理解傅里叶级数.ppt

《理解傅里叶级数.ppt》由会员分享，可在线阅读，更多相关《理解傅里叶级数.ppt（27页珍藏版）》请在淘文阁 - 分享文档赚钱的网站上搜索。

1、第十章第十章 无穷级数无穷级数10.5 10.5 傅里叶级数傅里叶级数*小结小结10.5.1 10.5.1 三角三角级级数与三角函数系的正交性数与三角函数系的正交性 10.5.2 10.5.2 以以 为为周期的函数的傅里叶周期的函数的傅里叶级级数数 10.5.3 10.5.3 区区间间 上函数的傅里叶上函数的傅里叶级级数数 10.5.4 10.5.4 正弦正弦级级数和余弦数和余弦级级数数 10.5.5 10.5.5 以以 为为周期的函数的傅里叶周期的函数的傅里叶级级数数 10.5.1 10.5.1 三角三角级级数与三角函数系的正交性数与三角函数系的正交性 函数项级数 称为三角三角级级数，数，其

2、中 是常数 称函数族 为三角函数系三角函数系 三角函数系的正交性是指：三角函数系中 任何两个不同的函数的乘积在区间 上 的积分等于零 即 10.5.2 10.5.2 以以 为为周期的函数的傅里叶周期的函数的傅里叶级级数数 通常，由下述公式确定的 称为函数 的傅里叶系数傅里叶系数 将傅里叶系数值代入 展开式的右端 得到的三角级数 称为函数 的傅里叶傅里叶级级数数 定理定理1 1（收敛定理，狄利克雷充分条件）设 是周期为 的周期函数 如果它满足 在一个周期内连续或只有有限个第一类间断 点 在一个周期内至多只有有限个极值点 则 的傅里叶级数收敛 并且：(1)当 是 的连续点时 级数收敛于 (2)当

3、是 的间断点时 级数收敛于 例例1 1 设 是周期为 的周期函数 它在 上的表达式为 将 展开成傅里叶级数 解解 所给函数 满足收敛定理的条件，函数在点 处不连续 在其它点处连续，从而由收敛定理知道 的傅里叶级数收敛，并且当 时收敛于 当 时级数收敛于 傅里叶系数计算如下 于是 的傅里叶级数展开式为 10.5.3 10.5.3 区区间间 上函数的傅里叶上函数的傅里叶级级数数 例例2 2 将函数 展开成 傅里叶级数 解解 将函数 延拓成以 为周期的函数 易知，函数 满足收敛定理的条 件，傅里叶系数为 所以，函数 的傅里叶级数展开式为 10.5.4 10.5.4 正弦正弦级级数和余弦数和余弦级级数

4、数 一、正弦一、正弦级级数和余弦数和余弦级级数数 定理定理2 2 对于周期为 的奇函数 其傅里叶 级数为正弦级数，即傅里叶系数为 周期为 的偶函数 其傅里叶级数为 余弦级数，即傅里叶系数为 例例3 3 将周期函数 展开成傅里叶级数，其中 为正常数 解解 不妨将 看成是 为周期的函数，满足 收敛定理，先计算傅里叶系数 从而函数 的傅里叶级数是一个余弦级数 二、区二、区间间 上的函数的傅里叶上的函数的傅里叶级级数数将一个定义在 上的函数进行拓展这样构造的函数 在 上是一个奇 函数，按这种方式拓展函数定义域的过程称为奇延拓。奇延拓。同理，构造函数 为 按这种方式拓展函数定义域的过程称为偶延拓偶延拓

5、例例4 4 将函数 分别展开成 正弦级数和余弦级数 解解 先展开成正弦级数 对函数 作奇延拓，再作周期延拓，满足收敛定理的条件 按公式计算傅里叶系数 从而可得正弦级数 其中在端点 处，级数的和为0 再把函数展开成余弦级数 对函数 作奇 延拓，再作周期延拓，满足收敛定理的条件 按公式计算傅里叶系数从而可得余弦级数 10.5.5 10.5.5 以以 为为周期的函数的傅里叶周期的函数的傅里叶级级数数 定理定理3 3 设周期为 的周期函数 满足收敛 定理条件，则它的傅里叶级数当 是 的连 续点时，有 其中 例例5 5 设 是周期为4的周期函数 它在 上的表达式为 将 展开成傅里叶级数，其中 为非零 常数 解解 这里 于是 且在点 处 的傅里叶级数 收敛于 例例6 6 将函数 展开成 （1）正弦级数；（2）余弦级数 解解 （1）将 先作奇延拓，再作周期延拓，计算傅里叶系数得 从而可得正弦级数 （2）将 先作偶延拓，再作周期延拓，计算傅里叶系数得 从而可得余弦级数 小结小结1.1.三角三角级级数与三角函数系的正交性数与三角函数系的正交性 2.2.以以 为为周期的函数的傅里叶周期的函数的傅里叶级级数数 3.3.区区间间 上函数的傅里叶上函数的傅里叶级级数数 4.4.正弦正弦级级数和余弦数和余弦级级数数 5.5.以以 为为周期的函数的傅里叶周期的函数的傅里叶级级数数