实对称矩阵的相似对角化精.ppt

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1、实对称矩阵的相似对角化第1页，本讲稿共40页一、对称矩阵的特征值和特征向量一、对称矩阵的特征值和特征向量 希望找希望找使使激光美容网http:/第2页，本讲稿共40页关键：关键：求求 A的的 n个标准正交的特征向量。个标准正交的特征向量。定理定理 实对称矩阵的特征值都是实数。实对称矩阵的特征值都是实数。定理定理 实对称矩阵的属于不同特征值的特征向量实对称矩阵的属于不同特征值的特征向量是正交的。是正交的。证明证明 A，实对阵矩阵；，实对阵矩阵；、，A的两个不同的的两个不同的特征值；特征值；X、Y，A的分别对应于的分别对应于、的特征向量。则的特征向量。则 激光美容网http:/第3页，本讲稿共40

2、页于是于是又又 -0，所以，所以 ，即，即 由此得由此得 X与与Y正交。正交。激光美容网http:/第4页，本讲稿共40页二、实对称矩阵的相似对角化二、实对称矩阵的相似对角化 定理定理 设设 是是n阶实对称矩阵阶实对称矩阵A的任一特征值，的任一特征值，p、q 分别为分别为 的代数重数和几何重数，则的代数重数和几何重数，则 p=q。推论推论 实对称矩阵可相似对角化。实对称矩阵可相似对角化。激光美容网http:/第5页，本讲稿共40页例例 已知矩阵已知矩阵 有特征值有特征值 1(二重二重)和和 3，对应的特征向量为，对应的特征向量为 容易验证，容易验证，是正交向量组。令是正交向量组。令 激光美容网

3、http:/第6页，本讲稿共40页则则 是标准正交的特征向量。是标准正交的特征向量。令令 则则 Q是正交矩阵且是正交矩阵且 激光美容网http:/第7页，本讲稿共40页例例 已知矩阵已知矩阵 有特征值有特征值 2(二重二重)和和-7，对应的特征向量为，对应的特征向量为 容易验证，容易验证，但但 与与 不不正交。正交。激光美容网http:/第8页，本讲稿共40页对对 与与 进行进行Schmidt正交化：正交化：则则 与与 也是也是A对应特征值对应特征值2的特征向量。这样，的特征向量。这样，(=)是两两正交的特征向量。是两两正交的特征向量。再令再令 激光美容网http:/第9页，本讲稿共40页则则

4、 是标准正交的特征向量。是标准正交的特征向量。令令 激光美容网http:/第10页，本讲稿共40页则则 Q是正交矩阵且是正交矩阵且 定理定理 对任一对任一n阶实对称矩阵阶实对称矩阵A，存在，存在n阶正交矩阵阶正交矩阵Q，使得，使得 其中其中 为矩阵为矩阵A的全部特征值。的全部特征值。激光美容网http:/第11页，本讲稿共40页第12页，本讲稿共40页是线性无关的特征向量是线性无关的特征向量 是是两两正交的特征向量两两正交的特征向量 是是标准正交的特征向量标准正交的特征向量 激光美容网http:/第13页，本讲稿共40页若令若令 则则Q是正交矩阵且是正交矩阵且 激光美容网http:/第14页，

5、本讲稿共40页例例 求正交矩阵求正交矩阵 Q，使，使 为对角矩阵，为对角矩阵，解解 A的特征值为的特征值为 2(三重三重)和和-2 激光美容网http:/第15页，本讲稿共40页对对 ，解，解 得基础解系得基础解系 正交化：正交化：激光美容网http:/第16页，本讲稿共40页单位化：单位化：激光美容网http:/第17页，本讲稿共40页对对 ，解，解 得基础解系得基础解系 令令 取取 激光美容网http:/第18页，本讲稿共40页则则 激光美容网http:/第19页，本讲稿共40页 例例 设设A是是3阶实对称矩阵，特征值为阶实对称矩阵，特征值为1(二重二重)和和2，且已知且已知 A属于属于2

6、的一个特征向量的一个特征向量 。求。求A。解解 设设 是是A属于属于1的特征向量，的特征向量，则则 ，即，即 解出它的一组基础解系为解出它的一组基础解系为 激光美容网http:/第20页，本讲稿共40页可证，可证，恰为恰为A属于属于1的两个线性无关的特征向的两个线性无关的特征向量。令量。令 ，则，则 线性无线性无关。取关。取 则则 激光美容网http:/第21页，本讲稿共40页由此得由此得（另法另法）把）把 正交化、单位化，得正交化、单位化，得 激光美容网http:/第22页，本讲稿共40页令令则则 Q是正交矩阵且是正交矩阵且 激光美容网http:/第23页，本讲稿共40页由此得由此得激光美容

7、网http:/第24页，本讲稿共40页小结小结：1特征值与特征向量特征值与特征向量 计算特征值与特征向量计算特征值与特征向量，特征值与特征向量的性质特征值与特征向量的性质 2矩阵的对角化矩阵的对角化 可对角化的判别可对角化的判别，对角化的进行对角化的进行 3实对称矩阵用正交矩阵对角化实对称矩阵用正交矩阵对角化 激光美容网http:/第25页，本讲稿共40页例例 设设 n阶方阵阶方阵 A有特征值有特征值 。(1)可否对角化？可否对角化？(2)求求 。解解 (1)设设 是是 A的特征值，则的特征值，则 是是 的的特征值，由此知：特征值，由此知：有特征值有特征值 。所以，所以，可对角化。可对角化。(

8、2)由由(1)得得 激光美容网http:/第26页，本讲稿共40页 例例 设设A是是n阶实对称矩阵且阶实对称矩阵且 ，证明：存，证明：存在在n阶正交矩阵阶正交矩阵Q，使，使 激光美容网http:/第27页，本讲稿共40页证明证明 设设 是是A的特征值，对应特征向量为的特征值，对应特征向量为X，则则 。由此得。由此得 因因 ，故，故 。由此得。由此得 或或激光美容网http:/第28页，本讲稿共40页 设设 是是 A对应对应 0的极大标准正交特征向量的极大标准正交特征向量组，组，是是A对应对应1的极大标准正交特征向量组。的极大标准正交特征向量组。因因 A是实对称矩阵，可对角化，所以是实对称矩阵，

9、可对角化，所以 A应有应有n个标准个标准正交的特征向量。于是，正交的特征向量。于是，。令令 ，则，则 Q是正交矩阵且是正交矩阵且 激光美容网http:/第29页，本讲稿共40页 这就要求这就要求A的特征值的特征值2的几何重数的几何重数等于其代数重数等于其代数重数2，亦即要求齐次方程组，亦即要求齐次方程组 的基础解系包含两个解向量。的基础解系包含两个解向量。例例 设矩阵设矩阵 已知已知 A有有3个线性无关的特征向量，个线性无关的特征向量，2是是A的二重特征的二重特征值。试求可逆矩阵值。试求可逆矩阵P，使，使 为对角矩阵。为对角矩阵。解解 因为因为A是是3阶方阵，有阶方阵，有3个线性无关的特征向量

10、，个线性无关的特征向量，故故A可对角化。可对角化。于是，只需使于是，只需使激光美容网http:/第30页，本讲稿共40页因为因为 故解得故解得 。因因 ，故，故 A的特征值为的特征值为2（二重）和（二重）和6。激光美容网http:/第31页，本讲稿共40页对对 ，解，解 得基础解系得基础解系 对对 ，解，解 得基础解系得基础解系 令令 激光美容网http:/第32页，本讲稿共40页则则 激光美容网http:/第33页，本讲稿共40页 例例 某试验性生产线每年一月份进行熟练工与非熟练工的某试验性生产线每年一月份进行熟练工与非熟练工的人数统计，然后将人数统计，然后将 的熟练工支援其它生产部门，产生

11、的缺的熟练工支援其它生产部门，产生的缺额由新招收的非熟练工补齐。假设新、老非熟练工经过培训额由新招收的非熟练工补齐。假设新、老非熟练工经过培训与实践，到年底考核时有与实践，到年底考核时有 的人成为熟练工。设第的人成为熟练工。设第n年一月年一月份统计的熟练工与非熟练工所占百分比分别为份统计的熟练工与非熟练工所占百分比分别为 和和 ，（1）求矩阵）求矩阵 和和 的关系；的关系；（2）当）当 时，求时，求 。激光美容网http:/第34页，本讲稿共40页解解 （1）根据已知条件，）根据已知条件，由此得由此得 激光美容网http:/第35页，本讲稿共40页（2）令）令 ，则，则 激光美容网http:/第36页，本讲稿共40页下面求下面求 ：因为因为 ，故，故 A的特征值的特征值为为1和和 。对对 ，解，解 得基础解系得基础解系 对对 ，解，解 得基础解系得基础解系 激光美容网http:/第37页，本讲稿共40页令令 则则 于是于是 激光美容网http:/第38页，本讲稿共40页激光美容网http:/第39页，本讲稿共40页由此得由此得 激光美容网http:/第40页，本讲稿共40页