定积分的计算方法精.ppt

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1、定积分的计算方法第1页，本讲稿共20页1定积分的换元积分法定积分的换元积分法;基础知识基础知识定积分的换元积分法定积分的换元积分法 设函数 在 上连 续，令 且满足：（1）（2）当 从 变化到 时，单调地从 a变化到 b;（3）在 上连续，则有定积分的换元公式定积分的换元公式经济应用数学经济应用数学第2页，本讲稿共20页证证设 是 的一个原函数，则 根据复合函数的求导法则，有因此，有所以第3页，本讲稿共20页例例1计算 解解令 则 且 当 时，当 时，于是 经济应用数学经济应用数学第4页，本讲稿共20页例例2计算 解解令 则 且当 时，时，于是 经济应用数学经济应用数学第5页，本讲稿共20页

2、湖湖 南南 对对 外外 经经 济济 贸贸 易易 职职 业业 学学 院院 Hunan Foreign Economic Relations&Trade College经济应用数学经济应用数学第6页，本讲稿共20页例例3 求定积分 解解 湖湖 南南 对对 外外 经经 济济 贸贸 易易 职职 业业 学学 院院 Hunan Foreign Economic Relations&Trade College经济应用数学经济应用数学第7页，本讲稿共20页讨论讨论：为什么后面的解法不需要换限？湖湖 南南 对对 外外 经经 济济 贸贸 易易 职职 业业 学学 院院 Hunan Foreign Economic

3、Relations&Trade College经济应用数学经济应用数学第8页，本讲稿共20页2定积分的分部积分法定积分的分部积分法定积分的分部积分法定积分的分部积分法 设函数 与 在区间 上有连续的导数，则或简写成上列公式称为定积分的分部积分公式分部积分公式.湖湖 南南 对对 外外 经经 济济 贸贸 易易 职职 业业 学学 院院 Hunan Foreign Economic Relations&Trade College经济应用数学经济应用数学第9页，本讲稿共20页证证因为两边分别求在区间a，b上的定积分，得即移项，得 湖湖 南南 对对 外外 经经 济济 贸贸 易易 职职 业业 学学 院院 H

4、unan Foreign Economic Relations&Trade College经济应用数学经济应用数学第10页，本讲稿共20页例例4 计算 解解 湖湖 南南 对对 外外 经经 济济 贸贸 易易 职职 业业 学学 院院 Hunan Foreign Economic Relations&Trade College第11页，本讲稿共20页小小结结：1换元积分法：2分部积分法：湖湖 南南 对对 外外 经经 济济 贸贸 易易 职职 业业 学学 院院 Hunan Foreign Economic Relations&Trade College经济应用数学经济应用数学第12页，本讲稿共20页应用

5、案例应用案例 湖湖 南南 对对 外外 经经 济济 贸贸 易易 职职 业业 学学 院院 Hunan Foreign Economic Relations&Trade College经济应用数学经济应用数学第13页，本讲稿共20页 案例案例1（放射物的泄漏）放射物的泄漏）环保局近日对一起放射性碘物环保局近日对一起放射性碘物质泄漏事件进行调查，检测结果显示，当事当日，大气中质泄漏事件进行调查，检测结果显示，当事当日，大气中辐射水平是可接受的最大限度的四倍，于是环保局下令当辐射水平是可接受的最大限度的四倍，于是环保局下令当地居民立即撤离这一地区地居民立即撤离这一地区.已知碘物质放射源的辐射水平是按已知

6、碘物质放射源的辐射水平是按是初始（是初始（t=0）时的辐射水平，）时的辐射水平，t是时间（单位：是时间（单位：h）.的速度衰减的，其中的速度衰减的，其中R是是t时刻的辐射水平（单位：时刻的辐射水平（单位：mR/h），），湖湖 南南 对对 外外 经经 济济 贸贸 易易 职职 业业 学学 院院 Hunan Foreign Economic Relations&Trade College经济应用数学经济应用数学第14页，本讲稿共20页（1）该地降低到可接受的辐射水平需要多长时间？）该地降低到可接受的辐射水平需要多长时间？（2）如果可接受的辐射水平的最大限度为）如果可接受的辐射水平的最大限度为0.6毫

7、伦琴毫伦琴/h，那么降，那么降低到这一水平时已经泄漏出去的放射物的总量是多少？低到这一水平时已经泄漏出去的放射物的总量是多少？湖湖 南南 对对 外外 经经 济济 贸贸 易易 职职 业业 学学 院院 Hunan Foreign Economic Relations&Trade College经济应用数学经济应用数学第15页，本讲稿共20页解解 （1）设降低到辐射水平需要）设降低到辐射水平需要 小时，此时辐小时，此时辐 射水平为射水平为 的四分之一的四分之一.于是，得于是，得 解得解得（2）因为可接受辐射水平的最大限度为）因为可接受辐射水平的最大限度为0.6毫伦琴毫伦琴/h，所以在所以在 时的辐射

8、水平为时的辐射水平为2.4毫伦琴毫伦琴/h，即，即 设泄露出去的放射物总量为设泄露出去的放射物总量为W，则有，则有 湖湖 南南 对对 外外 经经 济济 贸贸 易易 职职 业业 学学 院院 Hunan Foreign Economic Relations&Trade College经济应用数学经济应用数学第16页，本讲稿共20页答：答：已经泄漏出去的放射物的总量是已经泄漏出去的放射物的总量是450毫伦琴毫伦琴.湖湖 南南 对对 外外 经经 济济 贸贸 易易 职职 业业 学学 院院 Hunan Foreign Economic Relations&Trade College经济应用数学经济应用数学

9、第17页，本讲稿共20页案例案例2（石油总产量）（石油总产量）经济学家研究一口新井的经济学家研究一口新井的 原油生产速度时，建立了下列数学模型原油生产速度时，建立了下列数学模型求该油井开始求该油井开始3年内生产的年内生产的石油石油总量总量.解解 设开始设开始3年内生产的石油总量为年内生产的石油总量为W，则有，则有 湖湖 南南 对对 外外 经经 济济 贸贸 易易 职职 业业 学学 院院 Hunan Foreign Economic Relations&Trade College经济应用数学经济应用数学第18页，本讲稿共20页答：答：该油井开始该油井开始3年内生产的石油总量约为年内生产的石油总量约为3.0095.经济应用数学经济应用数学第19页，本讲稿共20页综合实训综合实训课课 外（外（P）第第1（3）（）（5）题；）题；第第2（1）（）（3）题；）题；第第3题。题。填空：填空：湖湖 南南 对对 外外 经经 济济 贸贸 易易 职职 业业 学学 院院 Hunan Foreign Economic Relations&Trade College经济应用数学经济应用数学第20页，本讲稿共20页