弹性力学 平面问题基本理论精.ppt

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1、弹性力学 平面问题基本理论第1页，本讲稿共38页PA=dx，PB=dyxyouv讨论PA，PB的线应变和切应变第2页，本讲稿共38页应用的基本假定：连续性；小变形。第3页，本讲稿共38页x：PA的线应变y：PB的线应变第4页，本讲稿共38页xy或yx：PA与PB夹角的改变量：+第5页，本讲稿共38页平面问题中的几何方程：(5)形变与位移的关系：位移确定时，应变完全确定；应变确定时，位移却不能完全确定。适用于区域内任何点;应用小变形假定，略去了高阶小量,故为线性的几何方程；适用条件：a.连续性；b.小变形。几何方程是变形后物体连续性条件的反映和必然结果。第6页，本讲稿共38页设应变分量已知：x=

2、yxy=0 u=f1（y）v=f2（x）u=f1（y）=u0-y v=f2（x）=v0+x 变形为0时的位移刚体位移刚体位移第7页，本讲稿共38页第8页，本讲稿共38页Pxyxyr rj jo r ryx合位移的方向垂直于OP，即沿切线方向，所以表示弹性体绕z轴的刚体转动。第9页，本讲稿共38页第10页，本讲稿共38页2-5 2-5 物理方程（应力、应变之间的关系）物理方程（应力、应变之间的关系）物理方程的两种形式：物理方程的两种形式：第11页，本讲稿共38页物理方程的说明：物理方程的说明：适用条件理想弹性体；是总结实验规律得出的；是线性的代数方程；线应变只与正应力有关；切应变只与切 应力有关

3、。第12页，本讲稿共38页平面应力问题的物理方程 第13页，本讲稿共38页平面应力问题的物理方程的另一种形式：第14页，本讲稿共38页平面应变问题的物理方程 第15页，本讲稿共38页平面应力问题：平面应力问题：平面应变问题：平面应变问题：第16页，本讲稿共38页平面应变问题：平面应变问题：平面应力问题：平面应力问题：平面应力物理方程平面应变物理方程 平面应力问题与平面应变问题两者的物理方程虽平面应力问题与平面应变问题两者的物理方程虽然不同，但平衡微分方程和几何方程是相同的。然不同，但平衡微分方程和几何方程是相同的。第17页，本讲稿共38页求解平面问题的基本方程：平衡微分方程（2个）几何方程 （

4、3个）物理方程 （3个）再考虑边界条件，即可求出所有未知量。第18页，本讲稿共38页2-6 2-6 边界条件边界条件求解弹性力学问题平衡微分方程+几何协调方程+物理方程+边界条件边界条件边界条件 表示在边界上位移与约束、或应力与面力之间的关系。一、位移边界条件一、位移边界条件弹性体在边界上的位移是已知的：（在 上)位移边界条件的说明：位移边界条件的说明：它是函数方程，要求在 上每一点，位移与对应的约束位移相等。第19页，本讲稿共38页如：四边固定的板或两端简支的板ybaxabyx 它是在边界上物体保持连续性的条件，或位移保持连续性的条件。第20页，本讲稿共38页二、应力边界条件二、应力边界条件

5、ABPyyxxyxspypx第21页，本讲稿共38页应力边界条件的说明：它是边界上微分体的静力平衡条件；式（a）在弹性体中每一点均成立，而式（b）只能在边界s上成立；它是函数方程，要求在边界上每一点s上均满足，这是精确的条件；第22页，本讲稿共38页第23页，本讲稿共38页正面上，两者的正正面上，两者的正负号相同；负面上，负号相同；负面上，两者的正负号相反。两者的正负号相反。xyq第24页，本讲稿共38页应力边界条件的两种表达式：（1）在边界点取出微分体，考虑其平衡条件。（2）在同一边界上，应力分量=面力分量（数值相等、方向一致）。对特殊边界面：（1）先写面力，然后判断正负面，正面应力与面力相

6、同，负面应力与面力相反。（2）画出该面上的应力（正向），然后与荷载比较，方向相反时加负号。第25页，本讲稿共38页三、混合边界条件三、混合边界条件 1 部分边界具有已知的位移，另部分边界具有已知的面力；2 同一部分边界既有位移边界条件，又有应力边界条件。第26页，本讲稿共38页第27页，本讲稿共38页第28页，本讲稿共38页第29页，本讲稿共38页写出图示结构AB、BC、DE的应力边界条件:（水的重度为）ExyABCDn第30页，本讲稿共38页2-7 2-7 圣维南原理及应用圣维南原理及应用 弹力问题是微分方程的边值问题。应力分量、形变分量、位移分量满足基本方程及其边界条件。主要的在于难于满足

7、边界条件。另外，在工程计算中经常碰到这样的情况：在物体的部分边界上，只知道物体所受面力的合力，面力的分布方式并不明确。在上述情况下，可利用圣维南原理(Saint-Saint-Venants Principle)Venants Principle)来写出近似的边界条件：圣维南原理：圣维南原理：如果把物体一小部分边界上的面力变换成分布不同但静力等效的面力，则近处的应力分布将有显著的变化，但远处所受的影响可以忽略。第31页，本讲稿共38页圣维南原理的说明圣维南原理的说明1.圣维南原理只能应用于一小部分边界（小边界，次 要边界或局部边界）；2.静力等效 指两者主矢量相同，对同一点主矩也 相同；3.近处

8、 指面力变换范围的一、二倍的局部区域；4.远处 指“近处”之外。第32页，本讲稿共38页例：PPPP/2P/2P/2P/AP/APabcde第33页，本讲稿共38页hbb注意：（1）用圣维南原理必须满足静力等效条件，若不满足，则计算结果不能用于不同的情况。（2）在静力等效的前提下，若位移条件不满足，也可以用圣维南原理。第34页，本讲稿共38页圣维南原理的推广：圣维南原理的推广：如果物体一小部分边界上的面力是一个平衡力系（主矢量及主矩都等于零），那么，这个面力就只会使近处的产生显著的应力，而远处的应力可不计。第35页，本讲稿共38页局部边界上圣维南原理的应用：局部边界上圣维南原理的应用：P22,

9、23P22,23 （1）列出精确的应力边界条件（2）圣维南原理的应用-积分的应力边界条件第36页，本讲稿共38页P23，公式（b）中（2）应力主矢量、主矩的正方向应力主矢量、主矩的正方向的正负号的确定：应力的主矢量的正方向，即应力的正方向，应力的主矩的正方向，即（正应力）（正的矩臂）的方向。第37页，本讲稿共38页比较：比较：精确的应力边界条件精确的应力边界条件 积分的应力边界条件积分的应力边界条件方程个数方程个数 2 2 3 3 方程性质方程性质 函数方程（难满足）函数方程（难满足）代数方程（易满足）代数方程（易满足）精确性精确性 精确精确 近似近似适用边界适用边界 大、小边界大、小边界 小边界小边界思考：为什么在大边界（主要边界）上，不能应用 圣维南原理？第38页，本讲稿共38页