sin a _4cosa), 一 一_一故 a-b = 6sin 2 a + 5sin a cosa - 4cos 2 a = 0，6tap 2a + 5tan a - 4 = 0 ,解得tana = -，或tana = Va e 371, & V tana 0,32 h j故tana=l （舍去）.