差分方程初步介绍精.ppt

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1、第1页，本讲稿共14页定义定义设函数设函数yt=f(t)的定义域为的定义域为Z+，其自变量，其自变量t(通常表示时通常表示时间间)取正整数数得到数列：取正整数数得到数列：称称yt+1-yt为函数为函数yt的的一阶差分一阶差分，记为记为2022/11/302第2页，本讲稿共14页由定义可知，由定义可知，函数函数yt=f(t)一阶差分的差分称为其一阶差分的差分称为其二阶差分二阶差分，记为，记为由此可以看出，函数的一阶差分仍为数列形式。由此可以看出，函数的一阶差分仍为数列形式。2022/11/303第3页，本讲稿共14页类似地，可以定义类似地，可以定义三阶差分三阶差分：一般地，可依次定义一般地，可依

2、次定义k阶差分阶差分：2、差分的性质、差分的性质性质性质1若若a为常数，则为常数，则a=0。性质性质2若若a、b为常数，则有为常数，则有2022/11/304第4页，本讲稿共14页性质性质3性质性质42022/11/305第5页，本讲稿共14页二、差分方程的基本概念二、差分方程的基本概念定义定义含有自变量、未知函数及其差分的方程称为含有自变量、未知函数及其差分的方程称为(常常)差分差分方程方程，出现在差分方程中的，出现在差分方程中的yi的下标的最大值与最小值之差的下标的最大值与最小值之差(或或用用表示时差分的最高阶数表示时差分的最高阶数)称为差分方程的称为差分方程的阶阶。例如例如31经济学中常

3、用到的是以下标表示的差分方程。经济学中常用到的是以下标表示的差分方程。2022/11/306第6页，本讲稿共14页定义定义若将函数若将函数yt=f(t)代入差分方程使其成为恒等式，则代入差分方程使其成为恒等式，则称函数称函数yt=f(t)为此差分方程的为此差分方程的解解。对对n阶差分方程，若它的解中含有阶差分方程，若它的解中含有n个个(独立的独立的)任意常数，任意常数，则称这样的解为则称这样的解为n阶差分方程的阶差分方程的通解通解。为确定具体的函数解，需要给出一些条件，这样的条件为确定具体的函数解，需要给出一些条件，这样的条件称为称为定解条件定解条件。若定解条件是在某些初始时刻的函数值，若定解

4、条件是在某些初始时刻的函数值，则称这样的条件为则称这样的条件为初始条件初始条件。满足定解条件的具体的解满足定解条件的具体的解(不含任意常数不含任意常数)称为差分的特称为差分的特解解。2022/11/307第7页，本讲稿共14页例如例如而满足初始条件而满足初始条件y0=1的特解为的特解为 。2022/11/308第8页，本讲稿共14页三、一阶常系数线性差分方程三、一阶常系数线性差分方程一阶常系数线性差分方程一阶常系数线性差分方程的一般形式：的一般形式：其中其中a为已知常数，为已知常数，f(t)为已知函数。为已知函数。f(t)0时称为时称为一阶非齐次常系数线性差分方程一阶非齐次常系数线性差分方程，

5、它对应它对应的的齐次常系数线性差分方程齐次常系数线性差分方程为为2022/11/309第9页，本讲稿共14页定理定理1、齐次差分方程的通解、齐次差分方程的通解其中其中C为任意常数。为任意常数。例例答案答案2022/11/3010第10页，本讲稿共14页2、非齐次差分方程的通解、非齐次差分方程的通解定理定理与微分方程的情况类似，有以下结果：与微分方程的情况类似，有以下结果：方程方程的通解为的通解为yt=C(-a)t，若，若zt为为的一个特解，的一个特解，则则的通解为的通解为2022/11/3011第11页，本讲稿共14页下面对下面对f(t)讨论，求非齐次方程的特解，从而求其通解。讨论，求非齐次方程的特解，从而求其通解。例例答案答案例例答案答案2022/11/3012第12页，本讲稿共14页例例答案答案例例答案答案2022/11/3013第13页，本讲稿共14页例例答案答案2022/11/3014第14页，本讲稿共14页