积分变换第五章精.ppt

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1、积分变换第五章1第1页，本讲稿共118页1 孤立奇点孤立奇点1.可去奇点2.极点3.本性奇点4.函数的零点与极点的关系5.函数在无穷远点的性态第2页，本讲稿共118页在第二章曾定义函数不解析的点为奇点奇点。如果函数 f(z)虽在z0不解析,但在z0的某个去心邻内处处解析,则z0为 f(z)的孤立奇点孤立奇点。函数的奇点都是孤立的。例如都以z=0为孤立奇点。但不能认为的一个奇点，此外当n的绝对值逐渐增大时,可任意接近 z=0。域例如函数，z=0是它也是它的奇点。第3页，本讲稿共118页换句话说,在z=0的不论怎样小的去心领域内总有 f(z)的奇点存在。所以z=0不是孤立奇点。把函数 f(z)在它

2、的孤立奇点 z0的去心邻域内展开成洛朗级数。根据展开式的不同情况对孤立奇点进行如果在洛朗级数中不含点z0称为 f(z)的可去奇点可去奇点。这时,f(z)在z0的去心邻域内的洛朗级数实际上就是一个普通的幂级数：的负幂项，则孤立奇1.可去奇点可去奇点如下分类。第4页，本讲稿共118页因此,这个幂级数的和函数 F(z)是在 z0解析的函数,且时,F(z)=f(z);当z=z0时,F(z0)=c0。由于当从而函数 f(z)在z0就成为解析的了.由于这个原因,所以z0称为可去奇点可去奇点。所以不论 f(z)原来在z0是否有定义,如果令 f(z0)=c0,则在圆域内就有第5页，本讲稿共118页例如，z=0

3、是的可去奇点，因为这个函数在z=0的去心领域内的洛朗级数中不含负幂项。如果约定在z=0的值为1(即c0)，则在 z=0就成为解析的了。第6页，本讲稿共118页2.极点极点其中如果在洛朗级数中只有有限多个其中关于,即则孤立奇点z0称为函数 f(z)的m级极点级极点。上式也可写成的负幂项,且的最高幂为在内是解析的函数,且。第7页，本讲稿共118页反过来,当任何一个函数 f(z)能表示为(5.1.1)的形式,且g(z0)0时,则z0是 f(z)的m级极点。如果z0为 f(z)的极点,由(5.1.1)式,就有例如，对有理分式函数它的三级极点，是它的一级极点。或写作,z=1是第8页，本讲稿共118页3.

4、本性奇点本性奇点中含有无穷多个z的负幂项。如果在洛朗级数中含有无穷多个孤立奇点z0称为 f(z)的本性奇点本性奇点。的负幂项,则例如，函数以z=0为它的本性奇点。因为在级数在本性奇点的邻域内,f(z)有以下性质(证明从略):第9页，本讲稿共118页在本性奇点的邻域内,f(z)有以下性质(证明从略):如果如果z0为函数为函数 f(z)的本性奇点的本性奇点,则对任意给定的复数则对任意给定的复数 A,总可以找到一个趋向于总可以找到一个趋向于z0 的数列的数列,当当z沿这个数列趋向沿这个数列趋向于于z0时时,f(z)的值趋向于的值趋向于A。则由，可得,显然，当时，所以，当z 沿趋向于i。而趋向于零时，

5、f(z)的值例如,给定复数 A=i,可把它写成第10页，本讲稿共118页存在且有限；如果 z0为 f(z)的极点，则如果z0为 f(z)的本性奇点，则不存在且不为反过来结论也成立。这就是说，可以利用上述极限的；。不同情形来判别孤立奇点的类型。综上所述,如果 z0为 f(z)的可去奇点，则第11页，本讲稿共118页4.函数的零点与极点的关系函数的零点与极点的关系不恒等于零的解析函数 f(z)如果能表示成其中 f(z)的m级零点级零点。例如当 级零点,根据这个定义,可以得到以下结论：若若 f(z)在在z0 解析，则解析，则z0是是 f(z)的的m 级零点的充要级零点的充要在z0解析且,m为某一正整

6、数,则z0称为时,z=0与z=1是它的一级与三条件是条件是第12页，本讲稿共118页事实上，如果 z0 是f(z)的m级零点，那么f(z)可表成如下形式：其中 ,那么 f(z)在z0的泰勒展开式为设 在z0的泰勒展开式为第13页，本讲稿共118页易证z0是 f(z)的m级极点的充要条件充要条件是前m项系数从而知z=1是 f(z)的一级零点。如z=1是 f(z)=z3-1的零点，由于f(1)=3z2|z=1=30,这等价于第14页，本讲稿共118页顺便指出，由于在 z0 的去心邻域内不为零，即的邻域内不为零。这是因为解析函数的零点是孤立的解析函数的零点是孤立的。，必存在，由此得时，有在z0解析且

7、因而它在z0在z0解析,必在z0连续,所以给定，当所以不恒为零，只在z0等于零。也就是说，一个不恒为零的一个不恒为零的第15页，本讲稿共118页定理定理 如果z0是 f(z)的m级极点，则z0就是的m级证证 如果z0是 f(z)的m级极点，则有零点，反过来也成立。其中g(z)在z0解析，且m级极点，则有。所以当时，有函数 h(z)也在z0解析，且。又由于第16页，本讲稿共118页因此只要令，则可得z0 是的m级零点。反过来，如果z0是的m级零点，那么这里在z0解析，且，由此，当时，得第17页，本讲稿共118页而在z0解析，并且，所以z0是 f(z)的m级极点。这个定理为判断函数的极点提供了一个

8、较为简单的方法。第18页，本讲稿共118页例例1 函数有些什么奇点？如果是极点，指出它的级。解解 函数1/sin z的奇点显然是使sin z=0的点。这些奇点是。因为从 sin z0 得或。显然它们是孤，从而有，所以立奇点。由于所以都是sin z的一级零点,也就是sin z的一级极点。第19页，本讲稿共118页注意：在求函数的孤立奇点时，不能一看函数表面极点，其实是一级极点。因为其中的z=0 解析，并且.类似地，z=0是的2级极点而不是3级极点。形式急于作结论。像函数，初看似乎z=0是它的2级第20页，本讲稿共118页例例 下列函数有些什么奇点？如果是极点，指出它的级。解解 (1)显然是三级极

9、点，是二级极点。所以是可去奇点。第21页，本讲稿共118页例例 下列函数有些什么奇点？如果是极点，指出它的级。解解 (3)显然是函数的奇点。所以是六级极点。又第22页，本讲稿共118页5.函数在无穷远点的性态函数在无穷远点的性态如果函数 f(z)在无穷远点z=的去心邻域 R|z|内解析，称点 为为 f(z)的孤立奇点的孤立奇点。作变换规定这个变换把扩充 z 平面上的无穷远点扩充 t 平面上的点，并且映射成，则扩充 z 平面上每一个向无穷到现在为止，讨论函数 f(z)的解析性和它的孤立奇点时，都设z为复平面内的有限远点。至于函数在无穷远点的性态，尚未提及。现在在扩充复平面上对此加以讨论。第23页

10、，本讲稿共118页与扩充 t 平面上向零收敛的序列对应。反过来也是这样。无穷远点收敛的序列相对应。反过来也是这样。同时，把扩充 z平面上的去心领域映射成扩充 t 平面上原点的去心领域，又这样，可把在去心领域对 f(z)的研究化为在内对的研究。显然在内解析，第24页，本讲稿共118页所以z=0是的孤立奇点。规定，如果 t=0是本性奇点，则称点z=是 f(z)的可去奇点，m级极点或本性奇点。由于 f(z)在R|z|+内解析，所以在此圆环域内可以展开成洛朗级数,即有的可去奇点，m 级极点或其中C为R|z|2时，的极点。显见当。所以不是时，的孤立奇点，第36页，本讲稿共118页例例 判定z=是下列函数

11、的什么奇点？解解 (1)所以是可去奇点。所以是本性奇点。所以是可去奇点。第37页，本讲稿共118页2 留数留数1.留数的定义及留数定理留数的定义及留数定理2.留数的计算规则留数的计算规则3.在无穷远点的留数在无穷远点的留数第38页，本讲稿共118页1.留数的定义及留数定理留数的定义及留数定理但是,如果z0为 f(z)的一个孤立奇点,则沿在z0的某一般就不等于零。如果函数 f(z)在z0的邻域内解析,那末根据柯西古萨基本定理个去心邻域其中C为z0领域内任意一条简单闭曲线。内包含 z0 的任意一条正向简单闭曲线C的积分第39页，本讲稿共118页因此将f(z)在此邻域内展开为洛朗级数其中c-1就称为

12、 f(z)的留数留数,也就是上面积分两边除以后，两端沿C逐项积分,右端各项积分除留下的一项等于外,其余各项积分都等于零,所以后所得的数称为 f(z)在z0的留数留数,记作 Resf(z),z0,即第40页，本讲稿共118页即从而有也就是说，f(z)在z0的留数就是f(z)在以z0为中心的圆环域内的洛朗级数中负幂项的系数。第41页，本讲稿共118页定理一定理一(留数定理留数定理)设函数 f(z)在区域D内除有限个Dz1z2z3znC1C2C3CnC孤立奇点z1,z2,.,zn外处处解析。C是D内包围诸奇点的一条正向简单闭曲线,则关于留数，有下面的基本定理(k=1,2,.,n)用互不包含的正向证证

13、 把在C内的孤立奇点zk 简单闭曲线Ck围绕起来,则根据复合闭路定理有第42页，本讲稿共118页即利用这个定理，求沿封闭曲线C的积分，就转化为求被积函数在C中的各孤立奇点处的留数。由此可见，留数定理的效用有赖于如何能有效地求出是 f(z)以除等式两边，得第43页，本讲稿共118页在孤立奇点处z0处的留数。一般说来,求函数在奇点z0处的留数即求它在以z0为中心的圆环域内洛朗级数中对求留数可能更有利。如果z0是f(z)的可去奇点,则 Res f(z),z0=0,因为此时f(z)在z0的展开式是泰勒展开式。如果z0是本性奇点,则没有太好的办法,只好将其按洛朗级数展开。如果z0是极点,则有一些对求项的

14、系数即可。但如果知道奇点的类型,c-1有用的规则。第44页，本讲稿共118页2.留数的计算规则留数的计算规则规则规则II 如果z0为f(z)的m级极点,则规则规则I 如果z0为 f(z)的一级极点,则事实上,由于以乘上式的两端，得第45页，本讲稿共118页令两端zz0,右端的极限是(m-1)!c-1,两端除以(m-1)!就是Resf(z),z0,因此即得规则II,当m=1时就是规则I。两边求m-1阶导数，得规则规则III 设，P(z)及Q(z)在z0都解析，则z0为 f(z)的一级极点，而如果第46页，本讲稿共118页事实上，因为及，所以为Q(z)的一级零点，从而z0为的一级极点。因此其中在z

15、0解析，且。故z0为f(z)的一级极点。由此得其中在z0解析，第47页，本讲稿共118页例例1 计算积分，C为正向圆周|z|=2。解解 由于有两个一级极点而这两个极点都在圆周|z|=2内，所以由规则I,得而根据规则I，令，即得规则III。所以第48页，本讲稿共118页因此我们也可以用规则III来求留数:这比用规则1要简单些.第49页，本讲稿共118页例例 求下各函数 f(z)在有限奇点处的留数：解解 (1)有两个一级极点方法一方法一由规则I,得第50页，本讲稿共118页例例 求下各函数 f(z)在有限奇点处的留数：解解 (1)有两个一级极点方法二方法二由规则III,得第51页，本讲稿共118页

16、例例 求下各函数 f(z)在有限奇点处的留数：解解 (2)的极点为(一一)为一级极点。所以第52页，本讲稿共118页例例 求下各函数 f(z)在有限奇点处的留数：解解 (2)的极点为(二二)的一级极点，是从而是的二级极点，所以第53页，本讲稿共118页例例 求下各函数 f(z)在有限奇点处的留数：解解 (3)有一个n+1级极点方法一方法一由规则II,得第54页，本讲稿共118页例例 求下各函数 f(z)在有限奇点处的留数：解解 (3)方法二方法二将函数在上展开成洛朗级数，即所以有一个n+1级极点第55页，本讲稿共118页例例 求下各函数 f(z)在有限奇点处的留数：解解 (4)方法一方法一将函

17、数在上展开成洛朗级数，所以有一个5级极点第56页，本讲稿共118页例例 求下各函数 f(z)在有限奇点处的留数：解解 (4)方法二方法二由规则II，取m比实际级数高，即m=5，有有一个5级极点第57页，本讲稿共118页例例2 计算积分，C为正向圆周|z|=2。解解 被积函数有四个一级极点都在圆周|z|=2内，所以由规则III，故第58页，本讲稿共118页例例3 计算积分，C为正向圆周|z|=2。解解 z=0为被积函数的一级极点,z=1为二级极点,而所以第59页，本讲稿共118页级数。由于在z=0处的留数。为了要用公式，先应定出极点z=0的以上介绍了求极点处留数的若干公式。用这些公式解题有时虽感

18、方便，但也未必尽然。例如欲求函数因此z=0是z-sinz的三级零点，从而由 f(z)的表达式知,z=0是 f(z)的三级极点。应用规则II，得第60页，本讲稿共118页就比较方便。因为如果利用洛朗展开式求由此可见，往下的运算既要先对一个分式函数求二阶函数，然后又要对求导结果求极限，这就十分繁杂。第61页，本讲稿共118页所以可见解题的关键在于根据具体问题灵活选择方法，不要拘泥于套用公式。第62页，本讲稿共118页3.在无穷远点的留数在无穷远点的留数的值与C无关,称其为 f(z)在在 点的留数点的留数,记作积分路线的方向是负的，也就是顺时针方向。绕原点的任何一条简单闭曲线,则积分设函数 f(z)

19、在圆环域R|z|+内解析,C为圆环域内从第一节可知，当n=-1时，有第63页，本讲稿共118页因此，由(5.2.7)可得这就是说，f(z)在点的留数等于它在点的去心领域R|z|+内洛朗展开式中z-1的系数变号。定理二定理二 如果函数 f(z)在扩充复平面内只有有限个孤立奇点,那末 f(z)在所有各奇点(包括点)的留数总和必等于零。下面的定理在计算留数时是很有用的。第64页，本讲稿共118页证证 除点外,设f(z)的有限个奇点为zk(k=1,2,.,n)。又设C为一条绕原点的并将zk(k=1,2,.,n)包含在它内部的正向简单闭曲线,则根据留数定理与在无穷远点的留数定义,有规则规则IV关于在无穷

20、远点的留数计算，有以下的规则：第65页，本讲稿共118页，那末事实上，在无穷远点的留数定义中，取正向简单闭曲线C为半径足够大的正向圆周：。令，于是有为正向)。并设第66页，本讲稿共118页所以规则IV成立。由于f(z)在内解析,从而内解析，因此在外没有其他奇点。由留数定理，得定理二与规则IV为提供了计算函数沿闭曲线积分在内除的又一种方法，在很多情况下，它比利用上一段中的方法更简便。第67页，本讲稿共118页例例 求函数在点的留数。解解 由而故的项系数为第68页，本讲稿共118页例例 求函数在点的留数。解解而故在有限点处有一级极点：第69页，本讲稿共118页例例 求函数在点奇点类型和留数？解解

21、由故z=是的本性奇点，第70页，本讲稿共118页例例4 计算积分，C为正向圆周：|z|=2。解解在|z|=2的外部除外无奇点，因此又根据定理二与规则IV，因此第71页，本讲稿共118页例例5 计算,C为正向圆周:|z|=2。解解被积函数除外还有奇点：i，1与3。由定理二，有其中由于i与1在C的内部，所以从上式、留数定理与规则IV得到第72页，本讲稿共118页如果用上一段的方法，由于i是10级极点，并且在C的内部，因而计算必然很繁琐。第73页，本讲稿共118页例例 利用留数计算积分：解解 函数在|z|=2的外部除外无奇点，因此在又内把被积函数展开成洛朗级数，有第74页，本讲稿共118页例例 利用

22、留数计算积分：解解所以所以第75页，本讲稿共118页例例 利用留数计算积分：解解 函数在|z|=2的外部除外无奇点，因此根据又定理二与规则IV，则第76页，本讲稿共118页例例 利用留数计算积分：解解所以所以第77页，本讲稿共118页3 留数在定积分计算上的应用留数在定积分计算上的应用1.形如2.形如3.形如的积分的积分的积分第78页，本讲稿共118页根据留数定理，用留数来计算定积分是计算定积分显得有用。即使寻常的方法可用，如果用留数，也往往首先，被积函数必须要与某个解析函数密切相关。这一的一个有效措施，特别是当被积的原函数不易求得时更感到很方便。当然这个方法的使用还受到很大的限制。点，一般讲

23、来，关系不大，因为被积函数常常是初等函数，而初等函数是可以推广到复数域中去的。其次，定积分的积分域是区间，而用留数来计算要牵涉到把问题化为沿闭曲线的积分。这是比较困难的一点。下面来阐述怎样利用复数求某几种特殊形式的定积分的值。第79页，本讲稿共118页其中从而积分化为沿正向单位圆周的积分1.形如形如 的积分的积分,为与的有理函数。令，则第80页，本讲稿共118页其中f(z)是z的有理函数,且在单位圆周|z|=1上分母不为其中zk(k=1,2,.,n)为单位圆|z|=1内的 f(z)的孤立奇点。零,根据留数定理，得所求的积分值：第81页，本讲稿共118页解解 由于0p1,被积函数的分母在内不为零

24、,因而积分是有意义的。由于 因此的值。例例1 计算第82页，本讲稿共118页在被积函数的三个极点 z=0,p,1/p中只有前两个在圆周|z|=1内其中,z=0为二级极点,z=p为一级极点。所以在圆周|z|=1上被积函数无奇点。则第83页，本讲稿共118页因此第84页，本讲稿共118页解解 设代入得的值。例例 计算，将被积函数在被积区域内只有一个一级极点又所以第85页，本讲稿共118页为一已约分式。当被积函数R(x)是x的有理函数,而分母的次数至少比分子的次数高二次,且R(z)在实轴上没有孤立奇点时，积分是存在的。不失一般性，设积分积分2.形如形如第86页，本讲稿共118页取积分路线如图所示,其

25、中CR是以原点为中心,R为半z1z2z3yCR-RROx径的在上半平面的半圆周。取R适当大,使R(z)所有的在上半平面内的极点zk都包在这积分路线内。由留数定理，得第87页，本讲稿共118页此等式不因CR的半径R不断增大而有所改变。因为而当|z|充分大时，总可使第88页，本讲稿共118页由于，故有因此，在半径R充分大的CR上，有如果R(x)为偶函数，所以第89页，本讲稿共118页的一级极点为例例2 计算积分的值.解解 这里，并且实轴上R(z)没有孤立奇点，因此积分是存在的。函数，其中ai与bi在上半平面内。由于第90页，本讲稿共118页所以第91页，本讲稿共118页在上半平面有二级极点为例例

26、计算积分的值.解解 这里，并且实轴上R(z)没有孤立奇点，因此积分是存在的。函数第92页，本讲稿共118页在上半平面有二级极点为例例 计算积分的值.解解 这里，并且实轴上R(z)没有孤立奇点，因此积分是存在的。函数，一级极点为第93页，本讲稿共118页例例 计算积分的值.解解第94页，本讲稿共118页当R(x)是x的有理函数而分母的次数至少比分子的次数高一次,且R(z)在实数轴上没有奇点时,积分是存3.形如形如的积分的积分在的象2中处理的一样,由于m-n1,故对充分大的|z|有因此,在半径R充分大的CR上,有第95页，本讲稿共118页上面用到不等式于是得或yOx第96页，本讲稿共118页在上半

27、平面内有一级极点ai,例例3 计算的值。解解 这里。R(z)的实轴上无孤立奇点，因而所求的积分是存在的。因此第97页，本讲稿共118页因此还可以利用复变函数计算出下列积分值:第98页，本讲稿共118页在上半平面内有一级极点z=-2+i，例例 计算的值。解解 这里。R(z)的实轴上无孤立奇点，因而所求的积分是存在的。第99页，本讲稿共118页因此例例 计算的值。解解第100页，本讲稿共118页在上半平面内有一级极点z=i,例例 计算的值。解解 这里。R(z)的实轴上无孤立奇点，因而所求的积分是存在的。第101页，本讲稿共118页例例 计算解解因此的值。第102页，本讲稿共118页例例4 计算积分

28、解解因为且在实轴上。为了使积分路线不通过奇点，可以取路线的值。是偶函数，所以yCR-RROx-rr如上图所示，由柯西古萨基本定理，有因此可以选择函数沿某一条闭曲线的积分来计算上式各端的积分。但函数只有一个z=的一级极点，第103页，本讲稿共118页yCR-RROx-rr令x=t，则有所以即例例4 计算积分的值。第104页，本讲稿共118页因此,要算出所求积分的值,只需求出极限与下面将证明由于例例4 计算积分的值。第105页，本讲稿共118页由于所以例例4 计算积分的值。第106页，本讲稿共118页由于由于其中在z=0处解析，且j(0)=i，当|z|充分小时可使|j(z)|2，例例4 计算积分的

29、值。第107页，本讲稿共118页而在r充分小时，有例例4 计算积分的值。第108页，本讲稿共118页从而有因此得例例4 计算积分的值。第109页，本讲稿共118页所以可得即这个积分在研究阻尼振动中有用。例例4 计算积分的值。第110页，本讲稿共118页例例 计算泊松积分(Possion)解解：记则所以另外所以111第111页，本讲稿共118页扇形的边界，如右图所示。又函数例例5 证明所以它的实部与虚部分别就是所求(已知证证：考虑函数，当z=x时，积分的被积函数。取积分闭曲线为一半径为R的函数就可写为：在D内及其边界C上解析，根据柯西古萨基本定理，有第112页，本讲稿共118页例例5 证明即(已

30、知证证：在OA上，x从0到R；在AB上，在BO上，。则上式成为或第113页，本讲稿共118页例例5 证明即(已知证证：在OA上，x从0到R；在AB上，在BO上，。则上式成为或第114页，本讲稿共118页例例5 证明即(已知证证：在OA上，x从0到R；在AB上，在BO上，。则上式成为或115第115页，本讲稿共118页例例5 证明(已知证证：当时，上式右端的而第二个积分的绝对值：第一个积分为第116页，本讲稿共118页例例5 证明(已知证证：由此可知时，第二个积分趋于零，从而有令两端的实部与虚部分别相等，得第117页，本讲稿共118页例例4 计算积分的值。例例5 证明(已知这两个积分称为菲涅耳(Fresnel)积分，在光学的研究中很有用。118第118页，本讲稿共118页