样本显著性检验.ppt

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1、第第5章章 单样本显著性检验单样本显著性检验第一节第一节 导论：平均数的抽样分布导论：平均数的抽样分布1.如何比较抽样分布的均数与样本来自的总体均数？如何比较抽样分布的均数与样本来自的总体均数？2.当增加抽样分布的样本量时，样本平均数如何变化？当增加抽样分布的样本量时，样本平均数如何变化？例例1：大学生艾滋病知识问卷测试。设总体：大学生艾滋病知识问卷测试。设总体=50，=10。有多少大学生在。有多少大学生在40分到分到60分之间呢？分之间呢？图图5-1a有有68%的大学生的大学生测试分数在测试分数在40-60分之间分之间随机抽取一个大样本，其个体分数的分布见图随机抽取一个大样本，其个体分数的分

2、布见图5-1(a)如果抽取样本量如果抽取样本量N=3的的100个个样本，计算每个样本个个样本，计算每个样本平均数，图平均数，图5-1b包含包含68%的样本的样本均数，每个样本均数，每个样本平均数会是一样平均数会是一样吗？吗？如果抽取如果抽取N=20的的100个个样本，计算每个样本平均个个样本，计算每个样本平均数，图数，图5-1c样本平均数与总样本平均数与总体平均数相差较体平均数相差较小小如果抽取样本容量如果抽取样本容量N=40的的100个样本，计算每个个样本，计算每个样本平均数，图样本平均数，图5-1d样本平均数与样本平均数与总体平均数相总体平均数相差更小差更小从总体抽取一个样本的分布从总体抽

3、取一个样本的分布总面积的总面积的68%=个体分数方差个体分数方差 样本平均数的分布样本平均数的分布总面积的总面积的68%=样本均数的方差样本均数的方差=样本均数的标准差样本均数的标准差样本平均数的平均数的标准差，就称为均数的标准样本平均数的平均数的标准差，就称为均数的标准误误(standard error of mean)，如果总体标准差已知，如果总体标准差已知，则标准误：则标准误：5-1如果总体标准差未知，则标准误：如果总体标准差未知，则标准误：5-2无论总体标准差已知还是未知，标准误的大小取决于无论总体标准差已知还是未知，标准误的大小取决于总体的变异与样本大小。总体的变异与样本大小。标准误

4、标准误=50 =2总体中个体分数总体中个体分数小样本小样本大样本大样本第二节第二节 统计假设检验：已知总体均数和标准差统计假设检验：已知总体均数和标准差图图a,知总体知总体和和，从中，从中抽取大量样本，见图抽取大量样本，见图b图图b,可以描述这些大量样可以描述这些大量样本的平均数和标准差，本的平均数和标准差，可用来确定正态曲线下可用来确定正态曲线下的概率值。的概率值。图图c,通过已知正态分布通过已知正态分布的概率关系，可计算任的概率关系，可计算任意一个样本的平均数有意一个样本的平均数有关的概率关的概率2.1 样本平均数落在特定区间的概率样本平均数落在特定区间的概率 如前述，任一正态变量都可转化

5、为标准正态分布，如前述，任一正态变量都可转化为标准正态分布，可根据可根据 z 分数与正态曲线下的面积关系求概率分数与正态曲线下的面积关系求概率 换言之，任给一个原始分数，只要知道该分数之换言之，任给一个原始分数，只要知道该分数之外的面积比例，就可以知道与此相应的外的面积比例，就可以知道与此相应的 z 值。值。同理，任给一个样本平均数，只要知道该平均数同理，任给一个样本平均数，只要知道该平均数之外的面积比例，就可以知道与此相应的之外的面积比例，就可以知道与此相应的 z 值值=2/2=1P(z1）=0.1587例例2：已知：已知=50，=10，从该总体随机抽取一个，从该总体随机抽取一个N=25的样

6、本，问该的样本，问该 52的概率为多少？的概率为多少？P(48X52)=P(-1z1)=20.34=68%2.2 样本平均数的假设检验样本平均数的假设检验1.H0:202.H1:20 3.统计检验：因为统计检验：因为已知，所以使用已知，所以使用 z 检验检验4.显著性水平：显著性水平：=0.01 单尾单尾5.抽样分布：正态概率曲线抽样分布：正态概率曲线6.拒绝拒绝H0的临界区间的临界区间：|z|2.33例例5-2 安眠药睡眠时间服从正态分布，标准差安眠药睡眠时间服从正态分布，标准差1.5小时，小时，10人服用后，测得平均睡眠时间为人服用后，测得平均睡眠时间为21.15小时，该批号小时，该批号安

7、眠药睡眠时间的总体均数是否高于安眠药睡眠时间的总体均数是否高于20小时？小时？Z面积面积尾部尾部2.580 0.4951 0.0049Z面积面积尾部尾部2.330.4901 0.0099Z面积面积尾部尾部1.960 0.4750 0.0250Z面积面积尾部尾部1.640.4495 0.0505因为因为z2.33,所以所以P0.01,拒绝拒绝H0，差异有统计学意义。可，差异有统计学意义。可以认为该批安眠药睡眠时间的总体均数高于以认为该批安眠药睡眠时间的总体均数高于20 小时。犯小时。犯错误的风险为错误的风险为0.01。例例5-2 安眠药睡眠时间服从正态分布，标准差安眠药睡眠时间服从正态分布，标准

8、差1.5小时，小时，10人服用后，测得平均睡眠时间为人服用后，测得平均睡眠时间为21.15小时，该批号小时，该批号安眠药睡眠时间的总体均数是否高于安眠药睡眠时间的总体均数是否高于20小时？小时？第三节第三节 通过样本数据进行参数估计通过样本数据进行参数估计点估计点估计人口普查中的资料可以获得总体信息，多数情况不能人口普查中的资料可以获得总体信息，多数情况不能获得总体信息，尽管如此，我们仍然可以采用样本统获得总体信息，尽管如此，我们仍然可以采用样本统计量推测总体参数。计量推测总体参数。实际工作中是抽取单一样本，利用样本统计量对总实际工作中是抽取单一样本，利用样本统计量对总体进行的估计称为点估计。

9、体进行的估计称为点估计。已知方差已知方差用方差描述样本的变异有没有问题？用方差描述样本的变异有没有问题？没有问题没有问题再问：用方差估计总体方差有没有问题？再问：用方差估计总体方差有没有问题？答：有问题，一般地，样本方差估计总体方差是偏低答：有问题，一般地，样本方差估计总体方差是偏低的。的。如果用大样本估计总体方差，得到的是无偏估计：如果用大样本估计总体方差，得到的是无偏估计：2的无偏估计：的无偏估计：5-3的无偏估计：的无偏估计：5-4因此，平均数抽样分布的总体方差估计值：因此，平均数抽样分布的总体方差估计值：5-5平均数抽样分布的标准误：平均数抽样分布的标准误：5-6或者或者本课件一律采用

10、下式计算标准误：本课件一律采用下式计算标准误：5-7表表5-1 温习平均数、方差和标准差的符号温习平均数、方差和标准差的符号 S 标准差标准差 S2 2 2方差方差,0平均数平均数样本统样本统计量计量(经验上经验上的的)总体参数总体参数(理论上的理论上的)平均数抽样平均数抽样分布的无偏分布的无偏总体估计总体估计(经验上的经验上的)平均数的抽平均数的抽样分布参数样分布参数(理论上的理论上的)图图5-6 样本数据可以用来估计总体方差样本数据可以用来估计总体方差(2)的无偏的无偏估计估计 以及平均数的标准误以及平均数的标准误 ，样本方差越大，样本方差越大，总体方差的估计值和平均数的估计标准误也越大总

11、体方差的估计值和平均数的估计标准误也越大样本数据样本数据或或第四节第四节 参数未知时统计假设检验参数未知时统计假设检验 t 检验检验如果总体方差已知，用如果总体方差已知，用如果总体方差未知，用如果总体方差未知，用图图5-7 当自由度当自由度=3，10和和时，时，t 分布于标准正态分布的分布于标准正态分布的比较比较注：自由度是指对一组数据进行一定的控制之后，注：自由度是指对一组数据进行一定的控制之后，可以自由变化的数据个数。可以自由变化的数据个数。假设有四个数：假设有四个数：18、23、27、32，和是多少？平，和是多少？平均数是多少？均数是多少？这四个数的和是这四个数的和是100，平均数是，平

12、均数是 =25(1825)+(2325)+(2725)+(3225)=(7)+(2)+2+7=0如果必须根据平均数计算离差，那么只有第四个如果必须根据平均数计算离差，那么只有第四个固定，其他三个可以自由变化。自由度固定，其他三个可以自由变化。自由度f=4-1=3 推而广之：任意一个样本，我们对它只有一个限推而广之：任意一个样本，我们对它只有一个限制条件，那么这个样本的自由度就是制条件，那么这个样本的自由度就是N-1，今后我们，今后我们使用使用 t 分布进行各种检验，会用各种不同的自由度。分布进行各种检验，会用各种不同的自由度。需要说明的是，需要说明的是，t 检验是一种稳健的检验，这就检验是一种

13、稳健的检验，这就意味着即使总体分布严重偏离正态分布，意味着即使总体分布严重偏离正态分布，t 检验的统检验的统计推论也是相当有效的，这个结论是由中心极限定计推论也是相当有效的，这个结论是由中心极限定理决定的。我们我们怀疑分布是否符合正态性，明理决定的。我们我们怀疑分布是否符合正态性，明智的做法是增加样本量。智的做法是增加样本量。4.1 t 分布的特点分布的特点 t 分布与标准正态分布一样，关于平均数分布与标准正态分布一样，关于平均数0对称。对称。t 分布的离散程度比正态分布大分布的离散程度比正态分布大|z|1.96 拒绝区域面积拒绝区域面积5%|t|1.96拒绝区域面积拒绝区域面积15%见图见图

14、5.8 当当未知时，用未知时，用 z 检验代替检验代替 t 检验，会冒很检验，会冒很大的风险去拒绝一个真实的虚无假设，所以犯大的风险去拒绝一个真实的虚无假设，所以犯类错类错误的危险非常大。增大误的危险非常大。增大 t 值可以界定出拒绝区域，值可以界定出拒绝区域，临界值为临界值为3.182。0.05的拒绝区域：的拒绝区域：|t|3.182 t 分布的临界值表分布的临界值表与正态分布不同，与正态分布不同，t 分布的临界值分布的临界值(critical value)是指与各种显著性水平相对应的临界值区域的对应值。是指与各种显著性水平相对应的临界值区域的对应值。查表时，先找到查表时，先找到df=3，按

15、双尾，按双尾=0.05往下找到临界值往下找到临界值 t=3.182。一旦。一旦 算的的算的的 t 值大于值大于3.182，就拒绝，就拒绝H0.4.2 未知时的统计假设检验：单样本情况未知时的统计假设检验：单样本情况1.H0:1.92.H0:1.9 3.统计检验：因为统计检验：因为未知，所以使用未知，所以使用 t 检验检验4.显著性水平：显著性水平：=0.05，单尾，单尾5.抽样分布：自由度抽样分布：自由度df=16-1=15的的 t 分布分布6.拒绝拒绝H0的临界区间的临界区间：|t|1.753例例5-4 人体注射麻疹疫苗后的抗体强度服从正态分布，人体注射麻疹疫苗后的抗体强度服从正态分布，从某

16、厂产品随机抽取疫苗为从某厂产品随机抽取疫苗为16人注射，测得抗体强人注射，测得抗体强度为度为1.22.51.91.52.71.72.22.23.0241.82.63.12.32.42.1因为因为 t=2.5082，|t|1.753，按，按0.05单尾拒绝虚无假单尾拒绝虚无假设，差别有统计学意义，可以认为该厂产品平均抗体设，差别有统计学意义，可以认为该厂产品平均抗体强度高于强度高于1.9。第五节第五节 参数估计：区间估计参数估计：区间估计除了点估计。推论统计还包括区间估计。除了点估计。推论统计还包括区间估计。区间估计区间估计(interval estimation)是指包括总体真值的是指包括总体

17、真值的范围所作的估计。范围所作的估计。例例5：成都电视台：成都电视台8月初报道有月初报道有1名名13岁的肥胖儿童名岁的肥胖儿童名叫浩浩的，体重达到叫浩浩的，体重达到230斤，假如你不知道他的真实斤，假如你不知道他的真实体重，你凭什么猜测他的体重呢？你有多大把握说体重，你凭什么猜测他的体重呢？你有多大把握说他的体重是他的体重是230斤呢？斤呢？一般是通过观察，凭借印象猜测他是一般是通过观察，凭借印象猜测他是200斤，这个就斤，这个就叫叫“点估计点估计”，如果猜测体重大约在，如果猜测体重大约在200240斤，斤，就称为区间估计。就称为区间估计。第六节第六节 置信区间与置信限（第置信区间与置信限（第

18、45、46页）页）总体均数真值落入的区间，就称为置信区间。总体均数真值落入的区间，就称为置信区间。(confidence interval)，置信界限称为置信限，置信界限称为置信限(confidence limit),=0.05的置信区间称为的置信区间称为95%的置的置信区间。信区间。=0.01的置信区间称为的置信区间称为99%的置信区间。的置信区间。例例5 在例在例4中，已知中，已知 ,n=9,计算计算人工人参总体人工人参总体M物质含量物质含量99%的置信区间。的置信区间。所以所以0 的下限的下限=42.363.3550.466=42.36 1.56=40.80上限上限=42.36+1.56

19、=43.92解释置信区间需注意的问题：解释置信区间需注意的问题：在计算总体均数可能落入的区间时，我们不知道计在计算总体均数可能落入的区间时，我们不知道计算的样本平均数正确的概率有多大，也就不能够确算的样本平均数正确的概率有多大，也就不能够确定总体均数为定总体均数为的概率是的概率是95%还是还是99%。我们计算的。我们计算的概率不是针对总体均数，而是针对区间内包含总体概率不是针对总体均数，而是针对区间内包含总体均数的概率。均数的概率。从总体中重复抽取从总体中重复抽取100个样本，理论上有个样本，理论上有95的区间包的区间包含总体均数，大约有含总体均数，大约有5个不包含。个不包含。这里的这里的 C

20、 表示总体均数的置信区间，而非概率表示总体均数的置信区间，而非概率 小结小结1.样本平均数的分布服从正态分布。样本平均数的分布服从正态分布。从总体中抽取一个大样本从总体中抽取一个大样本2.平均数抽样分布的总体平均数等于总体平均数平均数抽样分布的总体平均数等于总体平均数3.平均数的标准误等于总体标准差除以样本量的平均数的标准误等于总体标准差除以样本量的平方根。即：平方根。即：4.如果如果已知，可选择已知，可选择 z 统计量和相应的标准正统计量和相应的标准正态分布。进行单样本的态分布。进行单样本的 z 检验。检验。5.如果如果未知，进行单样本的假设检验，可以通过未知，进行单样本的假设检验，可以通过

21、统计量来估计总体参数，可借助统计量来估计总体参数，可借助 t 分布计及其相分布计及其相应的抽样分布来进行参数检验。我们比较了随自由应的抽样分布来进行参数检验。我们比较了随自由度变化而变化的度变化而变化的 t 分布与标准正态分布的共特点分布与标准正态分布的共特点通过通过 t 值可以建立置信区间。值可以建立置信区间。6.在单样本下进行了在单样本下进行了Pearson相关系数与相关系数与Spearman等级相关的显著性检验。等级相关的显著性检验。需要牢记的术语需要牢记的术语平均数的标准误平均数的标准误 中心极限定理中心极限定理 参数的有偏估计参数的有偏估计无偏估计无偏估计 点估计点估计 t 分布分布 自由度自由度df t 的临界值的临界值 区间估计区间估计 置信区间置信区间 置信限置信限