第9章非正弦周期电流电路优秀PPT.ppt

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1、第9章非正弦周期电流电路现在学习的是第1页，共64页学学习习目目标标正确理解非正弦周期电流电路的基本概正确理解非正弦周期电流电路的基本概念和谐波分析法念和谐波分析法深刻理解深刻理解将周期函数将周期函数f(t)f(t)分解为直流分量、分解为直流分量、基波分量和一系列不同频率的各次谐波分量基波分量和一系列不同频率的各次谐波分量之和。之和。深刻理解和掌握谐波分析的意义：傅里叶深刻理解和掌握谐波分析的意义：傅里叶级数是一个收敛级数，当级数是一个收敛级数，当K K取到无限多项时取到无限多项时就可以准确地表示原非正弦周期函数，但在就可以准确地表示原非正弦周期函数，但在实际工程计算时只能取有限的几项，取多少

2、实际工程计算时只能取有限的几项，取多少项依据工程所需的精度而定。项依据工程所需的精度而定。正确非正弦周期电流有效值、平均值和正确非正弦周期电流有效值、平均值和平均功率，并会进行计算平均功率，并会进行计算。现在学习的是第2页，共64页 9.1非正弦周期电流电路的基本概念非正弦周期电流电路的基本概念 9.1.1非正弦周期电流、电压的概念非正弦周期电流、电压的概念 前面几章研究了正弦电流电路的分析计算方法，但在工程实际中大量存在的还有非正弦周期电压和电流，如图9.1所示的周期性变化的方波、三角波等。非正弦周期电压和电流都是随时间作周非正弦周期电压和电流都是随时间作周期性变化的非正弦函数，和正弦函数相

3、比，都有变化期性变化的非正弦函数，和正弦函数相比，都有变化的周期的周期T和频率和频率f，不同的仅是波形而已。，不同的仅是波形而已。现在学习的是第3页，共64页 图9.1几种常见的非正弦波 （a）尖脉冲电流；（b）矩形波电压;（c）锯齿波电压 现在学习的是第4页，共64页周期函数的一般定义是：设有一时间函数f(t)，若满足则称为则称为周期函数。其中周期函数。其中T为常数，称为为常数，称为的重复周期，的重复周期，简称周期。简称周期。称为周期函数的频率。称为周期函数的频率。现在学习的是第5页，共64页9.1.2产生非正弦周期电压、电流的原因产生非正弦周期电压、电流的原因 在什么情况下，电路中会出现非

4、正弦周期电压和电流呢？在线线性电路中有一个正弦电源作用或多个同频电源共同作用时，电路各部份的性电路中有一个正弦电源作用或多个同频电源共同作用时，电路各部份的稳态电压、电流都是同频的正弦量。稳态电压、电流都是同频的正弦量。在线性电路中，有几个不同频率的正弦激励时，稳态响应一般是在线性电路中，有几个不同频率的正弦激励时，稳态响应一般是非正弦的。非正弦的。更普遍的情形，也是本章重点研究的情形则是线性电路中，当激励是非正弦周期函数时，各部分的稳态响应也将是非正弦周期电激励是非正弦周期函数时，各部分的稳态响应也将是非正弦周期电压和电流压和电流。例如在电力工程中，发电机产生的电压尽管力求按正弦规律变化，但

5、由于制造方面的原因，其电压波形是周期的，但与正弦波形或多或少会有差别。在自动控制、电子计算机等技术领域中大量应用的脉冲信号也都是非正弦周期信号，如图9.1（a）周期脉冲电流、9.1（b）的方波电压，图9.1（c）实验室常用的电子示波器扫描电压的锯齿波。在通信工程方面传输的信号，如收音机、电视机收到的信号电压和电流，它们的波形也都是非正弦的周期信号。现在学习的是第6页，共64页9.1.3谐波分析法谐波分析法 怎样分析在非正弦周期电压和电流的激励下，线性电路的稳态响应呢？首先应用数学中的傅里叶级数展开方法，将非正弦周期电压和电首先应用数学中的傅里叶级数展开方法，将非正弦周期电压和电流激励分解为一系

6、列不同频率的正弦量之和。其次，再根据线性电路流激励分解为一系列不同频率的正弦量之和。其次，再根据线性电路的叠加定理，分别计算在各个正弦量单独作用下在线性电路中产生的的叠加定理，分别计算在各个正弦量单独作用下在线性电路中产生的同频正弦电流分量和电压分量。最后，把所得的分量按瞬时值叠加，同频正弦电流分量和电压分量。最后，把所得的分量按瞬时值叠加，就可以得到电路中实际的稳定电流和电压。就可以得到电路中实际的稳定电流和电压。上述方法就称为非正弦周期电流的谐波分析法，它的本质就是非正弦周期电流的谐波分析法，它的本质就是把非正弦周期电流电路的计算转化为一系列正弦电流电路的计把非正弦周期电流电路的计算转化为

7、一系列正弦电流电路的计算算，这样就能充分利用正弦电流电路的相量法这个有效的工具。现在学习的是第7页，共64页9.2非正弦周期信号的谐波分析非正弦周期信号的谐波分析 9.2.1非正弦周期信号的谐波分析方法非正弦周期信号的谐波分析方法 在介绍非正弦周期信号的谐波分析谐波分析分解之前,我们先讨论几个不同频率的正弦波的合成。设有一个正弦电压u1=U1msint,其波形如图 9.2（a）所示。显然这一波形与同频率矩形波相差甚远。如果在这个波形上面加上第二个正弦电压波形,其频率是u1的3倍,而振幅为u1的1/3,则表示式为 现在学习的是第8页，共64页 其波形如图9.2（b）所示。如果再加上第三个正弦电压

8、波形,其频率为u1的5倍,振幅为u1的1/5,其表示式为 其波形如图9.2（c）所示。照这样继续下去,如果叠加的正弦项是无穷多个,那么它们的合成波形就会与图9.2（d）的矩形波一样。现在学习的是第9页，共64页 图9.2 矩形波的合成 现在学习的是第10页，共64页 由此可以看出,几个不同频率的正弦波可以合成一个非正弦的周期波。反之,一个非正弦的周期波可以分解成许多不同频率的正弦波之和。由数学知识可知,如果一个函数是周期性的,且满足狄里赫利 条件,那么它可以展开成一个收敛级数,即付里叶级数。电工技术中所遇到的周期函数一般都能满足这个条件。设给定的周期函数 f（t）的周期为T,角频率2/T,则

9、f（t）的付里叶级数展开式为现在学习的是第11页，共64页（9 1）利用三角函数公式,还可以把式（9 1）写成另一种形式:（9 2）现在学习的是第12页，共64页 式中,a0,ak,bk称为付里叶系数,可由下列积分求得:(9 3)尽管上式的推导在数学中已作介绍，这里不再赘述；但是推导过程中应用的三角函数的正交性，即三角函数积分的如下性质，对理解上述系数公式，以及理解下节有效值和平均功率的概念都很有帮助，所以仍将三角函数正交性公式分列如下：正弦、余弦函数在一个周期上的定积分为0，即现在学习的是第13页，共64页 正弦、余弦函数的乘积，不同频的正弦与正弦、余弦与余弦函数的乘积在一个周期上的定积分为

10、0，即(mn)(mn)现在学习的是第14页，共64页 式（9 1）和式（9 2）各系数之间存在如下关系:(9 4)同频的正弦与正弦、余弦与余弦函数的乘积在一个周期上的积分等于，即现在学习的是第15页，共64页例例9.1 已知矩形周期电压的波形如图9.3所示。求u（t）的付里叶级数。解解 图示矩形周期电压 在一个周期内的表示式为(9 5)图 9.3 例 9.1 图 由式（93）可知:现在学习的是第16页，共64页现在学习的是第17页，共64页 当k为奇数时,当k为偶数时,由此可得现在学习的是第18页，共64页 例例9.2 求图9.4所示周期信号的付里叶级数展开式。解解 i(t)在一个周期内的表示

11、式为 图 9.4 例 9.2 图 现在学习的是第19页，共64页利用分步积分法及 ,得 现在学习的是第20页，共64页 式(9-1)中Ao项为常数项，它为非正弦周期函数一周期内的平均值，与时间无关，称为直流分量。K=1项表达式为A1in(t+1)，此项的频率与原非正弦周期函数f(t)的频率相同，称为原非正称为原非正弦周期函数弦周期函数f(t)的基波分量，的基波分量，A1为基波分量的振幅，为基波分量的振幅，1为基为基波分量的初相位。波分量的初相位。K2的各项统称为谐波分量，并根据谐波的各项统称为谐波分量，并根据谐波分量的频率是基波分量频率的分量的频率是基波分量频率的K倍，称为倍，称为K次谐波。如

12、次谐波。如2次谐次谐波、波、3次谐波次谐波。Ak及及k为为K次谐波分量的振幅及初相位。次谐波分量的振幅及初相位。将周期函数f(t)分解为直流分量、基波分量和一系列不同频率的各次谐波分量之和，称为谐波分析。它即是谐波分析法的第一步。现在学习的是第21页，共64页 画出一个直角坐标,以谐波角频率k为横坐标,在各谐波角频率所对应的点上,作出一条条垂直的线叫叫做做谱谱线线。如果每条谱线的高度代表该频率谐波的振幅,这样画出的图形称为振振幅幅频频谱谱图图。将各谱线的顶点连接起来的曲线（一般用虚线表示）称为振幅包络线。谐波分析的意义在于：傅里叶级数是一个收敛级数，当谐波分析的意义在于：傅里叶级数是一个收敛级

13、数，当K取到取到无限多项时就可以准确地表示原非正弦周期函数，但在实际工程计无限多项时就可以准确地表示原非正弦周期函数，但在实际工程计算时只能取有限的几项，取多少项依据工程所需的精度而定。算时只能取有限的几项，取多少项依据工程所需的精度而定。现在学习的是第22页，共64页9.2.2对称波形的傅里叶级数对称波形的傅里叶级数在电工技术中遇到的非正弦周期函数，许多具有某种对称性。在对称波形的傅里叶级数中，有些谐波分量不存在。因此利用波形对称性与谐波分量的关系，可以简化傅里叶系数的计算。1、周期函数的波形在横轴上、下部分包围的面积相等，此时函数、周期函数的波形在横轴上、下部分包围的面积相等，此时函数的平

14、均值等于零，傅里叶级数展开式中的平均值等于零，傅里叶级数展开式中ao=0，即无直流分量。，即无直流分量。现在学习的是第23页，共64页2周期函数为奇函数周期函数为奇函数满足f(t)=-f(-t)的周期函数称为奇函数，波形对称于原点。现在学习的是第24页，共64页3周期函数为偶函数周期函数为偶函数 满足f(t)=f(-t)的周期函数称为偶函数，波形对称于纵轴。如全波整流波形、矩形波都是偶函数。它们的傅里叶级数展开式中bk=0，即无正弦谐波分量，只含余弦谐波分量，因为余弦函数本身就是偶函数。周期函数表示为 偶函数的傅里叶级数中bk=0,所以偶函数的傅里叶级数中不含正弦项。现在学习的是第25页，共6

15、4页3奇谐波函数奇谐波函数图 9.5 奇谐波函数 满足f(t)=-f(t+)的周期函数称为奇谐波函数。如图9.5所示的波形就是奇谐波函数。将它的波形移动半个周期后（图中虚线所示），与原函数波形对称于横轴，即镜象对称。它们的傅里叶级数展开式表示为：现在学习的是第26页，共64页(k为奇数)综上所述，根据周期函数的对称性可以预先判断它所包综上所述，根据周期函数的对称性可以预先判断它所包含的谐波分量的类型，定性地判定哪些谐波分量不存在（这含的谐波分量的类型，定性地判定哪些谐波分量不存在（这在工程上常常是有用的），从而使傅里叶系数的计算得到简在工程上常常是有用的），从而使傅里叶系数的计算得到简化。如果

16、周期函数同时具有两种对称性，则在它的傅里叶级化。如果周期函数同时具有两种对称性，则在它的傅里叶级数展开式中也应兼有两种对称的特点。傅里叶级数展开式中数展开式中也应兼有两种对称的特点。傅里叶级数展开式中存在的谐波分量的系数仍需用式存在的谐波分量的系数仍需用式(9-3)计算确定。计算确定。现在学习的是第27页，共64页 例例9.3 试把振幅为50V、周期为0.02s的三角波电压分解为傅里叶级数（取至五次谐波）。解解 电压基波的角频率为现在学习的是第28页，共64页9.2.3查表求周期函数查表求周期函数f(t)的傅里叶级数展开式的傅里叶级数展开式 在实际工程中，也往往不用系数公式计算系数，确定傅里叶

17、级数展开式，而是用查表的方法来获得展开式。本章最后的附表9.1就是几个典型的周期函数的傅里叶级数展开式。不过实际工程中的周期函数与表中列出的典型函数可能不尽相同，需作一些相应的处理即可获得对应的展开式。现在学习的是第29页，共64页表表9.1几种周期函数几种周期函数名称波形傅里叶级数有效值平均值正弦波梯形波(k为奇数)现在学习的是第30页，共64页名称波形傅里叶级数有效值平均值三角波矩形波(k为奇数)(k为奇数)现在学习的是第31页，共64页名称波形傅里叶级数有效值平均值半波整流波全波整流波现在学习的是第32页，共64页名称波形傅里叶级数有效值平均值锯齿波现在学习的是第33页，共64页 例例9

18、.4 图9.6（a）为电视机和示波器扫描电路中常用的锯齿波,试画出其振幅频 谱图。解解 查表9.1,可得锯齿波电压的付里叶级数展开式为 图9.6 例9.4 图 现在学习的是第34页，共64页 根据上式可以画出其频谱图如图9.6（b）所示。例例9.5 图9.7给出了矩形脉冲电压的波形,它是无线电技术中一种很重要的信号。其中脉冲幅度为 Um,脉冲的持续时间为,脉冲的周期为,试画出其频谱图。图 9.7 例 9.5 图 现在学习的是第35页，共64页解解 该信号在一个周期的数学表达式为 由于此信号对称于纵轴,因此,bk,付里叶级数不含正弦分量,只含直流分量和余弦 分量。现在学习的是第36页，共64页

19、若令T3,则其频谱图如图9.7(b)所示。2.周期信号的频谱特性。周期信号的频谱特性。(1)频谱是由一系列不连续的谱线组成。频谱是由一系列不连续的谱线组成。(2)相相临临两两条条谱谱线线之之间间的的间间隔隔是是基基波波频频率率,谱谱线线的的这这种种矩形脉冲的付里叶级数展开式为 现在学习的是第37页，共64页 性质称为谱波性。性质称为谱波性。(3)各谱线的高度各谱线的高度，总的趋势是逐渐减小的。，总的趋势是逐渐减小的。(4)如如果果脉脉冲冲的的周周期期T不不变变,脉脉冲冲的的持持续续时时间间减减小小,也也就就是是脉脉冲冲变变窄窄。此此时时,振振幅幅频频谱谱的的收收敛敛速速度度将将变变慢慢。如如图

20、图9.7（b）所所示示,此此图图的的=/2,T=6。与与图图9.7(a)比比较较（T=3）,收收敛速度明显变慢了。敛速度明显变慢了。(5)如如果果脉脉冲冲的的持持续续时时间间不不变变,周周期期T增增大大时时,谱谱线线将变密。将变密。如图如图9.7（c）所示）所示,此图的此图的T=6。现在学习的是第38页，共64页 9.3.1有效值有效值(9 6)下面我们讨论非正弦周期信号的有效值与各次谐波有效值的关系。若将电流 i 分解成付里叶级数,9.3有效值、平均值和平均功率有效值、平均值和平均功率现在学习的是第39页，共64页 将上式积分号内直流分量与各次谐波之和的平方展开将上式积分号内直流分量与各次谐

21、波之和的平方展开,结果有以下四种类型结果有以下四种类型:将该表达式代入式（96）得 现在学习的是第40页，共64页 因此,电流 i 的有效值可按下式计算:同理,非正弦周期电压的有效值为(9 7)(9 8)所所以以,非非正正弦弦周周期期电电流流和和电电压压的的有有效效值值等等于于各各次次谐谐波波有有效效值值平方和的平方根。平方和的平方根。各次谐波有效值与最大值之间的关系为各次谐波有效值与最大值之间的关系为现在学习的是第41页，共64页 例例9.6 已知周期电流的付里叶级数展开式为 i=10063.7 sin t31.8 sin 2t21.2 sin 3t A 求其有效值。解解 所以电流i的有效值

22、为112.9 A。现在学习的是第42页，共64页 9.3.2平均值平均值 实践中还会用到平均值的概念。以电流为例,其定义为(9 9)即即非非正正弦弦周周期期电电流流的的平平均均值值等等于于此此电电流流绝绝对对值值的的平平均均值值。式式（99）也也称称为为整整流流平平均均值值,它它相相当当于于正正弦弦电电流流经经全全波波整整流流后后的平均值。的平均值。例如,当 i=I m sin t 时,其平均值为现在学习的是第43页，共64页 比较式（9 3）,（9 6）,（99）可以看出,非非正正弦弦交交流流电电路路中中的的直直流流分分量量,有有效效值值和和平平均均值值是是三三个个不不同同的的概念概念,应加

23、以区分。应加以区分。9.3.3平均功率平均功率 设有一个二端网络,在非正弦周期电压u的作用下产生非正弦周期电流 i,若选择电压和电流的方向一致,此二端网络吸收的瞬时功率和平均功率为 同理,电压平均值的表示式为(9 10)现在学习的是第44页，共64页 将电压和电流展开成付里叶级数,有 二端网络吸收的平均功率为二端网络吸收的平均功率为 将上式积分号内两个积数的乘积展开,分别计算各乘积项在一个周期内的平均值,有以下五种类型项:现在学习的是第45页，共64页因此因此,二端网络吸收的平均功率可按下式计算：二端网络吸收的平均功率可按下式计算：(9 11)其其中中,是是k次次谐谐波波的的平平均功率。均功率

24、。现在学习的是第46页，共64页必必须须注注意意,只只有有同同频频率率的的谐谐波波电电压压和和电电流流才才能能构构成成平平均均功功率率,不不同同频频率率的的谐谐波波电电压压和和电电流流不不能能构构成成平平均均功功率率,也也不不等于端口电压的有效值与端口电流有效值的乘积。等于端口电压的有效值与端口电流有效值的乘积。例例9.7 流过10 电阻的电流为i=10+28.28 cos t+14.14 cos 2t A 求其平均功率。解解 例例9.8 某二端网络的电压和电流分别为 u=100 sin(t+30)+50 sin(3t+60)+25 sin 5t V i=10 sin(t30)+5 sin(3

25、t+30)+2 sin(5t30)A 求二端网络吸收的功率。现在学习的是第47页，共64页解解 基波功率 三次谐波功率 五次谐波功率作业：作业：P287页页9.19.29.3 因此,总的平均功率为 现在学习的是第48页，共64页9.4非正弦周期电路的计算非正弦周期电路的计算 在9.1节中，已介绍到谐波分析法的概念，它是非正弦周期电流电路计算的基本方法，在这里把付里叶级数,直流电路,交流电路的分析和计算方法以及叠加原理应用于非正弦的周期电路中,就可以对其电路进行分析和计算。其具体步骤如下:(1)把把给给定定的的非非正正弦弦输输入入信信号号分分解解成成直直流流分分量量和和各各次次谐波分量谐波分量,

26、并根据精度的具体要求取前几项。并根据精度的具体要求取前几项。(2)分分别别计计算算各各谐谐波波分分量量单单独独作作用用于于电电路路时时的的电电压压和和电电流流。但但要要注注意意电电容容和和电电感感对对各各次次谐谐波波表表现现出出来来的的感感抗抗和和容容抗抗的的不不同同,对于对于k次谐波有次谐波有 现在学习的是第49页，共64页 (3)应应用用线线性性电电路路的的叠叠加加原原理理,将将各各次次谐谐波波作作用用下下的的电电压压或或电电流流的的瞬瞬时时值值进进行行叠叠加加。应应注注意意的的是是,由由于于各各次次谐谐波波的的频频率不同率不同,不能用相量形式进行叠加。不能用相量形式进行叠加。现在学习的是

27、第50页，共64页 例例9.9 如图9.8（a）所示的矩形脉冲作用于图9.8（b）所示的RLC串联电路,其中矩形脉冲的幅度为100 V,周期为 1ms,电阻 R10 ,电感 L10 mH,电容C5 F,求电路中的电流 i及平均功率。解解 查表9.1可得矩形脉冲电压的付里叶级数表达式为其中基波频率 ,若取前三项就有图9.9（c）所求的等效电路。图 9.8 例9.9 图 现在学习的是第51页，共64页 (1)求直流分量。当U050V 的直流电压作用于电路时,电感相当于短路,电容相当于开路,故I 00。(2)求基波分量。现在学习的是第52页，共64页 (3)求三次谐波分量现在学习的是第53页，共64

28、页 (4)将各次谐波分量的瞬时值叠加得 电路中的平均功率为现在学习的是第54页，共64页 例例9.10 为了减小整流器输出电压的纹波,使其更接近直流。常在整流的输出端与负载电阻R间接有LC滤波器,其电路如图9.9(a)所示。若已知 R=1 k,L=5 H,C=30 F,输入电压u的波形如图9.9(b)所示,其中振幅Um=157 V,基波角频率=314 rad/s,求输出电压u R。图 9.9 例9.10 图 现在学习的是第55页，共64页解解 查表9.1,可得电压u 的付里叶级数为 取到四次谐波,并代入U m=157 V 得 (1)求直流分量。对于直流分量,电感相当于短路,电容相当 于开路,故

29、U0R=100 V。(2)求二次谐波分量:现在学习的是第56页，共64页现在学习的是第57页，共64页(3)求四次谐波分量:(4)输出电压为 现在学习的是第58页，共64页 比较本例题的输入电压和输出电压,可看到，二次谐波分量由原本占直流分量的 66.7%减小到1.15%,四次谐波分量由原本占直流分量的13.3%减小到0.056%。因此,输入电压u经过LC滤波后,高次谐波分量受到抑制,负载两端得到较平稳的输出电压。作业：作业：P287页页9.49.59.6现在学习的是第59页，共64页小小结结 (1)非非正正弦弦的的周周期期信信号号,在在满满足足狄狄里里赫赫利利条条件件的的情情况况下下可可以以

30、分分解解成成付付里里叶叶级级数数。付付里里叶叶级级数数一一般般包包含含有有直直流流分量、分量、基波分量和高次谐波分量。基波分量和高次谐波分量。它有两种表示式它有两种表示式:两种形式的系数之间的对应关系为两种形式的系数之间的对应关系为一般都是先求一般都是先求ak、bk后后,再利用上式求出再利用上式求出Akk。现在学习的是第60页，共64页 (2)非非正正弦弦周周期期信信号号还还可可以以用用频频谱谱图图来来表表示示。所所谓谓频频谱谱图图,就就是是用用谱谱线线表表示示各各次次谐谐波波的的振振幅幅和和相相位位,然然后后把把这这些些线线段段由由高高到到低低依次排列起来。依次排列起来。非正弦周期信号的频谱

31、有以下特点非正弦周期信号的频谱有以下特点:频谱的离散性频谱的离散性;频谱的谱波性频谱的谱波性;频谱的收敛性频谱的收敛性;脉宽与频宽成反比。脉宽与频宽成反比。(3)非非正正弦弦周周期期信信号号有有效效值值的的定定义义与与正正弦弦信信号号有有效效值值的的定定义义相相同。同。即即现在学习的是第61页，共64页与各次谐波分量有效值的关系为与各次谐波分量有效值的关系为 非非正正弦弦交交流流电电路路的的平平均均值值指指一一个个周周期期内内函函数数绝绝对对值值的的平平均均值值。其定义为其定义为非非正正弦弦交交流流电电路路的的平平均均功功率率的的定定义义也也与与正正弦弦交交流流电电路路平平均均功功率率的的定定

32、义义相相同同,都都表表示示瞬瞬时时功功率率在在一一个个周周期期内内的的平平均均值值。其其定定义义为为现在学习的是第62页，共64页 (4)非非正正弦弦交交流流电电路路的的计计算算,实实际际上上是是应应用用了了线线性性电电路路的的叠叠加加原原理理,并并借借助助于于直直流流及及交交流流电电路路的的计计算算方方法法,其其步步骤骤如下如下:将非正弦信号分解成付里叶级数将非正弦信号分解成付里叶级数;计计算算直直流流分分量量和和各各次次谐谐波波分分量量分分别别作作用用于于电电路路时时的的电电压压和和电电流流响响应应。但但要要注注意意感感抗抗和和容容抗抗在在不不同同谐谐波波所所表表现现的不同。的不同。即即 与各次谐波功率之间的关系为与各次谐波功率之间的关系为现在学习的是第63页，共64页 将各次谐波的电压和电流响应用瞬时值表示后再叠将各次谐波的电压和电流响应用瞬时值表示后再叠加。加。现在学习的是第64页，共64页