抽样分布课件精.ppt

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1、第1页，本讲稿共40页 由由样样本本值值去去推推断断总总体体情情况况，需需要要对对样样本本值值进进行行“加加工工”，这这就就要要构构造造一一些些样样本本的的函函数数，它它把把样样本本中中所所含含的的（某某一一方方面面）的的信信息息集集中中起起来来.一、一、统计量统计量 这种这种不含任何未知参数的样本的函数称不含任何未知参数的样本的函数称为统计量为统计量.它是完全由样本决定的量它是完全由样本决定的量.第2页，本讲稿共40页若若是一个样本值是一个样本值,的的一个样本值一个样本值称称为统计量为统计量定义定义设设 是取自总体是取自总体X 的一个样本的一个样本,为一实值连续函数为一实值连续函数,且不且不

2、含有含有则称随机变量则称随机变量为为统计量统计量.未知参数未知参数,第3页，本讲稿共40页例例 总体总体 是未知参数是未知参数,若若 ,已知已知,则为统计量则为统计量是一样本是一样本,是统计量是统计量,则则但但不是统计量不是统计量.第4页，本讲稿共40页 几个常见统计量几个常见统计量样本均值样本均值样本方差样本方差设设是来自总体是来自总体 X 的容量的容量为为 n 的样本的样本,是样本观测值，定义是样本观测值，定义样本样本k阶原点矩阶原点矩样本样本k阶中心矩阶中心矩 k=1,2,第5页，本讲稿共40页它们的观测值分别为：它们的观测值分别为：第6页，本讲稿共40页二、二、抽样分布抽样分布 统计量

3、既然是依赖于样本的，而后者统计量既然是依赖于样本的，而后者又是随机变量，故统计量也是随机变量，又是随机变量，故统计量也是随机变量，因而就有一定的分布，这个分布叫做因而就有一定的分布，这个分布叫做统计统计量的量的“抽样分布抽样分布”.当总体的分布函数已知时，抽样分布是确当总体的分布函数已知时，抽样分布是确定的，然而求出统计量的精确分布一般来说是定的，然而求出统计量的精确分布一般来说是很困难的，本节介绍来自很困难的，本节介绍来自正态总体正态总体的几个常用的几个常用统计量的分布。统计量的分布。第7页，本讲稿共40页 下面介绍下面介绍 统计三大分布统计三大分布分布分布1、设总体设总体XN(0,1)，(

4、X1,X2,Xn)是是X的样本的样本,则则称统计量称统计量为服从自由度为为服从自由度为 n 的的 分布分布记为记为第8页，本讲稿共40页分布的密度函数为分布的密度函数为其中伽玛函数其中伽玛函数 为积分为积分第9页，本讲稿共40页n=2n=3n=5n=10n=15分布概率密度函数图分布概率密度函数图第10页，本讲稿共40页分布具有如下性质：分布具有如下性质：性质性质1 设设 则则证证由于由于 ,因而因而则则第11页，本讲稿共40页性质性质2 设设 ,且且X1,X2 相互独立相互独立,则有则有这个性质叫这个性质叫 分布的可加性分布的可加性.，则当，则当n充分大时，充分大时，若若的分布近似正态分布的

5、分布近似正态分布N(0,1).第12页，本讲稿共40页对于给定的对于给定的,01,若若 则则称称 2(n)为为2分布的分布的上上分位点分位点2(n)如图所示如图所示对于不同的对于不同的,n,上上分位点的值已制成表格供分位点的值已制成表格供查用查用(见附表见附表2)例例第13页，本讲稿共40页但该表只祥列到但该表只祥列到n45为止，费歇尔（为止，费歇尔（R.A.fisher）曾证明，当）曾证明，当n充分大时，充分大时，近似近似服从服从 ，因此当，因此当n充分大时，近似充分大时，近似地有地有其中其中Z是标准正态分布的上是标准正态分布的上分位点分位点例如例如第14页，本讲稿共40页T的密度函数为：的

6、密度函数为：记为记为Tt(n).定定义义:设设XN(0,1),Y ,且且X与与Y相相互独立，则称变量互独立，则称变量所服从的分布为自由度为所服从的分布为自由度为 n的的 t 分布分布.2、t 分布分布第15页，本讲稿共40页t 分布的图形分布的图形(红色的是标准正态分布红色的是标准正态分布)n=1n=20t 分布的概率密度曲线相似于分布的概率密度曲线相似于N(0,1)(0,1)的概率密度的概率密度曲线曲线,呈对称性呈对称性.事实上事实上故当故当n足够大时足够大时,t分布近似于分布近似于N(0,1)分布分布.但对于但对于较小的较小的n,t分布与标准正态分布相差很大分布与标准正态分布相差很大.第1

7、6页，本讲稿共40页对于给定的对于给定的,045时时,第17页，本讲稿共40页例例1 设设Tt(50),求满足求满足 的的c值值解解由由得得再由再由t分布的对称性知分布的对称性知于是于是第18页，本讲稿共40页由定义可见，由定义可见，3、F分布分布定义定义:设设 X与与Y相互相互独立，则称统计量独立，则称统计量服从自由度为服从自由度为n1及及 n2 的的F分布，分布，n1称为第称为第一自由度，一自由度，n2称为第二自由度，记作称为第二自由度，记作 FF(n1,n2).F(n2,n1)第19页，本讲稿共40页若若XF(n1,n2)，X的概率密度为的概率密度为第20页，本讲稿共40页对于给定的对于

8、给定的,01,称满足条件称满足条件的点的点 为为F分布的分布的上上分位点分位点F分布的上分布的上分位点可查附表分位点可查附表4F分布的分布的分位点有如下性质分位点有如下性质第21页，本讲稿共40页F分布的分布的分位点有如下性质分位点有如下性质证证第22页，本讲稿共40页这一性质常用来求这一性质常用来求F分布表中未列出的一些分布表中未列出的一些上上分位点分位点例例F(n1,n2)第23页，本讲稿共40页 在概率统计中在概率统计中,正态分布占据十分重要的正态分布占据十分重要的位置位置.这是因为在应用问题中许多随机变量的这是因为在应用问题中许多随机变量的概率分布是正态分布概率分布是正态分布,或近似正

9、态分布或近似正态分布,另外另外,正态分布有许多优良的性质正态分布有许多优良的性质,便于理论研究便于理论研究,因因此我们下面介绍正态总体下某些统计量的抽样此我们下面介绍正态总体下某些统计量的抽样分布分布.三、几个重要的抽样分布定理三、几个重要的抽样分布定理第24页，本讲稿共40页 定理定理 1 (样本均值的分布样本均值的分布)设设X1,X2,Xn是取自正态总体是取自正态总体的样本，则有的样本，则有第25页，本讲稿共40页n取不同值时样本均值取不同值时样本均值 的分布的分布第26页，本讲稿共40页例例 2 在总体在总体 中，随机抽取中，随机抽取一容量为一容量为100的样本，问样本均值与总体均值的样

10、本，问样本均值与总体均值的差的绝对值大于的差的绝对值大于3的概率是多少？的概率是多少？解解由定理由定理1 1知，样本均值知，样本均值 ,所以所以故所求概率故所求概率第27页，本讲稿共40页 定理定理 2 (样本方差的分布样本方差的分布)设设X1,X2,Xn是取自正态总是取自正态总体体的样本的样本,分别为样本均值和样本方差分别为样本均值和样本方差,则有则有第28页，本讲稿共40页n取不同值时取不同值时 的分布的分布第29页，本讲稿共40页例例3 某半导体厂生产的某种零件厚度某半导体厂生产的某种零件厚度 ，为保证质量，规定当，为保证质量，规定当 时，认为生产时，认为生产过程处于良好控制状态。为此，

11、每隔一定时间抽过程处于良好控制状态。为此，每隔一定时间抽一个零件测量它的厚度，共抽取一个零件测量它的厚度，共抽取20个零件作为一个零件作为一个样本，并计算样本方差个样本，并计算样本方差S2若若 （此时用（此时用0.60），则认为生产过程失去控制，），则认为生产过程失去控制，必须停产检查，问必须停产检查，问c为何值时，为何值时，的概率才的概率才不超过不超过0.01?解解由定理由定理2得得即即第30页，本讲稿共40页所定的失控标准所定的失控标准即即所以所以故故第31页，本讲稿共40页例例4 设设 是来自总体是来自总体 的一个样本，求统计量的一个样本，求统计量 及及 的分布，其中的分布，其中S2是样

12、本方差是样本方差解解由定理由定理1知知 ，所以，所以又由定理又由定理2知知且由且由 与与S2独立知独立知Y与与S2独立，独立，故故第32页，本讲稿共40页 定理定理 3 设设X1,X2,Xn是取自正态总体是取自正态总体的样本的样本,分别为样本均值和样本方差分别为样本均值和样本方差,则有则有证证与与相互独立相互独立第33页，本讲稿共40页 定理定理 4分别是这两个样本的分别是这两个样本的且且X与与Y独立独立,X1,X2,是取自是取自X的样本的样本,取自取自Y的样本的样本,分别是这两个样本的样本方差分别是这两个样本的样本方差,均值均值,则有则有Y1,Y2,是是样本样本(1)(2)第34页，本讲稿共40页(3)证证 (1)则则所以所以 也服从正态分布也服从正态分布且且第35页，本讲稿共40页 (2)由定理由定理2知知再由再由F分布的定义知分布的定义知第36页，本讲稿共40页(3)由（由（1）知）知又知又知并且它们独立，从而由并且它们独立，从而由2分布的可加性分布的可加性第37页，本讲稿共40页所以由所以由t分布的定义知分布的定义知第38页，本讲稿共40页且两个样本相互独立，则且两个样本相互独立，则且且X与与Y独立独立,X1,X2,是取自是取自X的样本的样本,取自取自Y的样本的样本,Y1,Y2,是是例例5服从分布服从分布第39页，本讲稿共40页解解定理定理4第40页，本讲稿共40页