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1、动态规划PPTPPT第1页，本讲稿共74页前前言言|本文只是个人对动态规划的一本文只是个人对动态规划的一些见解些见解,理论性并不一定能保证理论性并不一定能保证正确正确,有不足和缺漏之处请谅解有不足和缺漏之处请谅解和及时地指出和及时地指出.第2页，本讲稿共74页动动态态规规划划|是信息学竞赛中选手必是信息学竞赛中选手必须熟练掌握的一种算法须熟练掌握的一种算法,他以其他以其多元性广受出题者的喜爱多元性广受出题者的喜爱.第3页，本讲稿共74页目目录录|什么是动态规划什么是动态规划|状态状态阶段阶段决策决策|一种确立状态的方法一种确立状态的方法|两种简单的动规武器两种简单的动规武器|三种特殊的动态规划

2、三种特殊的动态规划第4页，本讲稿共74页什什么么是是动动态态规规划划|在学习动态规划之前你一定学在学习动态规划之前你一定学过搜索过搜索.那么搜索与动态规划有那么搜索与动态规划有什么关系呢什么关系呢?我们来下面的一个我们来下面的一个例子例子.第5页，本讲稿共74页数数字字三三角角形形|给你一个数字三角形给你一个数字三角形,形式如下形式如下:12345678910找出从第一层到最后一层的一条找出从第一层到最后一层的一条路路,使得所经过的权值之和最小或使得所经过的权值之和最小或者最大者最大.第6页，本讲稿共74页数数字字三三角角形形|无论对与新手还是老手，这都是再熟悉无论对与新手还是老手，这都是再熟

3、悉不过的题了，很容易地，我们写出状态不过的题了，很容易地，我们写出状态转移方程：转移方程：f(i,j)=ai,j+minf(i-1,j)+f(i-1,j+1)|对于动态规划算法解决这个问题，我对于动态规划算法解决这个问题，我们根据状态转移方程和状态转移方向，们根据状态转移方程和状态转移方向，比较容易地写出动态规划的循环表示比较容易地写出动态规划的循环表示方法。但是，当状态和转移非常复杂方法。但是，当状态和转移非常复杂的时候，也许写出循环式的动态规划的时候，也许写出循环式的动态规划就不是那么简单了。就不是那么简单了。|解决方法：解决方法：第7页，本讲稿共74页记记忆忆化化搜搜索索|我们尝试从正面

4、的思路去分析问题，如我们尝试从正面的思路去分析问题，如上例，不难得出一个非常简单的递归过上例，不难得出一个非常简单的递归过程程:|f1:=f(i-1,j+1);f2:=f(i-1,j);|iff1f2thenf:=f1+ai,jelsef:=f2+ai,j;|显而易见，这个算法就是最简单的搜索显而易见，这个算法就是最简单的搜索算法。时间复杂度为算法。时间复杂度为2n，明显是会超时，明显是会超时的。分析一下搜索的过程，实际上，很的。分析一下搜索的过程，实际上，很多调用都是不必要的，也就是把产生过多调用都是不必要的，也就是把产生过的最优状态，又产生了一次。为了避免的最优状态，又产生了一次。为了避免

5、浪费，很显然，我们存放一个浪费，很显然，我们存放一个opt数组：数组：第8页，本讲稿共74页记记忆忆化化搜搜索索|Opti,j-每产生一个每产生一个f(i,j)，将，将f(i,j)的值放入的值放入opt中，以后再次调中，以后再次调用到用到f(i,j)的时候，直接从的时候，直接从opti,j来取就可以了。来取就可以了。|于是动态规划的状态转移方程被直观地于是动态规划的状态转移方程被直观地表示出来了，这样节省了思维的难度，表示出来了，这样节省了思维的难度，减少了编程的技巧，而运行时间只是相减少了编程的技巧，而运行时间只是相差常数的复杂度，而且在相当多的情况差常数的复杂度，而且在相当多的情况下，递归

6、算法能更好地避免浪费，在比下，递归算法能更好地避免浪费，在比赛中是非常实用的赛中是非常实用的.记忆化的功效第9页，本讲稿共74页动动态态规规划划的的实实质质|可以看出动态规划的实质就是可以看出动态规划的实质就是|这也就是为什么我们常说动态这也就是为什么我们常说动态规划必须满足重叠子问题的原规划必须满足重叠子问题的原因因.记忆化记忆化,正符合了这个要求正符合了这个要求.第10页，本讲稿共74页状状态态阶阶段段决决策策|或许有一种对动态规划的简单或许有一种对动态规划的简单称法称法,叫分阶段决策叫分阶段决策.其实我认为其实我认为这个称法并不是很能让人理解这个称法并不是很能让人理解.那么下面我们来看看

7、阶段那么下面我们来看看阶段,状态状态,决策这三者间得关系吧决策这三者间得关系吧.第11页，本讲稿共74页状状态态 阶阶段段 决决策策|状态是表现出动态规划核心思想的一状态是表现出动态规划核心思想的一个东西个东西.而分阶段决策这个东西有似乎没而分阶段决策这个东西有似乎没有提到状态有提到状态,这是不科学的这是不科学的.|阶段阶段,有些题目并不一定表现出一定的有些题目并不一定表现出一定的阶段性阶段性.数字三角形的阶段就是每一层数字三角形的阶段就是每一层.这里我们引入一个概念这里我们引入一个概念-以前状态以前状态.但阶但阶段不是以前状态段不是以前状态,状态是阶段的表现形式状态是阶段的表现形式.数字三角

8、形的以前状态就是当前层的前数字三角形的以前状态就是当前层的前一层一层.|那什么是决策呢那什么是决策呢?我们看看下面一张图我们看看下面一张图就知道了就知道了.第12页，本讲稿共74页决决策策决策显然,从上图可以看出,当前状态通过决策,回到了以前状态.可见决策其实就是状态之间的桥梁。而以前状态也就决定了当前状态的情况。数字三角形的决策就是选择相邻的两个以前状态的最优值。第13页，本讲稿共74页动动规规的的要要诀诀状状态态|我们一般在动规的时候所用到的一我们一般在动规的时候所用到的一些数组，也就是用来存储每个状态些数组，也就是用来存储每个状态的最优值的。的最优值的。|我们就从动态规划的要诀，也就是核

9、心我们就从动态规划的要诀，也就是核心部分部分“状态状态”开始，来逐步了解动态规开始，来逐步了解动态规划。划。第14页，本讲稿共74页拦拦截截导导弹弹|拦截导弹（拦截导弹（Noip2002Noip2002）|某国为了防御敌国的导弹袭击，发展某国为了防御敌国的导弹袭击，发展出一种导弹拦截系统。但是这种导弹出一种导弹拦截系统。但是这种导弹拦截系统拦截系统 有一个缺陷：虽然它的第有一个缺陷：虽然它的第一发炮弹能够到达任意的高度，但是一发炮弹能够到达任意的高度，但是以后每一发炮弹都不能高以后每一发炮弹都不能高 于前一发于前一发的高度。的高度。某天，雷达捕捉到敌国的某天，雷达捕捉到敌国的导弹来袭。由于该系

10、统还在试用阶段导弹来袭。由于该系统还在试用阶段，所以，所以 只有一套系统，因此有可能只有一套系统，因此有可能不能拦截所有的导弹。输入导弹依次不能拦截所有的导弹。输入导弹依次飞来的高度，计算这套系统最多能拦飞来的高度，计算这套系统最多能拦截多少导弹。截多少导弹。第15页，本讲稿共74页拦拦截截导导弹弹|状态的表示状态的表示fi，表示当第，表示当第i个导弹个导弹必须选择时，前必须选择时，前i个导弹最多能拦截多个导弹最多能拦截多少。少。|每个导弹有一定的高度，当前状态就是每个导弹有一定的高度，当前状态就是以第以第i个导弹为最后一个打的导弹。以个导弹为最后一个打的导弹。以前状态就是在这个导弹以前打的那

11、个导前状态就是在这个导弹以前打的那个导弹。弹。|显然这是十分能够体现状态间的联系显然这是十分能够体现状态间的联系的题目。的题目。第16页，本讲稿共74页最最长长公公共共子子串串|给出两个字符串序列。求出这给出两个字符串序列。求出这样的一个最长的公共子串：子样的一个最长的公共子串：子串中的每个字符都能在两个原串中的每个字符都能在两个原串中找到，而且每个字符的顺串中找到，而且每个字符的顺序和原串中的顺序一致。序和原串中的顺序一致。第17页，本讲稿共74页交交错错匹匹配配|交错匹配（最长公共子串的改编）交错匹配（最长公共子串的改编）给你两排数字给你两排数字,只能将两排中数字相同的两个位置相连只能将两

12、排中数字相同的两个位置相连,而每次相连必须有两个匹配形成一次交错而每次相连必须有两个匹配形成一次交错,交错的连线不能交错的连线不能再和别的交错连线有交点再和别的交错连线有交点.问这两排数字最多能形成多少个问这两排数字最多能形成多少个交错匹配交错匹配.12 3 3 2 4 1 5 1 3 5 103 1 2 3 2 4 12 1 5 5 3 状态的表示状态的表示fi,jfi,j表示前表示前i i个第一排的数字和个第一排的数字和前前j j个第二排的数字搭配的最优值。个第二排的数字搭配的最优值。当前的状态就是当前你枚举到的一组交错的后面两当前的状态就是当前你枚举到的一组交错的后面两个位置个位置.例如

13、上图中当前状态是例如上图中当前状态是3 3和和1(1(第一组交第一组交错错),),枚举他的以前状态就有枚举他的以前状态就有1 3.1 3.这样在这样在1 31 3之前之前会有一个最优值存在会有一个最优值存在,因此可以由此得到因此可以由此得到3 13 1的最的最优值优值.第18页，本讲稿共74页买买车车票票|买车票买车票(Ural1031)(Ural1031)Ekaterinburg Ekaterinburg城到城到SverdlovskSverdlovsk城有直线形的铁路线。城有直线形的铁路线。两城之间还有其他一些停靠站两城之间还有其他一些停靠站,总站数为总站数为N N。各站按照离各站按照离Ek

14、aterinburgEkaterinburg城的城的距离编号。距离编号。EkaterinburgEkaterinburg城编号为城编号为1 1，SverdlovskSverdlovsk城编号为城编号为N N。第19页，本讲稿共74页买买车车票票某两站之间车票价格由这两站的距离某两站之间车票价格由这两站的距离X X决定决定.当当0X=L10X=L1时，票价为时，票价为C1C1元元.当当L1X=L2L1X=L2时，票价为时，票价为C2C2元元.当当L2X=L3L2X=L3时，票价为时，票价为C3C3元元.当两站距离大于当两站距离大于L3L3时没有直达票，所以有时候要买几时没有直达票，所以有时候要买

15、几次票做几次车才行。次票做几次车才行。比如，在上面的例图中，比如，在上面的例图中，2-62-6没有直达票，有几种买票没有直达票，有几种买票方法可以从方法可以从2-62-6，其中一种是买，其中一种是买C2C2元的元的2-32-3车票，再买车票，再买C3C3元的元的3-63-6车票。车票。第20页，本讲稿共74页买买车车票票给定起点站和终点站还有给定起点站和终点站还有L1,L2,L3,C1,C2,C3L1,L2,L3,C1,C2,C3，求出要从，求出要从起点到终点最少要花多少钱起点到终点最少要花多少钱.怎怎么么办办确定题目的当前状态与以前状态!第21页，本讲稿共74页买买车车票票当前状态以前状态当

16、前所在的某个车站这一题的以前状态其实只有这一题的以前状态其实只有3种种.即满足即满足3种距离种距离(收费收费)情况的情况的3个车站个车站.要知道要知道这这3个车站可以先做一个预处理个车站可以先做一个预处理.显然这显然这3个车站在满足距离限制的条件下应该越远个车站在满足距离限制的条件下应该越远越好越好.第22页，本讲稿共74页买买车车票票|预处理预处理很容易想出一个很容易想出一个N2的预处理的预处理,但是那样但是那样是会超时的是会超时的.由于尽量要让车站离得远由于尽量要让车站离得远(费费用是一样的啊用是一样的啊)因此在每种收费情况下因此在每种收费情况下,每个车站的以前状态车站一定是递增每个车站的

17、以前状态车站一定是递增的序列的序列.这里是只要这里是只要O(N)的程序的程序:forj:=1to3dobegink:=en-1;fori:=endowntobedobeginwhile(wayi-wayk=be)dodec(k);pij:=k+1;end;end;数组数组Pij表示的是表示的是I状态的第状态的第j种以前状态种以前状态.第23页，本讲稿共74页买买车车票票动态规划的部分动态规划的部分fori:=be+1toendo枚举当前状态枚举当前状态begincosti:=maxlongint;forj:=1to3do枚举以前状态枚举以前状态beginif(piji)and(costicos

18、tpij+cj)thencosti:=costpij+cj;end;end;第24页，本讲稿共74页动动规规的的要要诀诀状状态态|有时候当前状态确定后有时候当前状态确定后,以前状以前状态就已经确定态就已经确定,则无需枚举则无需枚举.第25页，本讲稿共74页T To om m的的烦烦恼恼|TomTom是一个非常有创业精神的人，由于大学学是一个非常有创业精神的人，由于大学学的是汽车制造专业，所以毕业后他用有限的资的是汽车制造专业，所以毕业后他用有限的资金开了一家汽车零件加工厂，金开了一家汽车零件加工厂，专门为汽车制专门为汽车制造商制造零件。由于资金有限，他只能先购买造商制造零件。由于资金有限，他只

19、能先购买一台加工机器。现在他却遇到了麻烦，多家汽一台加工机器。现在他却遇到了麻烦，多家汽车制造商需要他加车制造商需要他加 工一些不同零件（由于厂工一些不同零件（由于厂家和零件不同，所以给的加工费也不同），而家和零件不同，所以给的加工费也不同），而且不同厂家对于不同零件的加工时间要求不同且不同厂家对于不同零件的加工时间要求不同（有些加工时间要求甚至是冲突的，但开始和（有些加工时间要求甚至是冲突的，但开始和结束时间相同不算冲突）。结束时间相同不算冲突）。TomTom当然希望能把当然希望能把所有的零件都加工完，以得到更多的加工费，所有的零件都加工完，以得到更多的加工费，但当一些零件的加工时间要求有冲

20、突时，在某但当一些零件的加工时间要求有冲突时，在某个时间内他只能选择某种零件加工（因为他只个时间内他只能选择某种零件加工（因为他只有一台机器），为了赚得尽量多的加工费，有一台机器），为了赚得尽量多的加工费，TomTom不知如何进行取舍。不知如何进行取舍。第26页，本讲稿共74页T To om m的的烦烦恼恼|Tom的烦恼的烦恼按结束时间排序，枚举结束时间作为当前按结束时间排序，枚举结束时间作为当前状态状态,以前状态就是该结束时间对应的起以前状态就是该结束时间对应的起始时间，这是已经确定的始时间，这是已经确定的.第27页，本讲稿共74页文文字字游游戏戏|文字游戏文字游戏(fairfox(fair

21、fox邀请赛邀请赛1)1)给你一份单词表，和一个句子。求出该句子给你一份单词表，和一个句子。求出该句子能有多少中不同的划分方法能有多少中不同的划分方法.例如例如:单词是单词是ab cd a b c dab cd a b c d 句子是句子是abcdabcd 他共有他共有4 4种种完全完全划分方案划分方案:ab/cd a/b/c/d a/b/cd ab/c/d;ab/cd a/b/c/d a/b/cd ab/c/d;当前状态就是单词在句子中向后靠的位置当前状态就是单词在句子中向后靠的位置,以以前状态就是确定这个单词位置以后前状态就是确定这个单词位置以后,除掉这个除掉这个单词长度后的一个位置单词长

22、度后的一个位置.状态转移方程是状态转移方程是:Fi:=Fi+Fi-length(wordj):Fi:=Fi+Fi-length(wordj)IOI IOI中有一题中有一题前缀前缀也是类似的题目也是类似的题目.第28页，本讲稿共74页决决策策中中的的定定量量|状态转移方程的构造无疑是动态状态转移方程的构造无疑是动态规划过程中最重要的一步规划过程中最重要的一步,也是也是最难的一步最难的一步.对于大多数的动态对于大多数的动态规划规划,寻找状态转移方程有一条寻找状态转移方程有一条十分高效的通道十分高效的通道,就是寻找变化就是寻找变化中的不变量中的不变量.定量处理的过程也定量处理的过程也就是决策实施的过

23、程就是决策实施的过程.第29页，本讲稿共74页寻寻找找定定量量|最佳加法表达式最佳加法表达式|有一个由有一个由1.91.9组成的数字串组成的数字串.问问如果将如果将m m个加号插入到这个数字个加号插入到这个数字串中串中.使得所形成的算术表达式使得所形成的算术表达式的值最小的值最小.或许你不明白我在说什么,那么我们通过题目来说明吧第30页，本讲稿共74页最最佳佳加加法法表表达达式式|这一题中的定量是什么呢这一题中的定量是什么呢?因为是添入因为是添入加号加号,那么添完加号后那么添完加号后,表达式的最后一定表达式的最后一定是个数字串是个数字串,这就是定量这就是定量.从这里入手从这里入手,不不难发现可

24、以把以前状态认为是在前难发现可以把以前状态认为是在前i个字个字符中插入符中插入k-1个加号个加号(这里的这里的i是当作决策是当作决策在枚举在枚举),然后然后i+1到最后一位一定是整到最后一位一定是整个没有被分割的数字串个没有被分割的数字串,第第k个加号就个加号就添在添在i与与i+1个数字之间个数字之间.这样就构造出了这样就构造出了整个数字串的最优解整个数字串的最优解.而至于前而至于前i个字符中个字符中插入插入k-1个加号个加号,这又回到了原问题的形式这又回到了原问题的形式,也就是回到了以前状态也就是回到了以前状态,所以状态转移方所以状态转移方程就能很快的构造出来了程就能很快的构造出来了.第31

25、页，本讲稿共74页最最佳佳加加法法表表达达式式|用用fi,j,表示的是在前表示的是在前i个字符中个字符中插入插入j个加号能达到的最小值个加号能达到的最小值,最最后的答案也就是后的答案也就是Flength(s),m.|于是就有一个动规的方程于是就有一个动规的方程:Fi,j:=min(fi,j,fk,j-1+numk+1,i)numk+1,i表表示示k+1位到位到i位所形成的数字位所形成的数字.这这里显然是把加号插入了第里显然是把加号插入了第k+1个个位置上位置上.|知道了这一题怎么做以后知道了这一题怎么做以后,乘积乘积最大的一题也是完全一样的形式最大的一题也是完全一样的形式,谁还会去用搜索谁还会

26、去用搜索?第32页，本讲稿共74页定定量量|现在大概大家已经了解了定量现在大概大家已经了解了定量是什么是什么,那么我们下面通过几道那么我们下面通过几道题目来了解一下定量的威力题目来了解一下定量的威力.第33页，本讲稿共74页游游戏戏|游戏游戏(Noip2003普及组普及组)|这一题的描述简单说一下这一题的描述简单说一下:在一在一个圈的周围有个圈的周围有n个石子个石子,将他们将他们划分成划分成m堆堆(每堆中的石子必须每堆中的石子必须连续相邻连续相邻),每一堆石子计算出每一堆石子计算出他们的总重量他们的总重量mod10的值的值,然后然后将这些值相乘将这些值相乘,求得到的结果最求得到的结果最大最小值

27、是多少大最小值是多少.第34页，本讲稿共74页游游戏戏|这一题作者其实是根据最佳加这一题作者其实是根据最佳加法表达式改编的法表达式改编的.但是他加了一但是他加了一个在圈上的条件个在圈上的条件,怎么办呢怎么办呢?寻找定量!第35页，本讲稿共74页游游戏戏|可想而知可想而知,因为至少要分成因为至少要分成1堆堆,那么至那么至少有两个石子之间是会被分隔开的少有两个石子之间是会被分隔开的.这这就是定量就是定量!当划分数当划分数1时时,一定有两个相一定有两个相邻石子被划分到不同的堆里去邻石子被划分到不同的堆里去!|于是这个圈被这样的理解断成了一条于是这个圈被这样的理解断成了一条线线,解法就和最佳加法表达式

28、一样了解法就和最佳加法表达式一样了.|当然这个断开的位置是需要枚举的当然这个断开的位置是需要枚举的,然后保留下一个最优值然后保留下一个最优值.显然这个断开显然这个断开的操作对整个过程没有影响的操作对整个过程没有影响,因为这是因为这是必然的情况必然的情况,这是定量这是定量!第36页，本讲稿共74页最最优优三三角角形形划划分分|问题描述问题描述|给定一具有给定一具有N N（N50N50）个顶点）个顶点(从从1 1到到N N编号）的凸多边形，每个顶编号）的凸多边形，每个顶点的权均已知。问如何把这个凸点的权均已知。问如何把这个凸多边形划分成多边形划分成N-2N-2个互不相交的个互不相交的三角形，使得这

29、些三角形顶点的三角形，使得这些三角形顶点的权的乘积之和最小？权的乘积之和最小？第37页，本讲稿共74页最最优优三三角角形形划划分分|这一题大概搜都是十分麻烦的这一题大概搜都是十分麻烦的,可是这可是这一题一题Dp的话的话,比搜索要容易实现和容易比搜索要容易实现和容易理解得多理解得多.|先得表示一下状态先得表示一下状态,我们用我们用fi,j表示以表示以第第i个点开头个点开头,顺时针长度为顺时针长度为j的一块子多边的一块子多边形形.如上图中如上图中f1,5表示的子多边形表示的子多边形(黑色黑色虚线划开虚线划开)第38页，本讲稿共74页最最优优三三角角形形划划分分|如果没有红色虚线的部分如果没有红色虚

30、线的部分,或许你会认或许你会认为决策应该是枚举子多边形内的两点连为决策应该是枚举子多边形内的两点连线线,然后分成两个子多边形然后分成两个子多边形.这显然是这显然是不行的不行的,因为计算机已经无法再表示分因为计算机已经无法再表示分割出来的子多边形了割出来的子多边形了(不能用不能用fi,j来表来表示了示了).第39页，本讲稿共74页最最优优三三角角形形划划分分|那么我们该如何决策呢那么我们该如何决策呢?寻找定量寻找定量!|显然可以发现显然可以发现,fi,j表示的子多边形有一表示的子多边形有一条边是在内部的条边是在内部的(黑色虚线黑色虚线),而这一条边而这一条边在该子多边形内必定属于某个三角形在该子

31、多边形内必定属于某个三角形,因因为我们选择了该子多边形作为一种状为我们选择了该子多边形作为一种状态态,那么就一定存在那条虚线黑边那么就一定存在那条虚线黑边,所以一所以一定存在所说的三角形定存在所说的三角形.于是我们枚举这个三于是我们枚举这个三角形的另外一个点在子多边形的位置角形的另外一个点在子多边形的位置,则可则可以把子问题还原到原问题以把子问题还原到原问题(因为该三角形把因为该三角形把多边形划成了两个可以用表示的多边形多边形划成了两个可以用表示的多边形和一个三角形和一个三角形).这些再次分割出的子多边这些再次分割出的子多边形就是以前状态形就是以前状态,而刚才的多边形则是当而刚才的多边形则是当

32、前状态前状态.第40页，本讲稿共74页定定量量|其实定量的作用就是为了写出其实定量的作用就是为了写出状态转移方程状态转移方程,即让人能迅速找即让人能迅速找出状态之间的关系出状态之间的关系(决策决策).通过通过定量的处理定量的处理,当前状态又回到了当前状态又回到了以前状态以前状态,选手就可以知道选手就可以知道,这一这一题就是要用动态规划来求解了题就是要用动态规划来求解了.第41页，本讲稿共74页定定量量|我们来看看刚才的一些题目的定量我们来看看刚才的一些题目的定量.|交错匹配交错匹配:一定存在最后一组交错一定存在最后一组交错(这这好像是废话好像是废话),所以枚举这个最后的交所以枚举这个最后的交错

33、的位置作为状态错的位置作为状态,这样就回到以前这样就回到以前状态状态.|买车票买车票:定量定量1:一定有最后一个车站一定有最后一个车站(这这个作为状态个作为状态);定量定量2:某个车站一定是由某某个车站一定是由某个前面的车站到达的个前面的车站到达的.(导弹拦截也是这导弹拦截也是这样样)|数字三角形数字三角形:某个点一定是由他上面的某个点一定是由他上面的相邻两点到达的相邻两点到达的.(过河卒也是这样过河卒也是这样)定量很不错啊!第42页，本讲稿共74页动动态态规规划划的的武武器器|在动规的操作过程中在动规的操作过程中,或者是操作或者是操作过程前过程前,有一些很常用的武器有一些很常用的武器,这这里

34、简要介绍两种里简要介绍两种:第43页，本讲稿共74页排排序序|武器一武器一:排序排序|遇到过很多需要排序的动态规遇到过很多需要排序的动态规划题目划题目,如果不排序如果不排序,动规的思想动规的思想很难体现很难体现.第44页，本讲稿共74页T To om m的的烦烦恼恼|Tom的烦恼的烦恼这是大家熟知的一题这是大家熟知的一题,如果不排如果不排序的话序的话,复杂度便是复杂度便是N2,按起始按起始时间排序复杂度也是时间排序复杂度也是N2,二按二按结束时间排序之后复杂度降为结束时间排序之后复杂度降为了了NlogN.第45页，本讲稿共74页巴巴比比伦伦塔塔|巴比伦塔巴比伦塔|问题描述问题描述:有很多的不同

35、种类的立方体有很多的不同种类的立方体(长长宽高不同宽高不同),每一类有无限多个每一类有无限多个.将将他们一层层的叠加起来他们一层层的叠加起来,要求上要求上面的一块立方体的下底面一定要面的一块立方体的下底面一定要比下面的一块立方体的上底面要比下面的一块立方体的上底面要小小,就是长和宽都要小于就是长和宽都要小于.问最多问最多能建成多高的塔能建成多高的塔.第46页，本讲稿共74页巴巴比比伦伦塔塔|经过研究可以发现经过研究可以发现,每一种类的立方体有每一种类的立方体有3种不同的摆放方式种不同的摆放方式,而每种摆放方式最多而每种摆放方式最多用用1次次,所以可以分离出所以可以分离出3*N块块“不同不同”的

36、立方体的立方体,接下来接下来,或许你仍然不知道如或许你仍然不知道如何动规何动规,那么就试试排序那么就试试排序.列出所有的石列出所有的石块的所有摆放方式块的所有摆放方式xi,yi,zi.xi,yi,zi.必须全部必须全部保证保证xiyixiyi.xiyi.然后按关键字然后按关键字xi,yi,zixi,yi,zi的大小顺序排序的大小顺序排序.这样就可以这样就可以进行十分简单的类似与导弹拦截的一进行十分简单的类似与导弹拦截的一个动态规划的处理了个动态规划的处理了.限制条件是限制条件是xixi和和yi,yi,代价值是代价值是zi(zi(高度高度).).第47页，本讲稿共74页滑滑雪雪|滑雪滑雪(上海上

37、海2002)|题目的大意是给出一个矩阵题目的大意是给出一个矩阵,如如:对于所给出的矩阵找出一条最长的递减链,满足链中相邻的两个元素间都是在矩阵中相邻的.上图中所给出的矩阵中的最长链是1 2 3 425.第48页，本讲稿共74页滑滑雪雪|对于有给出的数字进行递减排对于有给出的数字进行递减排序序,然后两重循环就搞定问题然后两重循环就搞定问题.动动态转移方程是态转移方程是:Fi:=max(Fi,Fj+1);满足条件是满足条件是i与与j在原矩阵中相在原矩阵中相邻邻.|试想试想,如果你不知道要排序如果你不知道要排序,你能你能想到这题是用动态规划吗想到这题是用动态规划吗?第49页，本讲稿共74页填填鸭鸭|

38、武器二武器二:填鸭填鸭|这个思想带有枚举的感觉这个思想带有枚举的感觉.就是就是开个大数组开个大数组,把代价值一个个填把代价值一个个填进去进去.第50页，本讲稿共74页硬硬币币问问题题|硬币问题（经典问题）硬币问题（经典问题）就是给出就是给出n种硬币的面值种硬币的面值,问面值问面值M有多有多少种不同的表示方法少种不同的表示方法.动态转移方程是动态转移方程是Fi:=Fi+FI-costj.当当前状态是前状态是i,以前状态是以前状态是i-costj.|多米诺骨牌（某题的简化）多米诺骨牌（某题的简化）有有N张多米诺骨牌张多米诺骨牌,每张的两端有两个数字每张的两端有两个数字,范围在范围在1.6之间之间.

39、每张骨牌可以正放每张骨牌可以正放,也可也可以反放以反放.求出一种摆放的情况求出一种摆放的情况,使得所有使得所有的骨牌上端数字之和与下端数字之和的差的骨牌上端数字之和与下端数字之和的差值最小值最小.求出最小差值求出最小差值.第51页，本讲稿共74页多多米米诺诺骨骨牌牌可以这么考虑这个问题可以这么考虑这个问题:我们把每一个骨牌的上下差值记我们把每一个骨牌的上下差值记下。接下来的任务便是将这些值下。接下来的任务便是将这些值分成两组，使得他们的和的差值分成两组，使得他们的和的差值最小。动规过程如下：最小。动规过程如下：f0:=true;fori:=1tondoforj:=sumdowntoaidofj

40、:=fjorfj-ai;Sum表示所有差值的和表示所有差值的和.ai表示第表示第i块骨牌块骨牌的差值的差值.J是当前状态是当前状态,j-ai是以前状态是以前状态.fj表示表示j这个差值能否通过组合得到。这个差值能否通过组合得到。接下来的程序就不用我多说了。接下来的程序就不用我多说了。第52页，本讲稿共74页商商店店购购物物|商店购物商店购物(IOI)(IOI)这一题更是需要开一个五维这一题更是需要开一个五维boolbool型数组型数组.还需要通过递归还需要通过递归求出组合形式求出组合形式.动规的方程我动规的方程我就不写了就不写了.第53页，本讲稿共74页动动态态规规划划的的武武器器|讲完了比较

41、实用的两种种动规的武器之后,我们来看看一些大家可能不太会做的动规类型第54页，本讲稿共74页特特殊殊的的动动规规|这里我讲讲三种特殊的动态规这里我讲讲三种特殊的动态规划划:图状动规图状动规,树状动规树状动规,二次动二次动规规.第55页，本讲稿共74页图图状状动动规规|城堡城堡|某国聪明美丽的公主要找一位如意郎某国聪明美丽的公主要找一位如意郎君，她希望未来的夫君是一个聪明善君，她希望未来的夫君是一个聪明善良，节俭但又不吝啬的人。为了找到良，节俭但又不吝啬的人。为了找到理想的人选，她的爸爸理想的人选，她的爸爸国王，给她国王，给她修建了一座城堡，这个城堡有很多修建了一座城堡，这个城堡有很多房间，房间

42、之间有走廊连接，但每房间，房间之间有走廊连接，但每进入一个房间必须要花费一定数量进入一个房间必须要花费一定数量的钱币，公主就在某个房间中等待。的钱币，公主就在某个房间中等待。开始，国王给每个候选人一样多的开始，国王给每个候选人一样多的钱币，候选人从同一个地点出发，钱币，候选人从同一个地点出发，直到找到美丽的公主为止，如果这直到找到美丽的公主为止，如果这时哪个人找到了公主，并且钱币刚时哪个人找到了公主，并且钱币刚好用完，那么他将会赢得公主的芳好用完，那么他将会赢得公主的芳心。心。第56页，本讲稿共74页城城堡堡|乍看此题乍看此题,似乎就是搜没得说了似乎就是搜没得说了,是吗是吗?|如果告诉你这一题

43、是动态规划如果告诉你这一题是动态规划的话的话,你会怎么做你会怎么做?状态是什状态是什么动态转移方程是什么么动态转移方程是什么?第57页，本讲稿共74页城城堡堡|既然是问我们能不能到达既然是问我们能不能到达,所以所以想想就应该知道想想就应该知道,动规的数组是动规的数组是bool型的型的.一开始时一开始时,只有出发的只有出发的房间记为房间记为true.|但是但是,并不是以每个房间作为状并不是以每个房间作为状态态,因为还存在一个把钱用光的因为还存在一个把钱用光的问题问题.到达同一个房间时到达同一个房间时,如果剩如果剩余的钱不一样余的钱不一样,也就会有不同的也就会有不同的决策决策.|所以状态就是在剩余

44、所以状态就是在剩余j个钱币的个钱币的时候能否到达第时候能否到达第i个房间个房间.用用fi,j来表示来表示.第58页，本讲稿共74页图图状状动动规规于是动态转移方程也就出来了于是动态转移方程也就出来了K表示的是和I连接的一个房间,ci表示进入I号房间的花费.第59页，本讲稿共74页树树状状动动规规|没有上司的晚会没有上司的晚会|某公司要举办一次晚会，但是某公司要举办一次晚会，但是为了使得晚会的气氛更加活跃，为了使得晚会的气氛更加活跃，每个参加晚会的人都不希望在每个参加晚会的人都不希望在晚会中见到他的上司，要不然晚会中见到他的上司，要不然他们会很扫兴。现在已知每个他们会很扫兴。现在已知每个人的活跃

45、指数和上司关系（当人的活跃指数和上司关系（当然不可能存在环），求邀请哪然不可能存在环），求邀请哪些人来能使得晚会的总活跃指些人来能使得晚会的总活跃指数最大。数最大。第60页，本讲稿共74页没没有有上上司司的的晚晚会会|按照要求构建一张关系图，可按照要求构建一张关系图，可见这是一棵树。对于这类最值见这是一棵树。对于这类最值问题，向来是用动态规划求解问题，向来是用动态规划求解的。的。|任何一个点的取舍可以看作一任何一个点的取舍可以看作一种决策，那么状态就是在某个种决策，那么状态就是在某个点取的时候或者不取的时候，点取的时候或者不取的时候，以他为跟的子树能有的最大活以他为跟的子树能有的最大活跃总值。

46、分别可以用跃总值。分别可以用fi,1和和fi,0表示。表示。第61页，本讲稿共74页没没有有上上司司的的晚晚会会|当这个点取的时候，他的所有当这个点取的时候，他的所有儿子都不能取，所以儿子都不能取，所以fi,1:=sum(fj,0,j为为i的儿子的儿子)i的权值。的权值。|不取的时候，他的所有儿子取不取的时候，他的所有儿子取不取无所谓，不过当然应该取不取无所谓，不过当然应该取价值最大的一种情况。所以价值最大的一种情况。所以fi,0:=sum(max(fj,1,fj,0),j为为i的的i儿子）。儿子）。|这就是树状动规的基本形态。这就是树状动规的基本形态。第62页，本讲稿共74页二二次次动动规规

47、|在动规的基础上再进行动规，就叫做二次在动规的基础上再进行动规，就叫做二次动规。动规。|买票买票|有一座有一座n层的楼房，某个人要到第层的楼房，某个人要到第n层的层的任何一个房间买票。每层楼都有任何一个房间买票。每层楼都有m个房间。个房间。而如果要到第而如果要到第i层的第层的第j个房间买票，那个房间买票，那么必须先在第么必须先在第i-1层的第层的第j个房间买票或个房间买票或者在第者在第i层的与这个房间相邻的房间买过层的与这个房间相邻的房间买过票才行票才行.而每个房间所要收取的票费是而每个房间所要收取的票费是不同的不同的,给定每个房间内买票需要的费用给定每个房间内买票需要的费用,问要在第问要在第

48、n层的任意一间房间内买到票的层的任意一间房间内买到票的最小消费是多少最小消费是多少.第63页，本讲稿共74页买买票票|显然不能写这样的状态转移方程显然不能写这样的状态转移方程:fi,j:=min(fi-1,j,fi,j-1,fi,j+1)+wj.因为因为无法有一种处理顺序使得在无法有一种处理顺序使得在fi,j之前同时求得之前同时求得fi,j-1和和fi,j+1的最优值的最优值.|所以动规分两次进行所以动规分两次进行.第一次用状态转移方第一次用状态转移方程程fi,j:=min(fi,j-1,fi-1,j)+wi求出一个不求出一个不一定是最优的解一定是最优的解.再用再用fi,j:=min(fi,j

49、,fi,j+1,jfromm-1downto1)+wi求出最终的最优解求出最终的最优解,可以证明这样的可以证明这样的能够求出真正的最优解能够求出真正的最优解.|要注意的是这两次动规不能分开做要注意的是这两次动规不能分开做,而要在处而要在处理每一层的时候都要做理每一层的时候都要做,要不然显然无法求得要不然显然无法求得最优值。最优值。第64页，本讲稿共74页综综合合题题|网络（网络（Ural1056,求树的中心）求树的中心）|题目大意是：题目大意是：有一棵有有一棵有N个结个结点的树，给出每个结点的父亲点的树，给出每个结点的父亲（即给出这棵树），边的权都（即给出这棵树），边的权都是是1。每个结点延树

50、的边可以。每个结点延树的边可以走到树的任意一个结点，令走到树的任意一个结点，令Ai为第为第i个结点最远能走的距离，个结点最远能走的距离，求出求出Ai最小的结点有哪些。如最小的结点有哪些。如有多个最小的有多个最小的Ai，则都要输出。，则都要输出。这里这里N=10000N=10000第65页，本讲稿共74页网网络络|枚举每个点，然后枚举每个点，然后DFS复杂度复杂度O(N2)，超时是显然的事情。超时是显然的事情。|可以发现其实有很多可以发现其实有很多DFS都重复做了同样都重复做了同样的工作，产生了浪费，所以应该选择动态的工作，产生了浪费，所以应该选择动态规划解决这个问题。规划解决这个问题。|树上的