弹性力学应力分析精.ppt

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1、弹性力学性力学应力分析力分析2022/11/301第1页，本讲稿共68页第三章第三章 应力分析力分析第一节第一节 柯西应力张量柯西应力张量第二节第二节 斜截面上应力分量斜截面上应力分量第三节第三节 应力张量坐标变换应力张量坐标变换第四节第四节 主应力和主方向主应力和主方向第五节第五节 八面体上的应力八面体上的应力第六节第六节 平衡微分方程平衡微分方程2022/11/302第2页，本讲稿共68页第一第一节 柯西柯西应力力张量量一、柯西应力矢量一、柯西应力矢量v应力矢量定义应力矢量定义符号说明力矢量的分量 dFj,微元面积 dAdA ，外法线单位矢量的分量，外法线单位矢量的分量 ni柯西应力矢量P

2、dAdFjnior2022/11/303第3页，本讲稿共68页v正六面体上的应力矢量正六面体上的应力矢量矢量表示e e1 1、e e2 2、e3 3为沿坐标的单位矢量为沿坐标的单位矢量that is112233121321233231x1x2x3分量表示2022/11/304第4页，本讲稿共68页v任意斜截面上的应力矢量任意斜截面上的应力矢量面积 dA，外法线单位矢量n斜平面上应力矢量t(n)四面体为四面体为脱离体：脱离体：微元面积之间微元面积之间的关系：的关系：2022/11/305第5页，本讲稿共68页在在x1方向平衡：方向平衡：消去消去dA，得，得同理；在同理；在x2、x3方向平衡：方向

3、平衡：2022/11/306第6页，本讲稿共68页二、柯西应力张量二、柯西应力张量v应力张量应力张量 Since ti(n)and ni denote vectors,it follows from the quotient rule of Chapter 2 that the components ji are components of a second-order Cartesian tensor.This tensor is called Cauchy stress tensor.2022/11/307第7页，本讲稿共68页 Where 11,22,33 are normal stre

4、sses,and 12,13,21,23,31,32 are shear stresses.According to the theorem of conjugate shear stresses in Strength of Materials,we havev二阶应力张量的矩阵表示二阶应力张量的矩阵表示2022/11/308第8页，本讲稿共68页三、应力张量分解三、应力张量分解 柯西应力张量还可以表示为 The first term in the right-hand is called spherical stress tensor and the second term called

5、deviator stress tensor.设设 p 表示平均正应力表示平均正应力 mean normal stress展开展开展开展开世俗世俗世俗世俗v球形应力张量球形应力张量平均正应力p12022/11/309第9页，本讲稿共68页球形应力张量矩阵矩阵形式形式v偏斜应力张量偏斜应力张量 分量形式分量形式矩阵形式2022/11/3010第10页，本讲稿共68页第二第二节 斜截面上斜截面上应力分量力分量一、应力矢量的坐标分量一、应力矢量的坐标分量展展展展开开开开世世世世俗俗俗俗矩阵矩阵矩阵矩阵2022/11/3011第11页，本讲稿共68页v总应力总应力t（total stress）v正应力

6、（正应力（normal stress）展展展展开开开开世世世世俗俗俗俗v剪应力（剪应力（shear stress）二、应力矢量的法切分量二、应力矢量的法切分量2022/11/3012第12页，本讲稿共68页v例题例题3.1已知某点的应力张量（MPa）试求法线方向余弦为（试求法线方向余弦为（1/2、1/2、1/2）斜面）斜面上的总应力、正应力和剪应力。上的总应力、正应力和剪应力。v解解2022/11/3013第13页，本讲稿共68页总应力MPaMPaMPaMPa2022/11/3014第14页，本讲稿共68页正应力MPaMPa剪应力剪应力MPaMPa2022/11/3015第15页，本讲稿共68

7、页v例题例题3.2 物体一点承受静水压力p，形成如下球形应力张量 试求过该点的任意斜截面上的应力。试求过该点的任意斜截面上的应力。v解解2022/11/3016第16页，本讲稿共68页总应力：t=p正应力剪应力（切应力）剪应力（切应力）球形应力状态下，任意斜截面上的剪应力（切球形应力状态下，任意斜截面上的剪应力（切应力）为零、正应力等于静水压力。应力）为零、正应力等于静水压力。2022/11/3017第17页，本讲稿共68页三、球形张量的几何解释三、球形张量的几何解释v基本关系基本关系矩阵矩阵形式形式任意斜截面上的应力大小任意斜截面上的应力大小的平方的平方或或令令球面方程球面方程2022/11

8、/3018第18页，本讲稿共68页v应力球面应力球面若以斜截面上应力矢量的分量为直角坐标轴，则应力球面的球心位于坐标原点，半径为p说明过O 的每一斜 平面上的应力矢量 t(n)，矢端落在球 面上球面球面方程方程应力球张量应力球张量球形应力张量球形应力张量得名得名原因原因2022/11/3019第19页，本讲稿共68页第三第三节 应力力张量坐量坐标变换v新旧坐标系之间的关系新旧坐标系之间的关系 原点o 相同 旧坐标系xi、新坐标系xi x x1 1x x2 2x x3 3x 3x 1x 2o o由第二章的定义，张量的分量满足坐标变换关系由第二章的定义，张量的分量满足坐标变换关系应力张量是二阶张量

9、，应满足相应力张量是二阶张量，应满足相应关系应关系2022/11/3020第20页，本讲稿共68页v应力分量之间的关系应力分量之间的关系用矩阵表示直接用矩阵相乘，方便。不需要展开成具体表直接用矩阵相乘，方便。不需要展开成具体表达式，那样公式形式很复杂。达式，那样公式形式很复杂。或或2022/11/3021第21页，本讲稿共68页v例题例题3.3试求柱坐标应力分量和直角坐标应力分量之间的关系。v解：解：坐标系之间转换矩阵 以柱坐标系为新坐标 直角坐标系为旧坐标 x x1 1 x x2 2 x x3 3 x x 1 1 cos cos sin sin 0 0 x x 2 2 -sin -sin c

10、os cos 0 0 x x 3 3 0 0 0 1 0 1o o x x1 1x x2 2x x3 3x x 1 1x x 2 2x x 3 3 2022/11/3022第22页，本讲稿共68页应力分量之间的关系2022/11/3023第23页，本讲稿共68页展开正应力结果世世世世俗俗俗俗2022/11/3024第24页，本讲稿共68页展开切应力结果展开切应力结果世世世世俗俗俗俗2022/11/3025第25页，本讲稿共68页对于平面上的极坐标 剔除和z 有关的量即可或或2022/11/3026第26页，本讲稿共68页第四第四节 主主应力和主方向力和主方向一、控制方程一、控制方程v主应力和主

11、方向的概念主应力和主方向的概念只有正应力而无剪应力的 斜平面为主平面主平面上的正应力=主应力斜平面的方向（法线）n=主方向可以证明，主应力是斜截面上正应力的极值可以证明，主应力是斜截面上正应力的极值2022/11/3027第27页，本讲稿共68页v控制方程控制方程指标方程n1、n n2 2、n n3有非零解的条件就是系数行列式为零有非零解的条件就是系数行列式为零 代数方程代数方程展开展开2022/11/3028第28页，本讲稿共68页 展开得关于主应力(特征值)的三次方程即即即即其中系数称为应力张量的不变量（与坐标无关）：其中系数称为应力张量的不变量（与坐标无关）：I I1 应力张量第一不变量

12、应力张量第一不变量应力张量第一不变量应力张量第一不变量 I I2 2 应力张量第二不变量应力张量第二不变量应力张量第二不变量应力张量第二不变量 I3 应力张量第三不变量应力张量第三不变量其实，主应力就是其实，主应力就是二阶应力张量的主二阶应力张量的主值，或应力矩阵的值，或应力矩阵的特征值特征值2022/11/3029第29页，本讲稿共68页First InvariantSecond InvariantThird Invariant试试证证明明它它们们与与坐坐标标系系无无关关2022/11/3030第30页，本讲稿共68页 The three principal stresses 1,2,and

13、 3 are constant for a given state of stress.The stress state may be expressed in terms of principal stresses as Where Where 1 1 are are maximum maximum principal principal stress,stress,so-called so-called the the first first principal principal stressstress,3 3 are are minimum minimum principal pri

14、ncipal stress,stress,so-called so-called the the third third principal principal stressstress ,and and 2 2 are are so-called so-called second second principal principal stressstress .2022/11/3031第31页，本讲稿共68页分别将每个主应力代入方程 中的两个（只有两个独立）中的两个（只有两个独立）再补充一个几何关系再补充一个几何关系再补充一个几何关系再补充一个几何关系便可得到相应的主方向便可得到相应的主方向

15、便可得到相应的主方向便可得到相应的主方向每个主应力对应一个方向（主方向）每个主应力对应一个方向（主方向）2022/11/3032第32页，本讲稿共68页二、主应力的求解方法二、主应力的求解方法v三角函数法解一元三次方程三角函数法解一元三次方程变量代换（消去二次项）引入变量引入变量x x消去二次项消去二次项其中其中代入方程代入方程2022/11/3033第33页，本讲稿共68页令令令令关于关于关于关于x x的三个根为的三个根为按大小排序：按大小排序：x1、x x2 2、x3没有二次项的三次方程，由卡尔丹公式解x三个主应力2022/11/3034第34页，本讲稿共68页一元三次方程一元三次方程一元

16、三次方程一元三次方程改写方程改写方程改写方程改写方程迭代格式迭代格式迭代初值约取线性解迭代初值约取线性解迭代得到方程的一个根，然后进行因式分解，迭代得到方程的一个根，然后进行因式分解，解二次方程得另外两个根解二次方程得另外两个根v迭代法求解主应力迭代法求解主应力2022/11/3035第35页，本讲稿共68页Example 3.4A given stress state is expressed as The The units units of of each each stress stress in in MPa.MPa.Find Find the the magnitudes magn

17、itudes of of the the principal principal stresses stresses and and the the direction direction cosines cosines defining defining the the line line of of action action of of the the largest largest principal principal stress stress with with respect to the original coordinate axes.respect to the orig

18、inal coordinate axes.2022/11/3036第36页，本讲稿共68页Solution.2022/11/3037第37页，本讲稿共68页 关于主应力的三次方程 The three roots of the above equation areThe three roots of the above equation are The direction cosines of the largest principal stress satisfy the following relations2022/11/3038第38页，本讲稿共68页 Using any two of

19、the above three equations plus the identity that n12+n22+n32=1,the values for n1,n2,and n3 are then found.For this particular example,n1=n2=n3 so thatSo,and cos cos =n n1,=54.74 问题：第二、第三主应力的方向？问题：第二、第三主应力的方向？问题：第二、第三主应力的方向？问题：第二、第三主应力的方向？2022/11/3039第39页，本讲稿共68页v例题例题3.5已知应力张量试计算主应力值，并求主方向。试计算主应力值，并求

20、主方向。试计算主应力值，并求主方向。试计算主应力值，并求主方向。v解解主应力大小主应力大小单位：单位：单位：单位：MPaMPa一元三次方程一元三次方程一元三次方程一元三次方程解法一：三角解法解法一：三角解法解法一：三角解法解法一：三角解法2022/11/3040第40页，本讲稿共68页不变量不变量2022/11/3041第41页，本讲稿共68页中间参数中间参数2022/11/3042第42页，本讲稿共68页主应力MPaMPaMPaMPaMPaMPa2022/11/3043第43页，本讲稿共68页本题本题本题本题取初值取初值解法二：迭代法解法二：迭代法2022/11/3044第44页，本讲稿共6

21、8页结果结果44.07取一位小数则为取一位小数则为取一位小数则为取一位小数则为:=44.1MPa对三次方程进行因式分解对三次方程进行因式分解对三次方程进行因式分解对三次方程进行因式分解2022/11/3045第45页，本讲稿共68页得得得得解二次方程解二次方程解二次方程解二次方程MPaMPa所以三个主应力依次为：所以三个主应力依次为：所以三个主应力依次为：所以三个主应力依次为：1 1=107.3MPa，2 2=44.1MPa，3 3=-91.4MPa=-91.4MPa2022/11/3046第46页，本讲稿共68页主方向 第一主应力的方向即即解得解得2022/11/3047第47页，本讲稿共6

22、8页v课堂练习题课堂练习题 求如下应力状态的主应力和主方向，并计算最大剪应力值。同理解得：同理解得：同理解得：同理解得：第二主应力的方向：第二主应力的方向：第二主应力的方向：第二主应力的方向：0.9480.948，0.2820.282，0.1460.146第三主应力的方向：第三主应力的方向：第三主应力的方向：第三主应力的方向：0.0480.048，0.3370.337，-0.940-0.9402022/11/3048第48页，本讲稿共68页三、剪应力的极值三、剪应力的极值v主坐标下斜截面上的剪应力主坐标下斜截面上的剪应力应力矢量的坐标分量应力矢量的大小t 正应力大小N N2022/11/304

23、9第49页，本讲稿共68页斜截面上剪应力它是截面法线方向余弦它是截面法线方向余弦n1、n2、n3的函数的函数v斜截面上剪应力的极值斜截面上剪应力的极值极值条件剪应力表达式中方向余弦剪应力表达式中方向余弦n1、n2、n3并不独立，它们满足条件并不独立，它们满足条件或或2022/11/3050第50页，本讲稿共68页剪应力的极值属于数学上的条件极值问题，可用剪应力的极值属于数学上的条件极值问题，可用拉格朗日乘子法求解。拉格朗日乘子法求解。拉格朗拉格朗日乘子日乘子由驻值条件由驻值条件和约束条件得到方程组和约束条件得到方程组2022/11/3051第51页，本讲稿共68页求剪应力极值的方程组求剪应力极

24、值的方程组解方程组得到解方程组得到ni，带回剪应力公式，即可得到剪，带回剪应力公式，即可得到剪应力的极值应力的极值2022/11/3052第52页，本讲稿共68页剪应力的极值（1）（2）（3）最大剪应力最大剪应力极值剪应力所极值剪应力所在平面与主平在平面与主平面夹面夹45 课课外外练练习习：试试证证明明斜斜截截面面上上正正应应力力的的极极值值就就是是主主应应力力。2022/11/3053第53页，本讲稿共68页四、莫尔应力圆四、莫尔应力圆v圆的方程圆的方程主坐标下主坐标下联立解得联立解得2022/11/3054第54页，本讲稿共68页斜截面法线方向余弦应满足条件斜截面法线方向余弦应满足条件即即

25、应力点在应力点在C1圆以外圆以外由由应力点在应力点在C2圆以内圆以内由由应力点在应力点在C3圆以外圆以外以斜截面上的正应力以斜截面上的正应力 N为横坐标，剪应力为横坐标，剪应力 N为纵坐标，应力点在为纵坐标，应力点在阴影部分内阴影部分内2022/11/3055第55页，本讲稿共68页v应力圆应力圆 The normal and shear stresses in the inclinded plane may be represented graphically by a useful device known as Mohrs circle for stress.2022/11/3056第5

26、6页，本讲稿共68页v应力圆的应用应力圆的应用任意斜截面上的正应力、切应力在圆内某点取得剪应力的极值 极值剪应力所在平面与相应主平面夹 45角 The maximum shear stress is132022/11/3057第57页，本讲稿共68页一、正八面体构成一、正八面体构成v正八面体的定义正八面体的定义每个卦限一个面=八面每个面的法线与坐标轴等角v任意一个面上的法线方向余弦任意一个面上的法线方向余弦x x2 2x x1 1x x3 3第五第五节 八面体上的八面体上的应力力2022/11/3058第58页，本讲稿共68页二、正八面体上任意一个二、正八面体上任意一个 面上的应力面上的应力v

27、坐标系坐标系设坐标平面为主平面应力张量如上所示v应力矢量的分量应力矢量的分量坐标分量x x2 2x x1 1x x3 32022/11/3059第59页，本讲稿共68页八面体上总应力八面体上正应力八面体上正应力=平均应力平均应力平均应力平均应力=静水压力静水压力静水压力静水压力该该应应力力与与材材料料的的破破坏坏无无关关！2022/11/3060第60页，本讲稿共68页 八面体上剪应力八面体上剪应力与塑性力学关系密切！与塑性力学关系密切！与屈服准则有关！与屈服准则有关！可解释第四强度理论！可解释第四强度理论！2022/11/3061第61页，本讲稿共68页第六第六节 平衡微分方程平衡微分方程

28、We denote the components of the body force vector(force per unit volume)by fi一、主矢为零（力平衡）vEquilibrium Equationx1x2x3xixifiniti(n)dAdV2022/11/3062第62页，本讲稿共68页Using Divergence Theorem of Guass,Hence,the force equilibrium condition becomes we haveor2022/11/3063第63页，本讲稿共68页v Expanding 张量展开张量展开世俗展开世俗展开202

29、2/11/3064第64页，本讲稿共68页二、主矩为零（力矩平衡）The moment of force system acting on the body about any selected point,say the origin,must vanish,That is,x1x2x3xixifiniti(n)dAdV2022/11/3065第65页，本讲稿共68页 Therefore,the moment of forces equilibrium equation becomesor The stress tensor must be symmetric tensor.The stress tensor must be symmetric tensor.2022/11/3066第66页，本讲稿共68页v例题例题3.6已知体积力为零，其应力分量为其余应力分量为零。试求出系数其余应力分量为零。试求出系数c，并在，并在0 x l,-h/2 y h/2的矩形板边上画出应力分布。的矩形板边上画出应力分布。v解解应力分量代入平衡方程应力分量代入平衡方程2022/11/3067第67页，本讲稿共68页应力分量的表达式为板边应力分布板边应力分布x xy yqlh/2qlh/2qh2/8qh2/8自动满足自动满足2022/11/3068第68页，本讲稿共68页