《多元统计分析》目录.doc

《《多元统计分析》目录.doc》由会员分享，可在线阅读，更多相关《《多元统计分析》目录.doc（166页珍藏版）》请在淘文阁 - 分享文档赚钱的网站上搜索。

1、多元统计分析目录前言第一章 基本知识511总体，个体与样本512样本数字特征与统计量613一些统计量的分布9第二章 统计推断1521参数估计1522假设检验19第三章 方差分析3231一个因素的方差分析3232二个因素的方差分析3733用方差分析进行地层对比44第四章 回归分析4941概述4942回归方程的确定4943相关系数及其显着性检验5244回归直线的精度5545多元回归分析5646应用实例60第五章 逐步回归分析6551概述6552“引入”和“剔除”变量的标准6653矩阵变换法6754回归系数，复相关系数和剩余标准差的计算6955逐步回归计算方法7056实例74第六章 趋势面分析806

2、1概述8062图解汉趋势面分析8163计算法趋势面分析83第七章 判别分析9071概述9072判别变量的选择9173判别函数9274判别方法9675多类判别分析104第八章 逐步判别分析11081概述11082变量的判别能力与“引入”变量的统计量11083矩阵变换与“剔除”变量的统计量11384计算步聚与实例115第九章 聚类分析 12591概述12592数据的规格化（标准化）12593相似性统计量12694聚类分析方法13195实例13496最优分割法134第十章 因子分析142101概述142102因子的几何意义143103因子模型145104初始因子载荷矩阵的求法147105方差极大旋围

3、152106计算步聚156107实例157附录162附录1标准正态分布函数量162附录2正态分布临界值ua表164附录3t分布临界值ta表165附录4（a）F分布临界值Fa表（a=01）附录4（b）F分布临界值Fa表 (a=005) 附表4（c）F分布临界值Fa表（a=001）附表5 x2分布临界值xa2表第一章 基本知识11总体、个体与样本总体（母体）、个体一（样本点）和样本（子样）是统计分析中常用的名词。在统计学中通常把研究的全部元素的集合称为总体。组成总体的每个元素称为个体。而把从总体中取出的一部分个体的集合叫做样本。例如研究某花岗岩体中钾的含量（通常研究某一指标，即某一变量），若从该岩

4、体中合理选取n个样品（n=300 0），分析其中钾的钾的含量为K（i=1，2，n），则（1）k1,K2,或Kn等称为个体；（2）n个元素（个体）组成的集合（K1, K2,，K）称为样本（子样）；（3）样本中包含的个体数目（n）称为样本的容量。一般样本容量n3 0称为大样本，n3 0称为小样本；（4）所有可能的个体的集合称为总体，通常地质体皆可无限取样，这时总体包含无限多个体。这样的总体称为无限总体。若每个样品。同时又分析了另一个指标（变量），则可获得相应于别一个变量的个体。子样和总体。若同时分析多个指标，则得多个子样，代表多个变变量的总体，这种总体称为多元总体。总体是样本的全体，样本是总体的一

5、部分。总体通常是未知的。样本是已知的。为了对总体的分布进行研究，就必须对总体进行随机抽样观测。由于样本是随机抽取的，它取一组什么值事先是无法知道的，因此样本可以看作是一个随机向量X=（x1,x2 , ,xn） ，而样本的每个分量 xi 可以看作是一个随机变量。当然对某次抽样来说。样本就有一组确定的观测值。通常根据样本以总体进行分析研究时，要求样本能很好反映总体的特点。为此在抽样时必须注意如下二点：(1)代表性。要求使总体的每一个个体都有相同的抽取机会。使样本的每一个分量xi和总体XX具有相同的分布；(2)独立性，要求每个观测结果既不影响其它观察结果。也不受其它观察结果的影响，也就是说抽样是独立

6、的随机抽样。满足上述二点的子样（样本）通常称为简单子样。在研究地质问题时。为了满足土述要求，必须根据研究对象，按照具体地质条件合理布置取样点。12 样本数字特征与统计量样本的数字特征是反映样本分布的主要特性的参数。利用样本的数字特征可以估计总体的数字特征。常用的数字特征（特征数）有二类。一类是反映数据分布的集中位置，从而可以代表数据整体的特征数（ 表征数），称为整个代表性特征数（ 又叫集中性参数）；另一类是反映数据分布离散程度的参数，称为离散性特征数。1整体代表性特征数常用的整体特征数有：(1)样本算术平均数设是取自某一总体的容量为n的样本，则样本的算术平均数为： （1）当数据很多时，为了简化

7、计算，常常将数据分组（设分为m组），统计各组的频数为 并用组中值 Cj （ 组中值即为组的上限与下限的平均数）代替这组所有的观测值。进行近似计算。这时平均数计算方式： = （2）用上式求平均数的方法叫做加权平均法，求得的平均数叫加权平均数。上式中的权即为各组出现的频数。（2）样本几何平均数样本几何平均数为 （3）计算时，一般是把等式两边取对数即得 （4）于是，只要先算出原始数据的对数值的平均数。然后再查反对数。即可求出几何平均数。由于地质体中某些微量元素的含量，有时服从对数正态分布，在求其背景值时就会用到几何平均数。除了平均数（样本均值）和几何平均数以外。尚有样本中位数和样本众数，也属整体代表

8、性特征数。所谓样本中位数就是将样本观测值按大小顺序排列起来，居中的一个数值就是样本中位数。例如样本（1，2，2，3，5，7，8）的中位数是3。如果样本数据的个数是偶数，则十位数可取中部一个数的平均值。所谓样本众数就是最容易出现的数值。也就是说把样本规测按大小顺序排列起来。若某个数出现的次数比与它相邻的数出现的次数都大。则这个数就是样本的众数。通常中位数和众数得不多。2离散性特征数(1)均方差（标准差）均方差S是最常用的离散性特征数。均方差的平方叫方差。用S2表示。设样本观测值 。 其平均数（均值）为 。若都分布在附近则离散程度较小，否则离散程度大。每个观测值 与之差，称为离差（偏差）。离差有正

9、有负，其平均数接近零（时，偏差平均趋于零），因此无法用以表示离散程度的大小。而离差平方的平均数能很好地反映出观测数据的离散程度的大小。离差平方的平均数叫方差，即 （5）均方差的计算公式为 （6）均方差又可写为 （7）对分成m组的数据来说，设组中值为Cj，各组的频数为fj，则计算公式为 （8）(2)极差极差就是样本观测值中最大值减去最小值的差，用R表示。设观测值中最大值为，最小值为则。极差计算简便。但由于只依赖于二个极端值。没有充分利用数据所提供的许多重要信息。因而反映实际情况的精确度较差。3样本矩样本的某些数字特征例如平均数和均方差等。可用样本矩这一术语来表示。 设 为取自某一总体的 一个容量

10、 。为n的随机样本。则定义为样本对于A的K阶矩（其中A为常数）。（1）原点矩当A=0时，称为样本的原点矩，用aK表示。则第K阶样本原点矩为 K=1，2 （9）可见 K=1时，有(2)中心矩当A=时，称为样本的中心矩，用uk表示。则第k阶样本中心矩为 k=1，2， （10）可见 k=2时，有(3)样本的偏度和峰度三阶中心矩可以反映分布的偏斜程度，四阶中心矩可以反映分布的陡峭程度。因此样本的偏度g1和峰度g2可以定义为 （11）如g1=0则分布对称， g10 则分布为正偏的， g10 分布为负偏的。g2=0分布与正态分布陡峭程度一样，g20则分布比正态分布更陡峭。g2=0m则分布没有正态分布那么陡

11、峭。4统计量以上所述。样本的数字特征是根据样本导出的量。这些量通称为统计量。可见一个子样可以导出许多统计量。一般地说凡是子样（样本）的函数（不含任何未知参数）均为统计量。根据研究问题的不同，可以利用子样构造出某种统计量。以便进行推断。由于予样可以看作是一个随机向量（或n继随机变量），所以统统计量也是一个随机变量。例如样本的平均数和均方差等都是随机变量。13一些统计量的分布在叙述统计量分布之前，先介绍几种常用的分布，这些分布在概率论中已有论述，这里以表格形式将这些分布的一些主要结果列出来以备查用。1样本（子样）线性函数的分布从正态总体N（u9 2）中抽取一个容量为n的简单子样（）。(1)设子样的

12、线性函数（统计量）为 （12）式中ai为已知常数。由于xi相互独立。且有相同的分布N（u92）。根据正态分布的性质可知，y服从正态分布。N（uy 。y 2）,其均值（数学期望）E（y）和方差D（y）分别为 （13）当名称密度函数K阶原点矩K阶中心矩附注正态分布N(，2)N（0，1）各阶矩存在a1=222k1=02k=加法定理成立，设i独立分别有N(i,i2),则有分布N(, )若i独立，有同分布N(i,2)则 有分布N(,)x2分布（自由度为n的x2分布简记为x2(n)） 当x0 0 当x0ak=n(n+2)（n+2k-2）特别有n2n1 设i独立且有相同分布N(0，1)则有分布x2（n）2

13、加法定理成立，设1，2分别有x2（n1）,x2(n2)则12 有分布X2（n1+n2）表1.1 几种常用的分布t分布（自由度为n的t分布简记为t(n)）k(n)阶矩有限a10（1n）(2k00, 当x=0对m2k4）设1,2独立,分别有x2（m）及x2（n）,则有分布F(m,n)可见那时子样均值服从正态分布N（），其均值E（）和方差D（）分别为 （14）所以子样平均数（均值）和随机观测值x有相同的均值，但方差小n倍，故的分布更为集中。（3）设子样线性方程组为 （15）其中A为系数方法。则y1 ，yn也是正态随机变量，其均E（yi）,方差D（y1），协方差COV（yi, yj）分别为 （16）i

14、,j=1,2,p当p=n,A为正交方阵时，则有 （17）那时若xi（i=1，2，n）服从N（0，1）分布，则依据上式可得 COV（yi， yj）=0 （18） E（yi）=0, D(yi)=1 （19）因为新变量（yi）的协方差为零。即两两互不相关。由于新变量也都服从正态分布。故y19y29yn相互独立（正态变量两两互不相关。亦即相互独立）。以上讨论可以得出结论。相互独立的服从N（0，1）分布的简单子样xi（i=1，2， n）通过正交变换后，得到的也是相互独立的服从N（0，1）分布的新变量yi（i=1，2， n）。2几个有关子样方差与均值的统计量的分布（1）设x1 9x2 9xn是从正态总体N

15、（9 2）中抽取的一个简单子样。其均值与方差为 ， （20）则统计量和S2相互独立，且有 ns2/ 2服从自由度为 n-1 的 x2分布。服从自由度为n-1的t分布，即有a，ns2/2x2（n-1） （21）b， （22）因为对子样作正交变换并令正并方阵A中的第一行为a1i=1/(满足正交条件ay1= （23）b（正交变换持长度不变）则故 （24）c （25）因此 由于相互独立，则y1与nS2独立。又因因为服从N(0，1)分布，故服从自由度为n-1的x2分布。因为服从分布N（0，1），nS2/2服从分布x2（n-1）且相互独立，故 （26）服从t分布。（2）设x1 ，y2 ，xm是从正态总体N

16、（u1 , 1 2）中抽取的一个子样，y1， y2,，yn是从另一个正态总体N（u2， 22）中抽取的一个子样。并假定x1， x2， xm和y1，y2，yn相互独立，则a （27）b当时，有其中： （29） 因为 F=当二个正态总体分布的方差相同是，即 因为当另外由分布加法定理知，统计量 则统计量 服从自由度为m+n-的t分布。若 （32）或 式中 以上几个统计量的分布，在统计分析中常会用到。今后根据统计推断的需要。还将陆续引进一些其它的统计量。第二章 统计推断统计推断就是根据子样的数据来推断母体的种种统计特性。它大体可以分为参数估计与假设检验二个方面。21参数估计在地地工作中，常常需要根据一

17、批矿样的平均品位来估计整个矿体的平均品位；或根据每一岩体上测得的放射性强度（或其它物理性质）的平均数，来估计该岩体的放射性底数（背景值）等等，这些就是参数估计问题。参数估计又可分为点估计与区间估计。1点估计点估计就是选择一个统计量 作为母体未知参数的估计。这个统计量（是子样的函数）称为的估计量。当x1， x2，xn是子样的一组确定的观测值时，就是一个具体数值（或一个点），所以也叫的点估计。常用的求估计量的方法有矩法和最大似然法。（1）矩法矩法就是用子样矩（样本矩）代替母体矩（总本矩），从而求出估计量的方法。例如，正态母体一阶矩为二阶矩为;若用一阶和二阶子样矩来估计，则有： （1）解上式可得因此

18、母体均值和差2的估计量分别是子样均值和子样方差S2因为 （2） （3）= （4）由此可见。作为的估计时，它在值周围波动，其均值恰好是真值。这一性质称为无偏性。无偏性就是要求的估计值的均值正好等于，即E。这种估计称为无偏估计。因此是的无偏估计量，而 不是的无偏估计量。由于 （5）故的无偏估计 因此 （6）具总体方差2和均方差的无偏估计量。（2）最大似然法设总体X有分布函数F（X;,是未知参数，X1，X2，X n是容量为n的子样。采用大似然定未知参数时，首先确定似然函数。a若总体为离散型分布设Pi() （7）b若总体为连续型分布设X的密度函数是f（X;1,，），则似然函数为L （8）显然，当X1,

19、 X2, 固定时，L是1，2,的函数，它表示样本值X1，X2,，的可能性大小。最大似然法就是使样本值X1，X2，出现的可能性为最大的参数值。来作为未知参数的估计值。因此求估计值的问题。就是求似然函数的最大值问题。它可以通过解下述方程组求得 （9）由于L最大时，也最大，故可将上述方程组换成如下比较容易解的方程组来求解 （i=1，2，K）（10）由上式求出的即为1，2,的最大似然估计值。例如，设正态母体，其未知参数为和，用最大似然法求估计量是，因其似然函数为 =则故 解上述联立方程组，得所以大似然估计。乙区间估计点估计总不免有偏差，在许多实际问题中常常采用一个区间而不用一个定值来估计母体的参数。并

20、指出母体参数落在此区间的概率大小。这种估计方法叫区间估计，这种区间叫置信区间。设总体未知数为，通过子样找出二个量1（X19, Xn）和包含的概率为给定值1。即 （11）区间即为置信区间，（1）叫区间的置信概率，叫信度（或显着性水平）。（1）当正态总体的2已知时，的区间估计因为服N（，2/n）分布。故标准化变量服从N（0，1）分布，则从标准正态分布表可得即 （12）即 即 若求具有置信概率为1-=095的置信区间。可取 则 这就是所要求的置信区间。必须指出。若母体不服从正态分布，但当子样容量很大时，即n30（称为大样本）。则子样均值就近似服从N（,2/n）分布。故仍可用上述方法进行区间估计。（2

21、）当正态母体的2来知时。的区间估计这时可用统计量 因为t服从t（n-1）分布。则从t分布表可查得 即 P = =1 （13）令 则 即得的置信区间。（3）正态总体2的氏间估计这时利用统计量，因它服从分布，故从分布表中可以找出可这样选取1和2的值。使由上式可知 （14）令 即得2的区间估计。（4）总体均值差的区间估计若有两个总体，分别服从N（1，2）和N（2，2）分布，从中分别抽取子样X1，X2，和Y1，Y2，Y。求12的置信区间（直置信概率为1）。因为这时统计量故由t分布表可查出即 u1-u2 =1- （15）22假设检验地质工作中常会遇到各种需要进行统计推断的问题。例如两相邻地段岩体中某些主

22、要元素的平均含量有无显着区别？是否从正态分布（或对数正态分布）？等等。这些问题都要用到统计假设检验。1基本原理概要地说，统计假设检验就是先将需要推断的问题（总体），作出一种假设，然后利用一个实测子样数据算出某个已知分布的统计量，根据统主量出现的概率来检验假设是否合理。检验的依据是“小概率实际不可能性”原理。如果在一次实际取样中就竟然出现小概率事件。则认为假设不合理，从而否定假设。若发生的是大概率事件。则认为是合理的。人而肯定假设。所以推断时的步骤为（a）先作出假设H，即写明所要检验的假设的具体内容；（b）在H条件下，选择一个合适的已知分布的统计量；（c）根据子样算出统计量的值；（d）确定显着性

23、水平。即确定作为小概率事件的临界概率（概率上限）值a，通常根据问题的要求可取a=010，005，001等；（e）接受或拒绝假设。根据给定的a值确定否定哉A（P（A）=a），如果统计量值落在否定域中，则否定假设。通常可以根据a值选确定统计量的临界值（相应于临界概率）。并把统计量的绝对值大于临界的区域称为否定域。小于临界值的区域称为肯定域。当统计量的值落在否定域中时，则否定（拒绝）假设。必须指出，统计假设检验是一种统计推断，是在一定概率基础上作出的判断，不可能总是正确的，它可能发生的错误有两类。第一类错误是，原假设本来为真（是肯定的），但取样检验后却否定了这个假设。当然这一错误判断的概率等于a。一

24、般统计假设检验都希望能否完原假设，因为这样犯错误的概率可以预先控制。第二类错误就是原先假设不真。而取样检验的结果却肯定了原假设，从而作出了错误的判断。在子样容量n一定时，第一类错误减小，第二类错误码就会增加。所以选择a时要考虑两类错误的危害性大小。如第一类错误危害性大则a可选择小些。如果要同时减小这两类错误。则只有增加子样的容量（大小）。统计检验内容较多，现将一些常用方法介绍如下。2u检验法若总体xx服从N（u,02）分布，其中总体标准差0为已知，今欲检验假设H：u=u。设从总体中抽取子样x1， x2,xn。若H为真，即u=u。，则子样均值服从N（u0，oO2/n）分布，将变量标准化得统计量。

25、 （16）由于统计量u服从N （0，1）分布，在给定显着性水平a上，查正态分布表可得 ，使 P u ua =a，如图21所示.则uua为否定域。若根据子样算出的u绝对值大于此临界值即uua，则在显着水平a下，统计量u值落在否定域中，故否定假设H反之若uua，则肯定假设 图21 N（0，1）分布的H这种根据统计量u 密度函数图（服从正态分布）来检验假设的方法叫做u检验法。显着若取a=005，则ua=196。故当根据具体子样算出u值后，若u196，则在显着性水平a下否定假设。在方差已知的条件下，u检验法也可用以检验两个正态总体的均值是否相等。设两个总体X和Y分切服从N（u1，o12）和N（u2，o

26、22）分布。若1=2=0为已知，今欲检验假设H：u1=u2。从两个总体中分别抽取子样x1，x2，xn和y1，y2，ym求得相应的平均值为。若H为真，即u1=u2=u0，则 （17）由于通常方差比较稳定。故假设则 （18）将标准化。得统计量 （19）因此若取显着性水平a=005，则可以从正态分布表查得统计量的临界值为ua=196。若uua，则否定假设H，反之若uua则肯定假设H。必须指出。当未知时，若子样容量n和m都很大，则总体方差可用子样方差的加权平均值来代替，则有故 （20）例如在某个黑云母花岗岩地段进行放射性伽玛测量，取得169个数据。算得平均放射性强度为317Y，标准差为25Y。后在相邻

27、的另一个地段又测得放射性Y强度数据99个，算得平均值为288Y，标准差为26Y。要判断这相邻两地段是否可看作同一母体（即从Y强度来看两岩体的性质相同）？因已知放射性Y强度服从正态分布，又因二个子样的标准差非常接近，故可认为这两个母体的均方差是一样的。因此只要检验两母体的均值是否相同即可。用子样算出的值 n=169，m=99代入上式。得设a=005，则否定域为uua，临界值ua=196。今uua，故可断定这两个地段不属一个母体，或者说从放射性Y强度来看，这两个地段的岩性不同。3t检验法若母体服从N（u，）分布，u和都求知，今欲检验假设H：u=u0。这时可用子样方差代替总体方差进行判断。设从总体中

28、抽取一个子样 求 得子样均值和标准差为和S，这时可利用统计量t （21）式中 当H成立时，统计量t服从t（n-1）分布。因此在选定显着性水平a后，就可以从t分布表上查出临力界值ta，否定域为tta。故当tta时，则否定假设H，反之tta则肯定假设H。这种方法（根据服从t分布的统计量来检验总体均值的方法）叫做t检验法。应当指出，当样本的容量无限增大时t分布趋于正态分布。事实上当样本容量n3 0时。T检验法可用u检验法代替（结果相差不大），所以t检验法特别适用于小样本推断。t检验法还可用于检验二个带有未知方差的正态母体的均值是否相等。设正态母体X和Y分别服从 N （ u1, ） 和N（），其中为未

29、知，要求检验假设H：u1=u2。分别从X和Y中抽取容量为m和n的子样，求得子样均值和方差为 ，当子样容量较小时（即对小子样而言）， 可以利用统计量 t 来推断。 （22）若H（）成立。则上式决定的统计量t服从 t （m+n-2）分布。因此根据选定的显着性水平a，从t分布表上可查出临界值ta，当tta时。则否定假设H。例：从某锌矿的东、西两支脉中各取1 0个样品，化验出东支脉中锌含量为z1i。西支脉中锌含量为z2i（ i=1，2， 10），数据见表21。问能否把东西两支矿脉认为是一条矿脉？表21 东西矿脉锌含量表z1i(10-4)Z2i（10-4）232730252321352817242623

30、3018242937242731136143148140136132154145123138142136148126138146157138143149由于锌矿脉含量一般服从对数正态分布。故称取对数。 令 xi =。 则 xi 和 yi 为服从正态分布的数据。又因方差一般比较稳定。设二者方差相同，所以只需检验二支脉中锌含量的总体均值（u1和u2）有无显着差异即可。由于n=m=10，为小子样（小样本），可用t检验法来推断。为此先假设H：u1=u2,则当n=m时，则 （23）根据表中数据可以算得 t=-073。 若取 a=005时，可从t分布表中查得当自由度为 m+n-2=18 时的临界值 ta=

31、2101，可见tta。则可肯定假设H。由此可以认为东西两支锌矿脉是一条矿脉。4F检验法如上所述，在用t检验法检验两个母体均值是否相同时，通常假定方差相等。若不能肯定。则须对方差进行检验。这时常用F检验法作两个母体的方差比（S1/S2）检验。设两个正态母体。分别服从N（u1,）和N分布。从中分别抽取容量为nn1和n2的两个小样本。若子样方差采用无偏估计量表示，并仍记为S，即 （24）显然，这时当假设H： 时，则“方差比”统计量服从自由度为n1-1和n2-1的F分布，即 （25）当给定显着性水平，并已知 1 和 2 时，即可以F分布中查出临界值F/2。使满足PFF/2=/2，如图22所示。由于F分

32、布左右两边并1不对称，所以否定域各取面积为积为/2的两部分（如图中阴影部分）。通常为了制表方便起见，F分布表中只给出F1的右边临界值。因 图22 F分布的密度函数图此，一般在实际计算F时，就要把数值较大的一个方差放在分子上，使F1。这时否定域为FF/2。这种根据服从F分布的统计量来进行检验的方法叫做F检验法。例：从一号和二号岩体中各取4 0个样品。化验其中的铜含量。求得一号和二号岩体铜含量的方差分别为问两母体（岩体铜含量）的方差有无显着差异。首先计算统计量值。因为S2S1，则因为假设H ： 时，F统计量服从 F （） 分布。故查 F 分布表可得当 时的临界值 FO. O5= 17。所以 FF/

33、2，落在肯定域中，则肯定假设 H： 即两母体标标准差（或方差）无显着差异。可认为相等。5皮尔逊x2检验法（K.pearson）前面叙述的几种检验方法。都是对母体分布的未知参数进行检验，那时假定母体分布是已知的。因此只要对参数进行检验即可。这些方法统称参数性检验法。但有时母体分布的类型事先并不知道，需要对母体的分布和出种种假设。然后进行检验。这样的方法称为非参数性检验。皮尔逊x2检验法是一种常用的非参数性检验法。皮尔逊x2检验法常用以检验母体是否服从某个给定分布。假设 H：母体XX的分布函数为 F（x） 。从母体中抽取一空量为n的子样计算时将x轴分成r个区间（，a1），（a1，a2），（a2，a

34、3）（a2，a3）（ar1，+），即 i=1，2，r其中aO=-，ar=。若H为真，则总体XX取Si内的值的概率为 通常Pi称为理论频率。将子样观测值x1，x2，xn分组。把在同一个Si内的xi作为一组，即把子样也分成r组，用fi表示落在Si中的子样值的个数。则有 fi称为实测频数，显然理论频数为npi。一般说来。若 H 为具，则 fi和 n Pi 之间的差异不显着。若H为假则差异显着。 K.pearson 提出用下面统计量来衡量理论与实际的差异程度。 在假设H下，只要 n 足够大（n 5 0 ），不管母体服从什么分布，上式定义的x2统计量服从自由度为 rk1 的x2分布。其中k为理论分布中用估计量代替的未知参数的个数，即 （26）所以对给定的水平 ，查 x2 分布表，求出临界 x2 。 若 x2