模糊数学课件(清晰易懂).ppt

《模糊数学课件(清晰易懂).ppt》由会员分享，可在线阅读，更多相关《模糊数学课件(清晰易懂).ppt（106页珍藏版）》请在淘文阁 - 分享文档赚钱的网站上搜索。

1、1模糊数学绪论模糊数学绪论2产生产生1965年，年，L.A.Zadeh（扎德）（扎德）发表了文章发表了文章模糊集模糊集 (Fuzzy Sets，Information and Control,8,338-353)基本思想基本思想用属于程度（隶属度）代替属于或不属于。用属于程度（隶属度）代替属于或不属于。如某员工属于优秀的程度为如某员工属于优秀的程度为0.6,属于良好的程度属于良好的程度为为0.2，属于一般的程度为，属于一般的程度为0.1，属于较差的程度，属于较差的程度为为0.1。2模糊代数，模糊拓扑，模糊逻辑，模糊分析，模糊代数，模糊拓扑，模糊逻辑，模糊分析，模糊概率，模糊图论，模糊优化等模糊

2、数学分支模糊概率，模糊图论，模糊优化等模糊数学分支 涉及学科涉及学科分类、识别、评判、预测、控制、排序、选择；分类、识别、评判、预测、控制、排序、选择；模糊产品模糊产品洗衣机、摄象机、照相机、电饭锅、空调、电梯洗衣机、摄象机、照相机、电饭锅、空调、电梯人工智能、控制、决策、专家系统、医学、土木、人工智能、控制、决策、专家系统、医学、土木、农业、气象、信息、经济、文学、音乐农业、气象、信息、经济、文学、音乐模糊数学绪论模糊数学绪论3 模糊彩色电视机模糊彩色电视机可根据室内的光线、距离可根据室内的光线、距离屏幕屏幕 的远近来自动调节屏幕的亮度和音量的大小。的远近来自动调节屏幕的亮度和音量的大小。模

3、糊空调器模糊空调器由于用微机进行模糊控制，到了由于用微机进行模糊控制，到了设定时刻，空调器能够根据室温需要，采用经济的设定时刻，空调器能够根据室温需要，采用经济的工作状态，调节合适的房间温度，既省电又省事。工作状态，调节合适的房间温度，既省电又省事。模糊煮饭器模糊煮饭器一次最多可煮一次最多可煮1.8升米饭，内装升米饭，内装锅体温度、室温、蒸气三种传感器，用它煮饭时，锅体温度、室温、蒸气三种传感器，用它煮饭时，每分钟检测一次加热状况，根据检测结果采用模糊每分钟检测一次加热状况，根据检测结果采用模糊理论对火力强弱进行微妙控制，使煮出来的米饭松理论对火力强弱进行微妙控制，使煮出来的米饭松软可口。软可

4、口。4下面我们正式走进模糊的世界5一、经典集合与一、经典集合与模糊集合模糊集合 模糊集合.uAA.u非此及彼非此及彼6亦此亦彼亦此亦彼UA模糊集合模糊集合 ,元素元素 x若若 x 位于位于 A 的内部，的内部，则用则用1来记录，来记录，若若 x 位于位于 A 的外部，的外部，则用则用0来记录，来记录，若若 x 一部分位于一部分位于 A 的内部，一部分位于的内部，一部分位于 A 的外部，的外部，则用则用 x 位于位于 A 内部的长度来表示内部的长度来表示 x 对于对于 A 的隶属程度。的隶属程度。7定义：定义：设设U是论域，称映射是论域，称映射确定了一个确定了一个U上的上的模糊子集模糊子集 。映

5、射。映射 称为称为 隶属函隶属函数数，称为称为 对对 的隶属程度，简称的隶属程度，简称隶属度隶属度。越接近于越接近于0,表示表示 x 隶属于隶属于A 的程度越小；的程度越小；越接近于越接近于1,表示表示 x 隶属于隶属于A 的程度越大；的程度越大；0.5,最具有模糊性，过渡点最具有模糊性，过渡点8模糊子集通常简称模糊集，其表示方法有：模糊子集通常简称模糊集，其表示方法有：（1）Zadeh表示法表示法这里这里 表示表示 对模糊集对模糊集A的隶属度是的隶属度是 。9（3）向量表示法）向量表示法（2）序偶表示法）序偶表示法若论域若论域U为无限集，其上的模糊集表示为：为无限集，其上的模糊集表示为：10

6、例例1.有有100名消费者，对名消费者，对5种商品种商品 评价，评价，结果为：结果为：81人认为人认为x1 质量好，质量好，53人认为人认为x2 质量好，质量好，所有人认为所有人认为x3 质量好，没有人认为质量好，没有人认为x4 质量好，质量好，24人人认为认为x5 质量好质量好则模糊集则模糊集A（质量好）（质量好）11 例例2：考虑年龄集：考虑年龄集U=0,100，O=“年老年老”，O也是一个年龄集，也是一个年龄集，u=20 A，40 呢？呢？札德给出了札德给出了“年老年老”集函数刻画集函数刻画:1213二二、模糊集的运算、模糊集的运算定义：定义：设设A，B是论域是论域U的两个模糊子集，定义

7、的两个模糊子集，定义相等：相等：包含：包含：并：并：交：交：补补：表示取大；表示取大；表示取小。表示取小。模糊集合的运算14并交余计算的性质并交余计算的性质1.幂等律幂等律2.交换律交换律3.结合律结合律4.吸收律吸收律166.0-1律律7.还原律还原律8.对偶律对偶律5.分配律分配律17三、隶属函数的确定三、隶属函数的确定1、模糊统计法、模糊统计法模糊统计试验的四个要素：模糊统计试验的四个要素：（1）论域）论域U；（2）U中的一个固定元素中的一个固定元素（3）U中的一个随机运动集合中的一个随机运动集合（4）U中的一个以中的一个以 作为弹性边界的模糊子集作为弹性边界的模糊子集A，制约着制约着

8、的运动。的运动。可以覆盖可以覆盖 也可以不覆盖也可以不覆盖致使致使 对对A的隶属关系是不确定的。的隶属关系是不确定的。18特点：在各次试验中，特点：在各次试验中，是固定的，而是固定的，而 在随机变动。在随机变动。模糊统计试验过程：模糊统计试验过程：（1）做）做n次试验，计算出次试验，计算出（2）随着）随着n的增大，频率呈现稳定，此稳定值即为的增大，频率呈现稳定，此稳定值即为对对A的隶属度：的隶属度：19对对129人进行调查人进行调查,让他们给出让他们给出“青年人青年人”的年龄区间，的年龄区间，问年龄问年龄 27属于模糊集属于模糊集A（青年人）的隶属度。（青年人）的隶属度。20对年龄对年龄27作

9、出如下的统计处理：作出如下的统计处理：A(27)=0.78212、指派方法、指派方法这是一种主观的方法，但也是用得最普遍的一种这是一种主观的方法，但也是用得最普遍的一种方法。它是根据问题的性质套用现成的某些形式的模方法。它是根据问题的性质套用现成的某些形式的模糊分布，然后根据测量数据确定分布中所含的参数。糊分布，然后根据测量数据确定分布中所含的参数。一般会有一些大致的选择方向：偏大型，偏小型，一般会有一些大致的选择方向：偏大型，偏小型，中间型。中间型。偏小型：适合描述偏小型：适合描述“小小”“少少”“冷冷”“浅浅”“疏疏”“青年青年”等等 偏大型：适合描述偏大型：适合描述“大大”“多多”“热热

10、”“深深”“密密”“老年老年”等等 中间型：适合描述中间型：适合描述“中中”“不太多不太多”“不太深不太深”“不太浓不太浓”“暖和暖和”“中年中年”等处于中间状态的模糊现象。等处于中间状态的模糊现象。22常用的模糊分布23243、其它方法、其它方法德尔菲法：专家评分法；德尔菲法：专家评分法；（1）选择专家；）选择专家；（2）确定影响债权价值的因素，设计价值分析对象征询意）确定影响债权价值的因素，设计价值分析对象征询意见表；见表；（3）向专家提供债权背景资料，以匿名方式征询专家意见；）向专家提供债权背景资料，以匿名方式征询专家意见；（4）对专家意见进行分析汇总，将统计结果反馈给专家；）对专家意见

11、进行分析汇总，将统计结果反馈给专家；（5）专家根据反馈结果修正自己的意见；）专家根据反馈结果修正自己的意见；（6）经过多轮匿名征询和意见反馈，形成最终分析结论。）经过多轮匿名征询和意见反馈，形成最终分析结论。25四、模糊四、模糊关系与模糊矩阵关系与模糊矩阵1.模糊关系的定义所谓A，B两集合的直积中的一个模糊关系R，是指以为论域的一个模糊子集，序偶的隶属度为一般地，若论域为n个集合的直积，则它所对应的是n元模糊关系R，其隶属度函数为n个变量的函数 。显然当隶属度函数值只取“0”或“1”时，模糊关系就退化为普通关系。26 假设物品之间完全相似者为“1”、完全不相似者为“0”，其余按具体相似程度给出

12、一个01之间的数，就可确定出一个U上的模糊关系R，列表如下 设有七种物品：苹果、乒球、书、篮球、花，桃、菱形组成的一个论域U，并设x1,x2 x7分别为这些物品的代号，则 现在就物品两两之间的相似程度来确定它们的模糊关系。27四、模糊矩阵四、模糊矩阵定义：定义：设设 称称R为为模糊矩阵模糊矩阵。当当 只取只取0或或1时，称时，称R为为布尔（布尔（Boole）矩阵）矩阵。当模糊方阵当模糊方阵 的对角线上的元素的对角线上的元素 都为都为1时，时，称称R为为模糊单位矩阵模糊单位矩阵。例如：例如：28（1）模糊矩阵间的关系及运算）模糊矩阵间的关系及运算定义定义：设：设 都是模糊矩阵，定义都是模糊矩阵，

13、定义相等：相等：包含：包含：并：并：交：交：余：余：29（2）模糊矩阵的合成）模糊矩阵的合成定义：定义：设设 称模糊矩阵称模糊矩阵为为A与与B的的合成合成，其中，其中 。即：即：定义：定义：设设A为为 阶，则模糊方阵的幂定义为阶，则模糊方阵的幂定义为31例例5：32（3）模糊矩阵的转置）模糊矩阵的转置定义：定义：设设 称称 为为A的的转置矩阵，其中转置矩阵，其中 。性质：性质：33（4）模糊矩阵的）模糊矩阵的 截矩阵截矩阵定义：定义：设设 对任意的对任意的 称称为模糊矩阵为模糊矩阵A的的 截矩阵，其中截矩阵，其中显然，截矩阵为显然，截矩阵为Boole矩阵。矩阵。34例例6：35截矩阵的性质：截

14、矩阵的性质：性质性质1.性质性质2.性质性质3.性质性质4.36（5）特殊的模糊矩阵）特殊的模糊矩阵定义：定义：若模糊方阵满足若模糊方阵满足则称则称A为为自反矩阵自反矩阵。例如例如是模糊自反矩阵。是模糊自反矩阵。定义：定义：若模糊方阵满足若模糊方阵满足则称则称A为为对称矩阵对称矩阵。例如例如是模糊对称矩阵。是模糊对称矩阵。37定义：定义：若模糊方阵满足若模糊方阵满足则称则称A为模糊为模糊传递矩阵传递矩阵。例如例如是模糊传递矩阵。是模糊传递矩阵。38模糊聚类分析一、基本概念及定理一、基本概念及定理39模糊聚类分析定理：定理：R是是n阶模糊等价矩阵阶模糊等价矩阵是等是等价的价的Boole矩阵。矩阵

15、。意义：将模糊等价矩阵转化为等价的意义：将模糊等价矩阵转化为等价的Boole矩阵，矩阵，可以得到有限论域上的普通等价关系，而等价关可以得到有限论域上的普通等价关系，而等价关系是可以分类的。因此，当系是可以分类的。因此，当在在0,1上变动时，上变动时，由由 得到不同的分类。得到不同的分类。40模糊聚类分析41例例6：设对于模糊等价矩阵设对于模糊等价矩阵模糊聚类分析42模糊聚类分析画出动态聚类图如下：画出动态聚类图如下：0.80.60.50.4143模糊聚类分析44例例7：设有模糊相似矩阵：设有模糊相似矩阵模糊聚类分析45（1）Q型聚类：对多种属性指标的不同样本对象进行归类；（2）R型聚类：对多个

16、样品对象的不同属性指标进行归类；R型聚类分析的主要作用是：1、不但可以了解个别变量之间的关系的亲疏程度，而且可以了解各个变量组合之间的亲疏程度。Q型聚类分析的优点是：1、可以综合利用多个变量的信息对样本进行分类；2、分类结果是直观的，聚类谱系图非常清楚地表现其数值分类结果；3、聚类分析所得到的结果比传统分类方法更细致、全面、合理。模糊聚类分析Q型与型与R型聚类分析型聚类分析：46二、模糊聚类的一般步骤二、模糊聚类的一般步骤、建立数据矩阵、建立数据矩阵模糊聚类分析47（1）标准差标准化）标准差标准化模糊聚类分析48（2）极差正规化）极差正规化（3）极差标准化）极差标准化（4）最大值规格化）最大值

17、规格化其中：其中：模糊聚类分析49、建立模糊相似矩阵（、建立模糊相似矩阵（指标属性点间的距离指标属性点间的距离）（1）相似系数法）相似系数法夹角余弦法夹角余弦法相关系数法相关系数法模糊聚类分析50（2）距离法）距离法（样本点间的距离）（样本点间的距离）绝对值绝对值距离距离欧氏欧氏距离距离切比雪夫切比雪夫距离距离模糊聚类分析闵可夫斯基闵可夫斯基距离距离51（3）贴近度法）贴近度法最大最小法最大最小法算术平均最小法算术平均最小法几何平均最小法几何平均最小法模糊聚类分析523 3、聚类并画出动态聚类图、聚类并画出动态聚类图（1）模糊传递闭包法）模糊传递闭包法（将相似矩阵化为等价矩阵）（将相似矩阵化为

18、等价矩阵）步骤：步骤：模糊聚类分析53模糊聚类分析54解：解：由题设知特性指标矩阵为由题设知特性指标矩阵为采用最大值规格化法将数据规格化为采用最大值规格化法将数据规格化为模糊聚类分析55用最大最小法构造用最大最小法构造模糊相似矩阵得到模糊相似矩阵得到模糊聚类分析56用平方法合用平方法合成传递闭包成传递闭包57取取 ，得，得模糊聚类分析58取取 ，得，得取取 ，得，得模糊聚类分析59取取 ，得，得取取 ，得，得模糊聚类分析60画出动态聚类图如下：画出动态聚类图如下：0.70.630.620.531模糊聚类分析61F,则则认认为各类之间有明显的差异。为各类之间有明显的差异。F服从自由度为服从自由度

19、为r-1，n-r的的F分布。分布。69模糊聚类分析的简要流程模糊聚类分析的简要流程:YN70模式识别的本质特征：一是事先已知若干标准模式，模式识别的本质特征：一是事先已知若干标准模式，称为标准模式库；二是有待识别的对象。称为标准模式库；二是有待识别的对象。所谓模糊模式识别，是指在模式识别中，模式是模所谓模糊模式识别，是指在模式识别中，模式是模糊的，或说标准模式库中提供的模式是模糊的。糊的，或说标准模式库中提供的模式是模糊的。模糊模式识别71 模式识别是科学、工程、经济、社会以至生活中经常遇到并要处理的基本问题。这一问题的数学模式就是在已知各种标准类型(数学形式化了的类型)的前提下，判断识别对象

20、属于哪个类型？对象也要数学形式化，有时数学形式化不能做到完整，或者形式化带有模糊性质，此时识别就要运用模糊数学方法。模糊模式识别72 在科学分析与决策中，我们往往需要将搜集到的历史资料归纳整理，分成若干类型，以便使用管理。当我们取到一个新的样本时，把它归于哪一类呢？或者它是不是一个新的类型呢？这就是所谓的模式识别问题。在经济分析，预测与决策中，在知识工程与人工智能领域中，也常常遇到这类问题。本节介绍两类模式识别的模糊方法。一类是元素对标准模糊集的识别问题 点对集；另一类是模糊集对标准模糊集的识别问题 集对集。模糊模式识别73点对集点对集1.问题的数学模型 (1)第一类模型：设在论域 X 上有若

21、干模糊集：A1，A2，An F(X)，将这些模糊集视为 n 个标准模式，x0 X 是待识别的对象，问 x0 应属于哪个标准模式 Ai(i=1，2，n)?(2)第二类模型：设 A F(X)为标准模式，x1,x2,xn X 为 n 个待选择的对象，问最优录选对象是哪一个 xi (i=1，2，n)?模糊模式识别74一一最最大大隶隶属属原原则则最大隶属原则最大隶属原则：最大隶属原则最大隶属原则：模糊模式识别75 原则原则的例子的例子 在论域在论域U=0,100(分数分数)上确定三个代表学习成绩上确定三个代表学习成绩的模集糊的模集糊 =“优优”，=“良良”，=“差差”。当某学。当某学生的数学成绩为生的数

22、学成绩为88分时，该学生的数学成绩该评分时，该学生的数学成绩该评为优、良、还是差？为优、良、还是差？为此，要先建立模糊集为此，要先建立模糊集 隶属函数。有人用隶属函数。有人用指派法建立了论域指派法建立了论域U上模糊集上模糊集 的隶属函数为的隶属函数为:7677 把把x=88分别代入上述三个隶属函数，得分别代入上述三个隶属函数，得:据原则据原则，88分相对三个模型应隶属于分相对三个模型应隶属于 ，即，即可评为优可评为优。78原则原则的例子的例子 设论域设论域U=x1,x2,x3(三名学生的学习成绩三名学生的学习成绩),在在U上上确定以一个模糊集确定以一个模糊集 =“优优”，若三个学生的英语，若三

23、个学生的英语成绩分别为成绩分别为x1=70,x2=80,x3=90现据英语成绩从三名现据英语成绩从三名学生中招聘一人做翻译，应优先招聘谁？学生中招聘一人做翻译，应优先招聘谁？由计算结果可知，第三位同学的成绩最靠近优。由计算结果可知，第三位同学的成绩最靠近优。据原则据原则应首先聘任第三位同学。应首先聘任第三位同学。把三个同学的英语成绩分别代入隶属函数把三个同学的英语成绩分别代入隶属函数:得得:79 (2)择近原则择近原则 设论域设论域U上有上有m个模糊子集个模糊子集 构成一个构成一个标准模型库标准模型库 为待识别的对象。若存在为待识别的对象。若存在i0 1,2,m使得使得:2.贴近度及其择近原则

24、贴近度及其择近原则 (1)贴近度贴近度 贴近度是描述模糊集之间彼此靠近程度的指标贴近度是描述模糊集之间彼此靠近程度的指标,是我国学者汪培庄教授提出的是我国学者汪培庄教授提出的,由于研究的问题不由于研究的问题不同同,贴近度也有不同的定义形式贴近度也有不同的定义形式,它的一般定义为它的一般定义为:设设A，B是论域是论域U上的两个模糊子集，则称上的两个模糊子集，则称为为A与与B的贴近度的贴近度。待识别对象归入待识别对象归入Ai0类。类。80 (3)实用贴近度实用贴近度 实际工作中实用的几个贴近度计算公式：实际工作中实用的几个贴近度计算公式：8182 例：茶叶的模型识别例：茶叶的模型识别 论域论域U=

25、茶叶茶叶,其等级标准模型库其等级标准模型库 待待识识别别的的茶茶叶叶样样品品为为B,衡衡量量茶茶叶叶质质量量指指标标为为:条条索索,色色泽泽,净净度度,汤汤色色,香香气气和和滋滋味味。模模型型库库与与样样 品品 的的 有有 关关 数数 据据如右表。如右表。贴近度计算公式贴近度计算公式:83按择近原则按择近原则:84贴近度计算改用：贴近度计算改用：上述两种计算贴近度公式，计算数值不同，但归上述两种计算贴近度公式，计算数值不同，但归类果一样，那一种更好？类果一样，那一种更好？茶叶样品茶叶样品85阈值原则：阈值原则：有时我们要识别的问题，并非是已知若干模糊集求有时我们要识别的问题，并非是已知若干模糊

26、集求论域中的元素最大隶属于哪个模糊集（第一类模型）论域中的元素最大隶属于哪个模糊集（第一类模型），也不是已知一个模糊集，对论域中的若干元素选，也不是已知一个模糊集，对论域中的若干元素选择最佳隶属元素（第二类模型），而是已知一个模择最佳隶属元素（第二类模型），而是已知一个模糊集，问论域中的元素，能否在某个阈值的限制下糊集，问论域中的元素，能否在某个阈值的限制下隶属于该模糊集对应的概念或事物，这就是阈值原隶属于该模糊集对应的概念或事物，这就是阈值原则，该原则的数学描述如下：则，该原则的数学描述如下：8687例如 已知“青年人”模糊集 Y，其隶属度规定为对于x1=27 岁及 x2=30 岁的人来说，

27、若取阈值881=0.7，故认为故认为 27 岁和岁和 30 岁的人都属于岁的人都属于“青年人青年人”范畴。范畴。则因 Y(27)=0.862 1，而 Y(30)=0.5 2,而 Y(30)=0.5=2，89模糊综合评判一级模糊综合评判一级模糊综合评判90模糊综合评判91模糊综合评判92模糊综合评判93模糊综合评判94根据运算的不同定义，可得到以下不同模型：根据运算的不同定义，可得到以下不同模型：模糊综合评判95例如有单因素评判矩阵例如有单因素评判矩阵则则B(0.18,0.18,0.18,0.18)96模糊综合评判97其中：其中：模糊综合评判98例例：“晋升”的数学模型.以高校老师晋升教授为例：

28、因素集U=政治表现及工作态度,教学水平,科研水平,外语水平,评判集V=好,较好,一般,较差,差.因素 好 较好 一般 较差 差政治表现及工作态度 4 2 1 0 0教学水平 6 1 0 0 0 科研水平 0 0 5 1 1 外语水平 2 2 1 1 1 99给定以教学为主的权重给定以教学为主的权重A=(0.2,0.5,0.1,0.2)，分别用分别用M(,)、M(,)模型所作评判下：模型所作评判下：M(,)：B=(0.5,0.2,0.14,0.14,0.14)归一化后，归一化后，B=(0.46,0.18,0.12,0.12,0.12)M(,)：B=(0.6,0.19,0.13,0.04,0.04

29、)100多级模糊综合评判（以二级为例）多级模糊综合评判（以二级为例）问题：问题：对高等学校的评估可以考虑如下方面对高等学校的评估可以考虑如下方面模糊综合评判101二级模糊综合评判的步骤：二级模糊综合评判的步骤：模糊综合评判102模糊综合评判103模糊综合评判104权重的确定方法：权重的确定方法：在模糊综合评判决策中,权重是至关重要的,它反映了各个因素在综合决策过程中所占有的地位或所起的作用,它直接影响到综合决策的结果.凭经验给出的权重,在一定的程度上能反映实际情况,评判的结果也比较符合实际,但它往往带有主观性,是不能客观地反映实际情况,评判结果可“真”.105频数统计方法(1)对每一个因素uj,在k个专家所给的权重aij中找出最大值Mj和最小值mj,即Mj=maxaij|1 i k,j=1,2,n;mj=minaij|1 i k,j=1,2,n.(2)选取适当的正整数p,将因素uj所对应的权重aij从小到大分成p组,组距为(Mj-mj)/p.(3)计算落在每组内权重的频数与频率(4)取最大频率所在分组的组中值(或邻近的值)作为因素uj的权重.(5)将所得的结果归一化.106