第七节 偏导数的几何应用优秀PPT.ppt

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1、第七节 偏导数的几何应用现在学习的是第1页，共31页1.设空间曲线的方程设空间曲线的方程(1)式中的三个函数均可导式中的三个函数均可导.一、空间曲线的切线与法平面现在学习的是第2页，共31页考察割线趋近于极限位置考察割线趋近于极限位置切线的过程切线的过程上式分母同除以上式分母同除以现在学习的是第3页，共31页曲线在曲线在M处的切线方程处的切线方程切向量：切线的方向向量称为曲线的切向量切向量：切线的方向向量称为曲线的切向量.现在学习的是第4页，共31页法平面：过法平面：过M点且与切线垂直的平面点且与切线垂直的平面.现在学习的是第5页，共31页解解切线方程切线方程法平面方程法平面方程现在学习的是第

2、6页，共31页2.空间曲线方程为空间曲线方程为法平面方程为法平面方程为例例2现在学习的是第7页，共31页3.空间曲线方程为空间曲线方程为现在学习的是第8页，共31页也可直接用求导公式：也可直接用求导公式：现在学习的是第9页，共31页切线方程为切线方程为法平面方程为法平面方程为现在学习的是第10页，共31页方法方法2现在学习的是第11页，共31页现在学习的是第12页，共31页所求切线方程为所求切线方程为法平面方程为法平面方程为现在学习的是第13页，共31页现在学习的是第14页，共31页所求切线方程为所求切线方程为法平面方程为法平面方程为现在学习的是第15页，共31页1.设曲面方程为设曲面方程为二

3、、曲面的切平面与法线引理引理现在学习的是第16页，共31页曲线在曲线在M0处的切向量处的切向量证证 设设M0(x0,y0,z0)为为曲面上一定点，在曲曲面上一定点，在曲面上任取一条通过点面上任取一条通过点M0的曲线的曲线现在学习的是第17页，共31页现在学习的是第18页，共31页可见可见现在学习的是第19页，共31页现在学习的是第20页，共31页法线方程为法线方程为由前面的讨论可知曲面在由前面的讨论可知曲面在M处的法向量即处的法向量即所以切平面方程为所以切平面方程为现在学习的是第21页，共31页解解令令切平面方程切平面方程法线方程法线方程现在学习的是第22页，共31页2.空间曲面方程为空间曲面

4、方程为曲面在曲面在M处的切平面方程为处的切平面方程为曲面在曲面在M处的法线方程为处的法线方程为令令现在学习的是第23页，共31页其中其中现在学习的是第24页，共31页解解切平面方程为切平面方程为法线方程为法线方程为现在学习的是第25页，共31页解解设设 为曲面上的切点为曲面上的切点,切平面方程为切平面方程为依题意，切平面方程平行于已知平面，得依题意，切平面方程平行于已知平面，得现在学习的是第26页，共31页因为因为 是曲面上的切点，是曲面上的切点，所求切点为所求切点为满足方程满足方程切平面方程切平面方程(1)切平面方程切平面方程(2)现在学习的是第27页，共31页曲面的夹角曲面的夹角两个曲面在

5、交线上某点处的两个法线的夹角称为这两个曲两个曲面在交线上某点处的两个法线的夹角称为这两个曲面在该点的夹角。面在该点的夹角。如果两个曲面在该点的夹角等于如果两个曲面在该点的夹角等于 90 度，则称这两个曲面在度，则称这两个曲面在该点正交。若两曲面在交线的每一点都正交，则称这两曲该点正交。若两曲面在交线的每一点都正交，则称这两曲面为正交曲面。面为正交曲面。例例 7 证明对任意常数证明对任意常数 ，球面，球面 与锥与锥面面 是正交的。是正交的。现在学习的是第28页，共31页即即证明证明球面球面 的法线方向数为的法线方向数为锥面锥面 的法线方向数为的法线方向数为在两曲面交线上的任一点在两曲面交线上的任一点 处，两法向量的内积处，两法向量的内积因因 在曲面上，上式右端等于在曲面上，上式右端等于 0，所以曲面与锥，所以曲面与锥面正交。面正交。现在学习的是第29页，共31页解解设切点设切点依题意知法向量为依题意知法向量为切点满足曲面和平面方程切点满足曲面和平面方程现在学习的是第30页，共31页空间曲线的切线与法平面空间曲线的切线与法平面曲面的切平面与法线曲面的切平面与法线三、小结现在学习的是第31页，共31页