椭圆的简单几何性质一.ppt

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1、复习：复习：1.椭圆的定义:到两定点到两定点F1、F2的距离之和为常数（大于的距离之和为常数（大于|F1F2|）的）的动点的轨迹叫做椭圆。动点的轨迹叫做椭圆。2.椭圆的标准方程是：3.椭圆中a,b,c的关系是:当焦点在当焦点在X轴上时轴上时当焦点在当焦点在Y轴上时轴上时二、二、椭圆椭圆 简单的几何性质简单的几何性质 -axa,-byb 知知 椭圆落在椭圆落在x=a,y=b组成的矩形中组成的矩形中 oyB2B1A1A2F1F2cab1、范围：、范围：YXOP（x，y）P2（-x，y）P3（-x，-y）P1（x，-y）关于关于x轴对称轴对称关于关于y轴对称轴对称关于原点对称关于原点对称二、椭圆的对

2、称性二、椭圆的对称性2、对称性、对称性：oyB2B1A1A2F1F2cab从图形上看，从图形上看，椭圆关于椭圆关于x轴、轴、y轴、原点对称。轴、原点对称。从方程上看：从方程上看：（1）把）把x换成换成-x方程不变，图象关于方程不变，图象关于y轴对称；轴对称；（2）把）把y换成换成-y方程不变，图象关于方程不变，图象关于x轴对称；轴对称；（3）把）把x换成换成-x，同时把，同时把y换成换成-y方程不变，图象关于原点成中方程不变，图象关于原点成中心对称。心对称。3、椭圆的顶点、椭圆的顶点令令 x=0，得，得 y=？，说明椭圆与？，说明椭圆与 y轴的交点？轴的交点？令令 y=0，得，得 x=？说明椭

3、圆与？说明椭圆与 x轴的交点？轴的交点？*顶点：椭圆与它的对称轴顶点：椭圆与它的对称轴的四个交点，叫做椭圆的的四个交点，叫做椭圆的顶点。顶点。*长轴、短轴：线段长轴、短轴：线段A1A2、B1B2分别叫做椭圆的长轴分别叫做椭圆的长轴和短轴。和短轴。a、b分别叫做椭圆的长半分别叫做椭圆的长半轴长和短半轴长。轴长和短半轴长。oyB2B1A1A2F1F2cab(0,b)(a，0)(0,-b)(-a，0)123-1-2-3-44y123-1-2-3-44y1 2 3 4 5-1-5-2-3-4x1 2 3 4 5-1-5-2-3-4x根据前面所学有关知识画出下列图形根据前面所学有关知识画出下列图形（1）

4、（2）A1 B1 A2 B2 B2 A2 B1 A1 4、椭圆的离心率椭圆的离心率e(刻画椭圆扁平程度的量刻画椭圆扁平程度的量)离心率：椭圆的焦距与长轴长的比：离心率：椭圆的焦距与长轴长的比：叫做椭圆的离心率。叫做椭圆的离心率。1离心率的取值范围：离心率的取值范围：2离心率对椭圆形状的影响：离心率对椭圆形状的影响：0ebab|x|b,|y|a同前同前(b,0)、(-b,0)、(0,a)、(0,-a)(0,c)、(0,-c)同前同前同前同前同前同前(0e1)(e越接近于越接近于1越扁越扁)例例1 1已知椭圆方程为已知椭圆方程为9x9x2 2+25y+25y2 2=225,=225,它的长轴长是它

5、的长轴长是：。短轴长是短轴长是：。焦距是焦距是：。离心率等于离心率等于：。焦点坐标是焦点坐标是：。顶点坐标是顶点坐标是：。外切矩形的面积等于外切矩形的面积等于：。106860解题的关键：解题的关键：1、将椭圆方程转化为标、将椭圆方程转化为标准方程准方程 明确明确a、b2、确定焦点的位置和长轴的位置、确定焦点的位置和长轴的位置例例2 椭圆的一个顶点为 ,其长轴长是短轴长的2倍，求椭圆的标准方程分析：分析：题目没有指出焦点的位置，要考虑两种位置 椭圆的标准方程为：；椭圆的标准方程为：；解：解：（1）当 为长轴端点时，（2）当 为短轴端点时，,，综上所述，椭圆的标准方程是 或 已知椭圆 的离心率 ，

6、求 的值 由 ，得：解：解：当椭圆的焦点在 轴上时，得 当椭圆的焦点在 轴上时，得 由 ，得 ，即 满足条件的 或 练习2：例例2求适合下列条件的椭圆的标准方程求适合下列条件的椭圆的标准方程经过点经过点P(3,0)、Q(0,2)；长轴长等于长轴长等于20，离心率，离心率3/5。一焦点将长轴分成一焦点将长轴分成：的两部分，且经过点的两部分，且经过点解解：方法一：设方程为方法一：设方程为mx2ny21（m0，n0，mn），），将点的将点的坐标方程，求出坐标方程，求出m1/9,n1/4。方法二：利用椭圆的几何性质，以坐标轴为对称轴的椭圆与坐标轴的交点就是方法二：利用椭圆的几何性质，以坐标轴为对称轴的

7、椭圆与坐标轴的交点就是椭圆的顶点，于是焦点在椭圆的顶点，于是焦点在x轴上，且点轴上，且点P、Q分别是椭圆长轴与短轴的一个端点分别是椭圆长轴与短轴的一个端点，故，故a3，b2，所以椭圆的标准方程为，所以椭圆的标准方程为 注注：待定系数法求椭圆标准方程的步骤：待定系数法求椭圆标准方程的步骤：定位；定位；定量定量或或 或或例例2、求适合下列条件的椭圆的标准方程：、求适合下列条件的椭圆的标准方程：（3）长轴长为）长轴长为6,中心中心O,焦点焦点F,顶点顶点A构成的角构成的角OFA的余弦值为的余弦值为2/3.解：由题知解：由题知a=3 cosOFA=oFAc=2，b2=a2-c2=5因此所求椭圆的标准方

8、程为因此所求椭圆的标准方程为与椭圆与椭圆4x2+9y2=36有相同的焦距，且离有相同的焦距，且离心率为心率为例例3、求适合下列条件的椭圆的标准方程：、求适合下列条件的椭圆的标准方程：解：由已知得所求椭圆解：由已知得所求椭圆2c=2a=5a=5，b b2 2=a=a2 2-c-c2 2=20=20故所求椭圆的标准方程为：故所求椭圆的标准方程为：若将题设中的若将题设中的“焦焦距距”改为改为“焦点焦点”，结结论又如何？，结结论又如何？例例4、已知、已知F1是椭圆的左焦点，是椭圆的左焦点，A、B分别是椭圆的分别是椭圆的右顶点和上顶点，右顶点和上顶点，P为椭圆上的点，当为椭圆上的点，当PF1F1A，PO

9、AB（O为椭圆中心）时，求椭圆的离心率。为椭圆中心）时，求椭圆的离心率。OBAPF1解：设椭圆的方程为：解：设椭圆的方程为：又又KOP=KAB因此因此b=c例例7.如图，我国发射的第一颗人造地球卫星的运行轨道，是以如图，我国发射的第一颗人造地球卫星的运行轨道，是以地心（地球的中心）地心（地球的中心）F2 为一个焦点的椭圆。已知它的近地点为一个焦点的椭圆。已知它的近地点A（离地面最近的点）距地面（离地面最近的点）距地面439 km，远地点，远地点B（离地面最远的（离地面最远的点）距地面点）距地面2384 km，并且，并且F2、A、B在同一直线上，地球半径在同一直线上，地球半径约为约为6371 k

10、m.求卫星的轨道方程（精确到求卫星的轨道方程（精确到1 km）。）。xyAB.F1F2解：解：建系如图，以建系如图，以AB所在直线为所在直线为x轴，轴，AB中点为原点中点为原点可设椭圆方程为：可设椭圆方程为：则O.解得故卫星的轨道方程是练习练习1、若椭圆的焦距长等于它的短轴长，则其离心率为、若椭圆的焦距长等于它的短轴长，则其离心率为 。2、若椭圆的两个焦点及一个短轴端点构成正三角形，、若椭圆的两个焦点及一个短轴端点构成正三角形，则其离心率为则其离心率为 。3、若椭圆的、若椭圆的 的两个焦点把长轴分成三等分，则其的两个焦点把长轴分成三等分，则其离心率为离心率为 。4、已知椭圆、已知椭圆 的离心率

11、为的离心率为1/2，则则m=.1/34或或5/41/2练习：练习：1.根据下列条件，求椭圆的标准方程。根据下列条件，求椭圆的标准方程。长轴长和短轴长分别为长轴长和短轴长分别为8 8和和6 6，焦点在，焦点在x x轴上轴上 长轴和短轴分别在长轴和短轴分别在y y轴，轴，x x轴上，经过轴上，经过P(-2,0)P(-2,0)，Q(0,-3)Q(0,-3)两点两点.一焦点坐标为（一焦点坐标为（3 3，0 0）一顶点坐标为（）一顶点坐标为（0 0，5 5）两顶点坐标为（两顶点坐标为（0 0，6），且经过点（），且经过点（5，4）焦距是焦距是1212，离心率是，离心率是0.60.6，焦点在，焦点在x x

12、轴上。轴上。2.2.已知椭圆的一个焦点为已知椭圆的一个焦点为F F（6 6，0 0）点）点B B，C C是短是短轴的两端点，轴的两端点，FBCFBC是等边三角形，求这个椭圆的是等边三角形，求这个椭圆的标准方程。标准方程。3、（高考）椭圆高考）椭圆 的焦点的焦点F1，F2，点，点P在在椭圆上，如果线段椭圆上，如果线段PF1的中点在的中点在y轴上，那么轴上，那么|PF1|是是|PF2|的的 （）A、7倍倍B、5倍倍C、4倍倍D、3倍倍4、我们把离心率等于黄金比我们把离心率等于黄金比 的椭圆称为优的椭圆称为优美椭圆，设美椭圆，设 是优美椭圆，是优美椭圆，F，A分别是它的左焦点和右顶点，分别是它的左焦

13、点和右顶点，B是它短轴的一个是它短轴的一个端点，则端点，则ABF=A、60B、75C、90D、120例例6.如图，一种电影放映灯泡的反射镜面是旋转椭圆面（椭圆如图，一种电影放映灯泡的反射镜面是旋转椭圆面（椭圆绕其对称轴旋转一周形成的曲面）的一部分。过对称轴的截口绕其对称轴旋转一周形成的曲面）的一部分。过对称轴的截口BAC是椭圆的一部分，灯丝位于椭圆的一个焦点是椭圆的一部分，灯丝位于椭圆的一个焦点F1上，片门位于上，片门位于别一个焦点别一个焦点F2上。由椭圆一个焦点上。由椭圆一个焦点F1发出的光线，经过旋转椭圆发出的光线，经过旋转椭圆面反射后集中到另一个焦点面反射后集中到另一个焦点F2。已知。已

14、知BC垂直于垂直于F1F2，|F1B|=2.8cm，|F1F2|=4.5cm.试建立适当的坐标系，求截试建立适当的坐标系，求截口口BAC所在椭圆的方程（精确到所在椭圆的方程（精确到0.1cm）例例5 电影放映灯泡的反射面是旋转椭圆面的一部分。电影放映灯泡的反射面是旋转椭圆面的一部分。过对称轴的截口过对称轴的截口BAC是椭圆的一部分，灯丝位于椭圆的一是椭圆的一部分，灯丝位于椭圆的一个焦点上，片门位于另一个焦点上个焦点上，片门位于另一个焦点上.由椭圆一个焦点发出由椭圆一个焦点发出的光线，经过旋转椭圆面反射后集中到另一个焦点。已知的光线，经过旋转椭圆面反射后集中到另一个焦点。已知 建立适当的坐标建立

15、适当的坐标系，求截口系，求截口BAC所在椭圆的方程。所在椭圆的方程。课本例题课本例题小结：小结：本节课我们学习了椭圆的几个简单几何性质：范围、本节课我们学习了椭圆的几个简单几何性质：范围、对称性、顶点坐标、离心率等概念及其几何意义。对称性、顶点坐标、离心率等概念及其几何意义。了解了研究椭圆的几个了解了研究椭圆的几个基本量基本量a a，b b，c c，e e及顶点、及顶点、焦点、对称中心及其相互之间的关系焦点、对称中心及其相互之间的关系，这对我们解，这对我们解决椭圆中的相关问题有很大的帮助，给我们以后学决椭圆中的相关问题有很大的帮助，给我们以后学习圆锥曲线其他的两种曲线扎实了基础。在解析几习圆锥

16、曲线其他的两种曲线扎实了基础。在解析几何的学习中，我们更多的是从方程的形式这个角度何的学习中，我们更多的是从方程的形式这个角度来挖掘题目中的隐含条件，需要我们认识并熟练掌来挖掘题目中的隐含条件，需要我们认识并熟练掌握握数与形数与形的联系。在本节课中，我们运用了的联系。在本节课中，我们运用了几何性几何性质质，待定系数法待定系数法来求解椭圆方程，在解题过程中，来求解椭圆方程，在解题过程中，准确体现了准确体现了函数与方程函数与方程以及以及分类讨论分类讨论的数学思想。的数学思想。例例5 5：设：设MM为椭圆为椭圆 上的上的一点一点,F,F1 1,F,F2 2为椭圆的焦点为椭圆的焦点,如果如果MFMF1

17、 1F F2 2=75=75，MFMF2 2F F1 1=15=15，求椭圆的离心率。，求椭圆的离心率。1、用待定系数法求椭圆标准方程的步骤、用待定系数法求椭圆标准方程的步骤 （1）先定位：确定焦点的位置）先定位：确定焦点的位置 （2）再定形：求）再定形：求a,b的值。的值。2、求椭圆的离心率、求椭圆的离心率 （1）求出）求出a,b,c，再求其离心率，再求其离心率 （2）得）得a,c的齐次方程，化为的齐次方程，化为e的方程求的方程求作业作业1、椭圆的一焦点与长轴较近端点的距离为椭圆的一焦点与长轴较近端点的距离为 焦点与短轴两端点连线互相垂直，求该椭圆的标准焦点与短轴两端点连线互相垂直，求该椭圆的标准方程。方程。2、已知椭圆在已知椭圆在x轴和轴和y轴正半轴上两顶点分别为轴正半轴上两顶点分别为A，B，原点到直线，原点到直线AB的距离等于的距离等于 ，又该椭圆，又该椭圆的离心率为的离心率为 ，求该椭圆的标准方程。，求该椭圆的标准方程。3、点点M（x,y）到定点（）到定点（2，0）的距离与到定直线）的距离与到定直线x=8的距离之比为的距离之比为 的点的轨迹方程是什么？轨迹的点的轨迹方程是什么？轨迹是什么？是什么？(4)P为为椭椭圆圆 上上任任意意一一点点，F1、F2是是焦焦点点，则则F1PF2的最大值是的最大值是 .