常微分方程初值问题的数值解法精.ppt

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1、常微分方程初值问题的数值解法第1页，本讲稿共14页$考虑考虑一阶一阶常微分方程的常微分方程的初值问题初值问题/*Initial-Value Problem*/:只要只要 f(x,y)在在a,b R1 上连续，且关于上连续，且关于 y 满足满足 Lipschitz 条件条件，即存在与即存在与 x,y 无关的常数无关的常数 L 使使对任意定义在对任意定义在 a,b 上的上的 y1(x)和和 y2(x)都成立，则上述都成立，则上述IVP存存在唯一解在唯一解。（1）第2页，本讲稿共14页对于问题对于问题(1),(1),要求它的要求它的数值解数值解第3页，本讲稿共14页-(1)从从(1)的表达式的表达式

2、可以看出可以看出,求它的数值解的关键在于求它的数值解的关键在于而数值微分或数值积分问题我们都已经学习过而数值微分或数值积分问题我们都已经学习过第4页，本讲稿共14页要计算出解函数要计算出解函数 y(x)在一系列节点在一系列节点 a=x0 x1 xn=b 处的近似值处的近似值节点间距节点间距 为步长，通常采用为步长，通常采用等距节点等距节点，即取，即取 hi=h(常数常数)。第5页，本讲稿共14页1 欧拉方法欧拉方法/*Eulers Method*/欧拉公式：欧拉公式：x0 x1向前差商近似导数向前差商近似导数记为记为亦称为亦称为欧拉折线法欧拉折线法/*Eulers polygonal arc

3、method*/第6页，本讲稿共14页在在假假设设 yi=y(xi)，即即第第 i 步步计计算算是是精精确确的的前前提提下下，考考虑虑的的截截断断误误差差 Ri=y(xi+1)yi+1 称称为为局局部部截截断断误差误差/*local truncation error*/。若若某某算算法法的的局局部部截截断断误误差差为为O(hp+1)，则则称称该该算法有算法有p 阶精度。阶精度。欧拉法的局部截断误差：欧拉法的局部截断误差：欧拉法具有欧拉法具有 1 1 1 1 阶精度。阶精度。Ri 的的主项主项/*leading term*/第7页，本讲稿共14页例1.解:由前进Euler公式第8页，本讲稿共14

4、页得依此类推,有 0 1.0000 0.1000 1.1000 0.2000 1.1918 0.3000 1.2774 0.4000 1.3582 0.5000 1.4351 0.6000 1.5090 0.7000 1.5803 0.8000 1.6498 0.9000 1.7178 1.0000 1.7848第9页，本讲稿共14页 欧拉公式的改进：欧拉公式的改进：隐式欧拉法隐式欧拉法/*implicit Euler method*/向后差商近似导数向后差商近似导数x0 x1)(,()(1101xyxfhyxy+)1,.,0(),(111=+=+niyxfhyyiiii第10页，本讲稿共14

5、页由于未知数由于未知数 yi+1 同时出现在等式的两边，不能直接得到，同时出现在等式的两边，不能直接得到，故称为故称为隐式隐式/*implicit*/欧拉公式，而前者称为欧拉公式，而前者称为显式显式/*explicit*/欧拉公式。欧拉公式。一般先用显式计算一个初值，再一般先用显式计算一个初值，再迭代迭代求解。求解。隐式隐式欧拉法的局部截断误差：欧拉法的局部截断误差：即隐式欧拉公式具有即隐式欧拉公式具有 1 1 1 1 阶精度。阶精度。Hey!Isnt the leading term of the local truncation error of Eulers method?Seems t

6、hat we can make a good use of it 第11页，本讲稿共14页 梯形公式梯形公式/*trapezoid formula*/显、隐式两种算法的显、隐式两种算法的平均平均注：注：的确有局部截断误差的确有局部截断误差 ，即梯形公式具有即梯形公式具有2 阶精度，比欧拉方法有了进步。阶精度，比欧拉方法有了进步。但注意到该公式是但注意到该公式是隐式隐式公式，计算时不得不用到迭公式，计算时不得不用到迭代法，其迭代收敛性与欧拉公式相似。代法，其迭代收敛性与欧拉公式相似。第12页，本讲稿共14页方方 法法 显式欧拉显式欧拉隐式欧拉隐式欧拉梯形公式梯形公式简单简单精度低精度低稳定性最好

7、稳定性最好精度低精度低,计算量大计算量大精度提高精度提高计算量大计算量大 Cant you give me a formula with all the advantages yet without any of the disadvantages?Do you think it possible?Well,call me greedy OK,lets make it possible.第13页，本讲稿共14页 改进欧拉法改进欧拉法/*modified Eulers method*/Step 1:先用先用显式显式欧拉公式作欧拉公式作预测预测，算出，算出),(1iiiiyxfhyy+=+Step 2:再将再将 代入代入隐式隐式梯形公式的右边作梯形公式的右边作校正校正，得到，得到1+iy),(),(2111+=iiiiiiyxfyxfhyy注：注：此法亦称为此法亦称为预测预测-校正法校正法/*predictor-corrector method*/。可。可以证明该算法具有以证明该算法具有 2 阶精度，同时可以看到它是个阶精度，同时可以看到它是个单步单步递递推格式，比隐式公式的迭代求解过程推格式，比隐式公式的迭代求解过程简单简单。后面将看到，。后面将看到，它的它的稳定性高稳定性高于显式欧拉法。于显式欧拉法。第14页，本讲稿共14页