电磁场与电磁波第三章精.ppt

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1、电磁场与电磁波第三章第1页，本讲稿共25页1.Differential Equations for Electric Potential TherelationshipbetweentheelectricpotentialandtheelectricfieldintensityEisTakingthedivergenceoperationforbothsidesoftheaboveequationgivesInalinear,homogeneous,andisotropicmedium,thedivergenceoftheelectricfieldintensityEis第2页，本讲稿共25页

2、ThedifferentialequationfortheelectricpotentialiswhichiscalledPoissonsequation.Inasource-freeregion,andtheaboveequationbecomeswhichiscalledLaplacesequation.1.Differential Equations for Electric Potential 第3页，本讲稿共25页1.电位微分方程已知电位 与电场强度 E 的关系为 对上式两边取散度，得 对于线性各向同性的均匀介质，电场强度E 的散度为 那么，电位满足的微分方程式为 泊松方程泊松方程

3、第4页，本讲稿共25页拉普拉斯方程拉普拉斯方程对于无源区，上式变为1.电位微分方程第5页，本讲稿共25页因此，对于导体边界，当边界上的因此，对于导体边界，当边界上的电位电位，或电位，或电位的的法向导数法向导数给定时，或导体给定时，或导体表面电荷表面电荷给定时，空间的给定时，空间的静电场即被惟一地确定静电场即被惟一地确定。这个结论称为。这个结论称为静电场惟一性静电场惟一性定理定理。For electrostatic fields with conductors as boundaries,thefieldmaybegivenuniquelywhentheelectricpotential,its

4、 normal derivative,or the charges is given on theconductingboundaries.Thatistheuniquenesstheoremforsolutionstoproblemsonelectrostaticfields.Uniqueness of solution of differential equations for electric potential (静电场唯一性定理)第6页，本讲稿共25页 静电场的静电场的边值问题边值问题 根据给定的根据给定的边界条件边界条件求解求解静电场的静电场的电位分布电位分布。对于线性各向同性的均

5、匀介质，有源区中的电位满足泊松方程方程 在无源区，电位满足拉普拉斯方程利用利用格林函数格林函数，可以求解，可以求解泊松方程泊松方程（了解了解）。利用利用分离变量法分离变量法可以求解可以求解拉普拉斯方程。拉普拉斯方程。（了解了解）求解静电场边值问题的另一种求解静电场边值问题的另一种简单简单方法是方法是镜像法镜像法。小结第7页，本讲稿共25页3.Method of Image Essence:Theeffectoftheboundaryisreplacedbyone or several equivalent charges,and the originalinhomogeneousregionw

6、ithaboundarybecomesaninfinitehomogeneousspace.Basis：The principle of uniqueness.Therefore,these charges should notchangetheoriginalboundaryconditions.Theseequivalentchargesareattheimagepositionsoftheoriginalcharges,andarecalledimagecharges,andthismethodiscalledthemethodofimages.Key：Todeterminetheval

7、uesandthepositionsoftheimagecharges.Restriction：These image charges may be determined only for somespecialboundariesandchargeswithcertaindistributions.第8页，本讲稿共25页3.镜像法 实质实质:以一个或几个以一个或几个等效电荷等效电荷代替边界的影响，代替边界的影响，将原来具有边界的将原来具有边界的非均匀非均匀空间变成无限大的空间变成无限大的均匀均匀自自由空间，从而使计算过程大为由空间，从而使计算过程大为简化简化。这些等效电荷通常处于原电荷的这些

8、等效电荷通常处于原电荷的镜像位置镜像位置，因，因此称为此称为镜像电荷镜像电荷，而这种方法称为，而这种方法称为镜像法镜像法。第9页，本讲稿共25页 依据：惟一性依据：惟一性定理。等效电荷的引入不能改变定理。等效电荷的引入不能改变原来的原来的边界条件边界条件。关键：关键：确定镜像电荷的大小及其位置。确定镜像电荷的大小及其位置。局限性：局限性：仅仅对于某些仅仅对于某些特殊特殊的的边界边界以及以及特殊特殊的的电电荷分布荷分布才有可能确定其镜像电荷。才有可能确定其镜像电荷。3.镜像法 第10页，本讲稿共25页（点电荷与无限大的导体平面)介质 导体 q r P 介质 q r P hh 介质 以一个以一个镜

9、像镜像点电荷点电荷q代替边界的影响，使整个空间变代替边界的影响，使整个空间变成成均匀均匀的介电常数为的介电常数为 的空间，则空间任一点的空间，则空间任一点P 的电位的电位由由q 及及q共同产生，即共同产生，即 无限大导体平面的电位为零（为什么？）（1）A point electric charge and an infinite conducting plane 导体是等位体，分布在有限区域的电荷在无限远处产生的电位为导体是等位体，分布在有限区域的电荷在无限远处产生的电位为0；第11页，本讲稿共25页 其产生的其产生的电场线电场线与与等位面等位面的分布特性与的分布特性与电偶极子电偶极子的的上半

10、上半部分完全相同。部分完全相同。电场线等位线 z 第12页，本讲稿共25页*根根据据电电荷荷守守恒恒定定律律，镜镜像像点点电电荷荷的的电电荷荷量量应应该该等等于于导体表面上感应电荷的总电荷量。导体表面上感应电荷的总电荷量。*上上述述等等效效性性仅仅对对于于导导体体平平面面的的上上半半空空间间成成立立，因因为在上半空间中，为在上半空间中，源源及及边界条件边界条件未变。未变。介质 导体 q r P 介质 q r P hh 介质 第13页，本讲稿共25页q 对对于于半半无无限限大大导导体体平平面面形形成成的的劈劈形形边边界界也也可可应应用用镜镜像像法法。但但是是为为了了保保证证这这种种劈劈形形边边界

11、界的的电电位位为为零零，必必须引入须引入几个几个镜像电荷。镜像电荷。例如，夹角为例如，夹角为 的导电劈需引入的导电劈需引入 5个镜像电荷。个镜像电荷。/3/3q第14页，本讲稿共25页 位于无限大的导体平面附近的位于无限大的导体平面附近的线电荷线电荷，根据叠加，根据叠加原理得知，同样可以应用镜像法求解。原理得知，同样可以应用镜像法求解。仅当这种导体劈的夹角等于仅当这种导体劈的夹角等于 的的整数整数分之一时，分之一时，才可求出其镜像电荷。才可求出其镜像电荷。为什么为什么？lll第15页，本讲稿共25页 （点电荷与导体球)若导体球若导体球接地接地，导体球，导体球的电位为的电位为零零。令镜像点电荷。

12、令镜像点电荷q 位于球心与点电荷位于球心与点电荷 q 的的连线上，那么球面上任一点连线上，那么球面上任一点电位为电位为 为了保证球面上任一点电位为为了保证球面上任一点电位为零零，必须选择镜，必须选择镜像电荷为像电荷为 qfOPadrqr（2）A point charge and a conducting sphere第16页，本讲稿共25页 为了使镜像电荷具有一个确定的值，必须要求比值 对于球面上任一点均具有同一数值。若若OPqOqP，则，则镜像电荷离球心的距离d 应为 求得镜像电荷为qfOPadrqr第17页，本讲稿共25页 若导体球不接地，则其电位不为零。q 的的位置位置和和量值量值应该如

13、何应该如何?由由q 及及 q 在球面边界上在球面边界上形成的电位为形成的电位为零零，因此必须再，因此必须再引入一个镜像电荷引入一个镜像电荷q 以产生一以产生一定的电位定的电位。q第18页，本讲稿共25页以保证导体球表面上总电荷以保证导体球表面上总电荷量为量为零值零值。为了保证球面边界是一个等位面，镜像电荷 q 必须位于球心。为了满足为了满足电荷守恒定律电荷守恒定律，第二个镜像电荷第二个镜像电荷q 必须为必须为导体球的电位导体球的电位?qq q第19页，本讲稿共25页l（线电荷与带电的导体圆柱）在圆柱轴线与线电荷之间，离轴线的距离d 处，平行放置一根镜像线电荷 。因此，离线电荷 r 处，以 为参

14、考点的电位为 PafdrlO已知无限长线电荷产生的电场强度为 ，（3）A line charge and a charged conducting cylinder 第20页，本讲稿共25页 若令镜像线电荷 产生的电位也取相同的 作为参考点，则 及 在圆柱面上P点共同产生的电位为已知导体圆柱是一个已知导体圆柱是一个等位体等位体，必须要求比值必须要求比值与前同理，可令lPafdrlO第21页，本讲稿共25页（点电荷与无限大的介质平面）E 1 1qr0EEtEnq 2 2qE 1 2qeten=+对于对于上半空间上半空间，可用镜像电荷，可用镜像电荷 q 等效边界上束缚电荷等效边界上束缚电荷的作用，

15、将整个空间变为介电常数为的作用，将整个空间变为介电常数为1的的均匀均匀空间。空间。对于对于下半空间下半空间，可用位于原点电荷处的，可用位于原点电荷处的 q 等效原来等效原来的点电荷的点电荷q与边界上束缚电荷的共同作用，将整个空间变与边界上束缚电荷的共同作用，将整个空间变为介电常数为为介电常数为2 的的均匀均匀空间。空间。（4）A point charge and an infinite dielectric plane.第22页，本讲稿共25页 必须迫使所求得的场符合边界条件，即电场切向分量和电通密度的法向分量应该保持连续，即 已知各个点电荷产生的电场强度分别为代入上述边界条件，求得镜像电荷如

16、下：第23页，本讲稿共25页为了利用给定的边界条件，选择适当的为了利用给定的边界条件，选择适当的坐标系坐标系是非是非常重要的。常重要的。对于上述一维微分方程，可以采用对于上述一维微分方程，可以采用直接积分方法直接积分方法。分离变量法分离变量法是将原先的三维是将原先的三维偏偏微分方程通过变量分微分方程通过变量分离简化为三个独立的离简化为三个独立的常常微分方程，从而简化求解过程。微分方程，从而简化求解过程。（了解）（了解）为了求解为了求解三维三维拉普拉斯方程，一种有效的方法就是拉普拉斯方程，一种有效的方法就是分离变量法分离变量法。分离变量法对于分离变量法对于11种坐标系都是行之有效的。种坐标系都是行之有效的。第24页，本讲稿共25页作业nProblems:3-6;Problems:3-6;第25页，本讲稿共25页