杨辉三角与二项式系数的性质(一).ppt

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1、杨辉三角杨辉三角杨辉三角杨辉三角与二项式系数与二项式系数与二项式系数与二项式系数的性质的性质的性质的性质(一一一一)复习提问复习提问 1.二项式定理的内容二项式定理的内容(a+b)n=Cnan+Cnan-1b+Cnan-kbk+Cnbn01kn右边多项式叫右边多项式叫(a+b)n的二项展开式；的二项展开式；2.二项式系数二项式系数:3.二项展开式的通项二项展开式的通项Tk+1=针对针对(a+b)n的的标准形式而言标准形式而言(b+a)n，(a-b)n的通项则分别为的通项则分别为:4.在定理中，令在定理中，令a=1，b=x，则，则观察猜想观察猜想 展开式的二项式系数展开式的二项式系数有什么变化规

2、律？二项式系数最大的是哪有什么变化规律？二项式系数最大的是哪一项？一项？(a+b)n=Cnan+Cnan-1b+Cnan-rbr+Cnbn01rn为了研究它的一般规律，我们先来观察为了研究它的一般规律，我们先来观察n为特殊值时，二项展开式中二项式系为特殊值时，二项展开式中二项式系数有什么特点？数有什么特点？你知道这是什么图表吗？你知道这是什么图表吗？(a+b)1(a+b)2(a+b)3(a+b)4(a+b)5(a+b)6111211331146411510 10511615 20 1561新课引入新课引入详详解解九九章章算算法法记记载载的的表表杨辉杨辉 三角三角杨杨辉辉 以上二项式系数表以上二

3、项式系数表,早在我早在我 国南宋数学家国南宋数学家杨辉杨辉1261年所著的年所著的详解九章算法详解九章算法一书里就已经出现了，这个表称为杨辉三角一书里就已经出现了，这个表称为杨辉三角，杨辉指出这个方法出于杨辉指出这个方法出于释锁释锁算书，且我国北宋数学家贾宪算书，且我国北宋数学家贾宪（约公元（约公元11世纪）已经用过它。这表明我国发现这个表不晚于世纪）已经用过它。这表明我国发现这个表不晚于11世纪。世纪。杨辉三角的发现要比欧洲杨辉三角的发现要比欧洲早五百年左右早五百年左右，由此可见我由此可见我国古代数学的成就是非常值得中华民族自豪的。国古代数学的成就是非常值得中华民族自豪的。观察：从图中你能得

4、出观察：从图中你能得出哪些性质？哪些性质？111211331146411510 10511615 20 1561思考：会证明这些性质吗？思考：会证明这些性质吗？a).表中每行两端都是表中每行两端都是1。b).除除1外的每一个数都等外的每一个数都等 于它肩上两个数的和于它肩上两个数的和。4+6=102+1=3例如：例如：cr ncr-1n+crn+1=当当n n不大时，可用该表来求二项式系数不大时，可用该表来求二项式系数。C23C22C12+=3C25C24C14+=10因为：因为：111211331146411510105116152015612134610总结提炼总结提炼1:第第1行行第第2

5、行行第第6行行-第第5行行-第第4行行第第3行行-111211331146411510 10511615 20 1561对称对称总结提炼总结提炼2:与首末两端与首末两端“等距离等距离”的两个二项式系数相等的两个二项式系数相等当当n n为偶数如为偶数如2 2、4 4、6 6时，中间一项最大时，中间一项最大当当n n为奇数如为奇数如1 1、3 3、5 5时，中间两项最大时，中间两项最大(a+b)1(a+b)3(a+b)4(a+b)5(a+b)2(a+b)6(a+b)nCn0Cn1Cn2CnrCnn1615 20 1561111211331146411510 1051知识探究知识探究3:增减性的实质

6、是比较增减性的实质是比较 的大小的大小.所以 相对于 的增减情况由 决定 可知，当 时，二项式系数是逐渐增大的，由对称性可知它的后半部分是逐渐减小的，且中间项取得最大值。还有没有其他解释呢？还有没有其他解释呢？最大项与增减性最大项与增减性函数角度：函数角度：知识探究知识探究3:当当n=6时，二项式系数时，二项式系数 （0r r6）用图象表示：）用图象表示：7个个孤孤立立的的点点Or f(r)6361420图象法解释图象法解释f（r）n为奇数；为奇数；如如n=7f（r）rnO615201n为偶数；为偶数；如如n=620103035On743关于关于r=n/2对称对称r=3和和r=4时取得最大值时

7、取得最大值图象法解释图象法解释111211331146411510 10511615 20 1561n n是偶数时，中间的一项是偶数时，中间的一项 取得最大值；取得最大值；当当n n是奇数时，中间的两项是奇数时，中间的两项 和和 相等，且同时取得最大相等，且同时取得最大值。值。总结提炼总结提炼3:知识探究知识探究4:二项式系数求和：二项式系数求和：启示：启示：在二项式定理中在二项式定理中a,b可以取任意数或式子，可以取任意数或式子，因此我们可以通过对因此我们可以通过对a,b赋予一些特定的值，是解决赋予一些特定的值，是解决二项式有关问题的一种重要方法二项式有关问题的一种重要方法赋值法赋值法。令令

8、a=b=1，则则在（在（a+ba+b）n nC Cn n0 0a an n+C+Cn n1 1a an-1n-1b+Cb+Cn n2 2a an-2n-2b b2 2+C Cn nr ra an-rn-rb br r+C+Cn nn nb bn n证明证明:进一步思考进一步思考:（2 2）试证明在试证明在(a+b)n的展开式中，奇的展开式中，奇数项的二项式系数的和等于偶数项的二项式系数的数项的二项式系数的和等于偶数项的二项式系数的和和.即证：即证：证明：在展开式证明：在展开式 中中 令令a=1，b=1得得 小结：小结：赋值法赋值法在二项式定理中，常对在二项式定理中，常对a,b赋予一些特赋予一些

9、特定的值定的值1，-1等来整体得到所求。等来整体得到所求。还有没有其他思考方法呢？还有没有其他思考方法呢？赋值法例2已知已知求求:(1):(1)；(2)(2)；(3)(3);(4)(4)小结：求奇次项系数之和与偶次项系数的和小结：求奇次项系数之和与偶次项系数的和 可以先赋值，然后解方程组整体求解可以先赋值，然后解方程组整体求解思考思考1 1求证求证:略证：由略证：由(1+x)n(1+x)n=(1+x)2n，两边展开，两边展开后比较后比较xn的系数得：的系数得：再由再由 得得思考思考2 2求证：求证：证明：证明：倒序相加法倒序相加法知识对接测查知识对接测查3 2.求证：求证：证明：证明：倒序相加

10、法倒序相加法类型：求展开式中系数最大的项类型：求展开式中系数最大的项方法方法:利用通项公式建立不等式组利用通项公式建立不等式组思考思考3 3在在(3x-2y)20的展开式中，求：的展开式中，求：(1)(1)二项二项式系数最大的项式系数最大的项;(2);(2)系数绝对值最大的项系数绝对值最大的项;(3);(3)系数最大的项系数最大的项;解解:(2):(2)设系数绝对值最大的项是第设系数绝对值最大的项是第r+1r+1项项.则则 即即 3(r+1)2(20-r)得得 2(21-r)3r所以当所以当r=8时，系数绝对值最大的项为时，系数绝对值最大的项为（3）因为系数为正的项为奇数项，故可）因为系数为正

11、的项为奇数项，故可设第设第2r-1项系数最大。（以下同项系数最大。（以下同2）r=5.1.1.研究斜行规律研究斜行规律2.2.研究杨辉三角与研究杨辉三角与斐波那契数列斐波那契数列的关系的关系1.研究斜行规律：研究斜行规律：第一条斜线上：第一条斜线上：第二条斜线上：第二条斜线上：第三条斜线上：第三条斜线上：第四条斜线上：第四条斜线上：猜想：猜想：在杨辉三角中，第在杨辉三角中，第m条斜线（从右上到左下）条斜线（从右上到左下）上前上前n个数字的和，等于个数字的和，等于1+1+1+1+1+1=61+2+3+4+5=151+3+6+10=201+4+10=15第第m+1条斜线上的第条斜线上的第n个数个数

12、.1 11 11 1 1 1 （第第1 1条斜线条斜线）1 14 41010 （第第4 4条斜线条斜线）1 13 36 6 （第第3 3条斜线条斜线）1 12 23 3 （第第2 2条斜线条斜线）(nr)?结论结论结论结论1 1：杨辉三角中，第杨辉三角中，第杨辉三角中，第杨辉三角中，第mm条斜条斜条斜条斜(从右上从右上从右上从右上到左下到左下到左下到左下)上前上前上前上前n n个数字的和，等于第个数字的和，等于第个数字的和，等于第个数字的和，等于第m+1m+1条斜线上第条斜线上第条斜线上第条斜线上第n n个数个数个数个数即即即即即即根据杨辉三角的对称性，类似可得：杨辉三角中，根据杨辉三角的对称

13、性，类似可得：杨辉三角中，第第m条斜条斜(从左上到右下从左上到右下)上前上前n个数字的和，等个数字的和，等于第于第m+1条斜线上第条斜线上第n个数。个数。125第第5行行 1 5 10 10 5 1第第6行行 1 6 15 20 15 6 1第第7行行 1 7 21 35 35 21 7 1第第1行行 1 1第第0行行1第第2行行 1 2 1第第3行行 1 3 3 1第第4行行 1 4 6 4 11381321342.如图，写出斜线上各行数字的和，有什么规律？如图，写出斜线上各行数字的和，有什么规律？第第8行行 1 8 28 56 70 56 28 8 1 从第三个数起，任一数都等于前两个数的

14、和从第三个数起，任一数都等于前两个数的和;这就是著名的这就是著名的斐波那契数列斐波那契数列。杨辉三角的其它规律杨辉三角的其它规律第0行11 1、杨辉三角的第、杨辉三角的第、杨辉三角的第、杨辉三角的第2 2k k-1-1行的各数字特点行的各数字特点行的各数字特点行的各数字特点第1行 1 1第2行 1 2 1第3行 1 3 3 1第4行 1 4 6 4 1第5行 1 5 10 10 5 1第6行 1 6 15 20 15 6 1第n-1行 11第n行11 第7行 1 7 21 35 35 21 7 1 杨辉三角的第2k-1行(k是正整数)的各个数字都是奇数（质数的积）质数的积）第0行1第1行 1 1第2行 1 2 1第3行 1 3 3 1第4行 1 4 6 4 1第5行 1 5 10 10 5 1第第6行行 1 6 15 20 15 6 1第n-1行 11第n行11 第第7行行 1 7 21 35 35 21 7 12 2、杨辉三角中若第、杨辉三角中若第P P行除去行除去1 1外，外，P P整除整除其余的所有数，则行数其余的所有数，则行数P P是是质 数(素 数)