正项级数及其审敛法(IV).ppt

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1、 Interrogate of positive term series微微积积分分电电子子教教案案三、比值审敛法三、比值审敛法三、比值审敛法三、比值审敛法二、比较审敛法二、比较审敛法二、比较审敛法二、比较审敛法四、根值审敛法四、根值审敛法四、根值审敛法四、根值审敛法一、正项级数的定义一、正项级数的定义一、正项级数的定义一、正项级数的定义 与收敛准则与收敛准则与收敛准则与收敛准则2/29微积分微积分微积分微积分十一十一十一十一2.22.2、比较法的极限形式、比较法的极限形式定理：定理：设设 与与 都是正项级数都是正项级数,且且 若若 ,则则 与与 有相同的敛散性有相同的敛散性;若若l=0,且且

2、 收敛收敛,则则 也收敛；也收敛；，且且 发散，则发散，则 也发散。也发散。若若(在这个判别法中在这个判别法中,未知的未知的 ,已知的已知的 )3/29微积分微积分微积分微积分十一十一十一十一解解 原级数发散原级数发散.故原级数收敛故原级数收敛.例例7 7 判定下列级数的敛散性判定下列级数的敛散性:4/29微积分微积分微积分微积分十一十一十一十一解解 原级数发散原级数发散.故原级数收敛故原级数收敛.例例8 8 判定下列级数的敛散性判定下列级数的敛散性:5/29微积分微积分微积分微积分十一十一十一十一例例.判别下列级数的敛散性：判别下列级数的敛散性：先猜敛散性先猜敛散性,再找已知敛散性的级数再找

3、已知敛散性的级数,最后下结论最后下结论1)1)收，收，2)2)收，收，3)3)发。发。6/29微积分微积分微积分微积分十一十一十一十一例例9 判别下列级数的敛散性判别下列级数的敛散性解：解：1)所以所以 发散发散.又又 因因 发散，发散，7/29微积分微积分微积分微积分十一十一十一十一它在收敛和发散级数之间它在收敛和发散级数之间例例9 判别下列级数的敛散性判别下列级数的敛散性解：解：2)找找 比较，因为比较，因为8/29微积分微积分微积分微积分十一十一十一十一 因为因为 所以所以又又 因因 收敛收敛，所以所以 也收敛也收敛例例9 判别下列级数的敛散性判别下列级数的敛散性解：解：3)9/29微积

4、分微积分微积分微积分十一十一十一十一例例10.10.若若 则正项级数则正项级数发散发散证明证明：因为：因为又又 发散，由比较判别法知发散，由比较判别法知 发散发散例例11.11.证明证明:若正项级数若正项级数 收敛，则收敛，则 收敛收敛 但反之不真（举例说明）但反之不真（举例说明）证：证：因为因为 收敛，所以收敛，所以又又 ，由比较判别法得由比较判别法得 收敛收敛例如：例如：10/29微积分微积分微积分微积分十一十一十一十一则则(1)1,级数收敛；级数收敛；(2)1(2)1 +,级数发散；级数发散；(3)=1,此法失效此法失效.*比值判别法也称为达朗贝尔判别法比值判别法也称为达朗贝尔判别法定理

5、定理比值判别法的适用范围：比值判别法的适用范围：11/29微积分微积分微积分微积分十一十一十一十一解：解：例例1 112/29微积分微积分微积分微积分十一十一十一十一解：解：例例1 113/29微积分微积分微积分微积分十一十一十一十一例例2 2解：解：14/29微积分微积分微积分微积分十一十一十一十一例例3.3.解：解：此时原级数收敛此时原级数收敛此时原级数发散此时原级数发散原级数为原级数为 发散发散综上综上当当 0 x 2时，时，收敛收敛当当 时，时，发散发散15/29微积分微积分微积分微积分十一十一十一十一定理：定理：设设 为正项级数，若为正项级数，若 则则 r 1,级数发散；级数发散；r

6、=1,此法失效此法失效.*根值判别法也称为柯西判别法根值判别法也称为柯西判别法根值判别法的适用范围：根值判别法的适用范围：16/29微积分微积分微积分微积分十一十一十一十一例例4.4.解：解：故原级数收敛故原级数收敛例例5 5解：解：k=1时原级数为时原级数为级数发散级数发散一、任意项级数的定义一、任意项级数的定义 Interrogate of any term series 微微积积分分电电子子教教案案三、绝对收敛与条件收敛三、绝对收敛与条件收敛二、交错级数敛散性判别法二、交错级数敛散性判别法18/29微积分微积分微积分微积分十一十一十一十一 所谓所谓任意项级数任意项级数，是指级数是指级数

7、中的每一项都是中的每一项都是任意实数任意实数.例如：例如：任意项级数敛散性的确定比较困难，我们先研究一任意项级数敛散性的确定比较困难，我们先研究一种特殊的任意项级数：种特殊的任意项级数：交错级数交错级数19/29微积分微积分微积分微积分十一十一十一十一形如形如 的级数称为的级数称为交错级数交错级数 其特点在于：其特点在于：级数的各项正、负相间级数的各项正、负相间.例例1.1.指出下列级数中的交错级数：指出下列级数中的交错级数：2.12.1、交错级数的定义、交错级数的定义20/29微积分微积分微积分微积分十一十一十一十一定理定理2.22.2、交错级数判别法、交错级数判别法 (莱布尼兹判别法莱布尼

8、兹判别法)(1)(2)则该交错级数收敛，且其和则该交错级数收敛，且其和 若交错级数若交错级数 满足满足:证明：证明：(1)(2)21/29微积分微积分微积分微积分十一十一十一十一证明：证明：故原级数收敛。故原级数收敛。定理定理(1)(2)则该交错级数收敛，且其和则该交错级数收敛，且其和 若交错级数若交错级数 满足满足:2.22.2、交错级数判别法、交错级数判别法 (莱布尼兹判别法莱布尼兹判别法)22/29微积分微积分微积分微积分十一十一十一十一思考：思考：若条件若条件不满足不满足,交错级数敛散性如何？交错级数敛散性如何？若条件若条件不满足不满足,交错级数敛散性如何？交错级数敛散性如何？发散发散

9、不定不定定理定理(1)(2)则该交错级数收敛，且其和则该交错级数收敛，且其和 若交错级数若交错级数 满足满足:2.22.2、交错级数判别法、交错级数判别法 (莱布尼兹判别法莱布尼兹判别法)23/29微积分微积分微积分微积分十一十一十一十一例例2 2 判别下列级数的敛散性判别下列级数的敛散性解解:显然显然因为因为由级数收敛的必要条件知原级数发散由级数收敛的必要条件知原级数发散.24/29微积分微积分微积分微积分十一十一十一十一例例3 3 判别下列级数的敛散性判别下列级数的敛散性解解:25/29微积分微积分微积分微积分十一十一十一十一证明：证明：由莱布尼兹判别法知：由莱布尼兹判别法知：原级数收敛原

10、级数收敛.例例4 426/29微积分微积分微积分微积分十一十一十一十一例例5.5.证明证明 收敛收敛 证证由由可知可知又又当当x e 时时,从而当从而当n2时时,有有 f(n)f(n+1),即即由莱布尼兹判别法可知：由莱布尼兹判别法可知：收敛收敛条件条件(1),(2)均均不好检验不好检验对交错级数使用莱布尼茨判别法时，可以借助可对交错级数使用莱布尼茨判别法时，可以借助可导函数的单调性判断级数前后项大小和求极限。导函数的单调性判断级数前后项大小和求极限。27/29微积分微积分微积分微积分十一十一十一十一解解:该级数为交错级数该级数为交错级数由莱布尼兹判别法知：由莱布尼兹判别法知：原级数收敛原级数收敛.例例6 6即即28/29微积分微积分微积分微积分十一十一十一十一作业：作业：习题习题11-2（P451）1(6,7);2(1,2,4);4