矢量分析与场论讲义精.ppt

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1、矢量分析与场论讲义第1页，本讲稿共119页一一、场的概念场的概念 场是用空间位置函数来表征的。场是用空间位置函数来表征的。若对全空间或其中若对全空间或其中某一区域某一区域 V 中每一点中每一点 M,都有一都有一 个个数量数量 (或或矢量矢量)与与之对应之对应,则称在则称在 V 上确定了一个上确定了一个 数量场数量场 (或或矢量场矢量场).场都是矢量场。场都是矢量场。例如例如:温度场和密度场都是数量场温度场和密度场都是数量场,重力场和速度重力场和速度若场中物理量在各点处的对应值不随时间变化，若场中物理量在各点处的对应值不随时间变化，就称为就称为稳定场稳定场，否则，称为，否则，称为不稳定场不稳定场

2、。第2页，本讲稿共119页注注 引入或选择某种坐标系是为了便于通过数学方法来引入或选择某种坐标系是为了便于通过数学方法来 进行计算和研究它的性质进行计算和研究它的性质.2.2.场的性质是它本身的属性场的性质是它本身的属性,和坐标系的引进无关和坐标系的引进无关.1.1.场的特点：场的特点：分布于整个空间，看不见，摸不着，只能借助仪器分布于整个空间，看不见，摸不着，只能借助仪器 进行观察测量，靠人脑去想像其分布情况；进行观察测量，靠人脑去想像其分布情况；具有客观物质的一切特征，有质量、动量和能量。具有客观物质的一切特征，有质量、动量和能量。第3页，本讲稿共119页3、描述方法、描述方法 函数表示法

3、：借助一定坐标系下的函数来表示场的分函数表示法：借助一定坐标系下的函数来表示场的分布。对矢量场，用布。对矢量场，用 ；数量场常用；数量场常用 表述。表述。几何表示法，也叫图示法：用能反映场性质和分布的一族几何表示法，也叫图示法：用能反映场性质和分布的一族曲线或曲面表示场的分布特征，分别称为矢量线（像电力曲线或曲面表示场的分布特征，分别称为矢量线（像电力线、磁力线）；等值面（像等温面，等位面）。线、磁力线）；等值面（像等温面，等位面）。第4页，本讲稿共119页二、数量场、矢量场的描述方法二、数量场、矢量场的描述方法 以下讨论中总是设它对每以下讨论中总是设它对每个变量都有一阶连续偏导数。个变量都有

4、一阶连续偏导数。因此给定了某个数量场就等于给定了一个数性函数因此给定了某个数量场就等于给定了一个数性函数 在引进了直角坐标系后在引进了直角坐标系后,点点 M 的的位置可由坐标确定。位置可由坐标确定。同理同理,每每个矢量个矢量场场都与某个矢性函数都与某个矢性函数 并假定它们有一阶连续偏导数并假定它们有一阶连续偏导数。相相对应对应.这里这里 为所定义区域上的数性函数为所定义区域上的数性函数,第5页，本讲稿共119页数量场的等值面（数量场的等值面（线线）：）：是由场中使是由场中使u u取相同数值的点所组成的曲面。取相同数值的点所组成的曲面。（c c值不同对应不同等值面）值不同对应不同等值面）等值等值

5、面面其方程为其方程为等值线等值线在某一高度上沿什么方向高度变化最快在某一高度上沿什么方向高度变化最快？直观表示数量直观表示数量u u在场中的分布。在场中的分布。第6页，本讲稿共119页以温度场为例：以温度场为例：热源热源等温面等温面等值面举例等值面举例可以看出：可以看出：数量场的函数是单值函数，各等值面是数量场的函数是单值函数，各等值面是互不相交的。互不相交的。第7页，本讲稿共119页 矢量矢量场场的矢量的矢量线线：矢量矢量线线上每一点上每一点处处曲曲线线与与对应对应于于该该点的矢量相切。点的矢量相切。直观描述矢量在场中的分布情况。直观描述矢量在场中的分布情况。2.矢量线连续分矢量线连续分布，

6、一般互不相交。布，一般互不相交。图图2 矢量线矢量线ArMxyzol观察：观察：1.1.在曲线上的每一点在曲线上的每一点M处，处，场的场的矢量矢量都位于该点处的都位于该点处的切线切线上（如图所示），称其为上（如图所示），称其为矢量线矢量线。例：静电场电力线、磁场。例：静电场电力线、磁场的磁力线、流速场中的流线等。的磁力线、流速场中的流线等。第8页，本讲稿共119页MA(r )drrO 矢量矢量线线的微分方程的微分方程：M点位置点位置矢量矢量线线l 微分微分 场矢量场矢量l第9页，本讲稿共119页矢量线在这点的切线的方向余弦和矢量线上的矢量线在这点的切线的方向余弦和矢量线上的 成比例，从而得到矢

7、量线应满足的微分方程成比例，从而得到矢量线应满足的微分方程 在场矢量在场矢量 不为零的条件下，由线性微分方程组的理不为零的条件下，由线性微分方程组的理论可知所考虑的整个场被矢量线所填满，而通过场中每论可知所考虑的整个场被矢量线所填满，而通过场中每一点有一条且只有一条这样的曲线，且过不同的点的两一点有一条且只有一条这样的曲线，且过不同的点的两条矢量线没有公共点。条矢量线没有公共点。例例2 2 求矢量场求矢量场的的矢量线方程。矢量线方程。第10页，本讲稿共119页【例1】设设点点电电荷荷q q位位于于坐坐标标原原点点，它它在在空空间间一一点点M(x,y,z)处所产生的电场强度矢量为处所产生的电场强

8、度矢量为 式式中中，q、均均为为常常数数，r=xi+yj+zk为为M点点的的位位置置矢矢量量。求求E的矢量线方程并画出矢量线图的矢量线方程并画出矢量线图。整理求解作图整理求解作图矢量的直角矢量的直角坐标系方程坐标系方程矢量线的矢量线的微分方程微分方程解题过程：解题过程：第11页，本讲稿共119页图图 点电荷的电场矢量线点电荷的电场矢量线(P27)(P27)第12页，本讲稿共119页2 2、方向导数、方向导数 方向导数是数性函数方向导数是数性函数 在一点处沿任意方向在一点处沿任意方向 对距对距离的变化率，它的数值与所取离的变化率，它的数值与所取 的方向有关，的方向有关，一般来说，在不同的方向上一

9、般来说，在不同的方向上 的值是不同的，但的值是不同的，但它并不是矢量。如图所示它并不是矢量。如图所示，为场中的任意方向为场中的任意方向，M0是这是这个方向线上给定的一点个方向线上给定的一点，M为同一线上邻近的一点。为同一线上邻近的一点。M0M第13页，本讲稿共119页 为为M0 0和和M之间的距离之间的距离，从从M0 0沿沿 到到M的增量为的增量为若下列极限若下列极限存在，则该极限值记作存在，则该极限值记作 ，称之为数量场称之为数量场 在在M0 0处沿处沿 的方向导数。的方向导数。第14页，本讲稿共119页例题例例1 1 求函数求函数方向的方向的方向导数。方向导数。例例3 3 设设例例4 4

10、求数量场求数量场方向的方向的方向导数。方向导数。第15页，本讲稿共119页3 3、梯度、梯度 由于从一点出发，有无穷多个方向，即数量场由于从一点出发，有无穷多个方向，即数量场沿某一确定方向取得沿某一确定方向取得 在该点的最大方向导数，在该点的最大方向导数，则可引进梯度概念。则可引进梯度概念。在一点处的方向导数有无穷多个，其中，若过一点在一点处的方向导数有无穷多个，其中，若过一点 梯度：梯度：（场在某点的梯度为一矢量）它的大小等于（场在某点的梯度为一矢量）它的大小等于所有方向导数的最大值，它的方向为取得最大值的方所有方向导数的最大值，它的方向为取得最大值的方向。向。梯度梯度(Gradient)第

11、16页，本讲稿共119页 梯度、方向导数与梯度、方向导数与等值面等值面当当 ,即即 与与 方向一致时方向一致时,为最大。为最大。第17页，本讲稿共119页 总结：数量场梯度的性质总结：数量场梯度的性质（1）数量场沿任一方向的方向导数等于梯度在该方向）数量场沿任一方向的方向导数等于梯度在该方向的投影。的投影。（2）数量场在任一点的梯度垂直于过该点的等值面，）数量场在任一点的梯度垂直于过该点的等值面，且指向场增大的一方。（注意：等值面的法向有两且指向场增大的一方。（注意：等值面的法向有两个）个）（3）一个数量场的梯度（一旦）确定，则该数量）一个数量场的梯度（一旦）确定，则该数量场也随之确定，最多相

12、差一个任意常数场也随之确定，最多相差一个任意常数第22页，本讲稿共119页 标量场的梯度垂直于通过该点的等值面（或切平面）标量场的梯度垂直于通过该点的等值面（或切平面）数量场沿任一方向的方向导数等于梯度在该方向的投影。数量场沿任一方向的方向导数等于梯度在该方向的投影。例例1 1 三维高度场的梯度三维高度场的梯度图 三维高度场的梯度例例2 2 电位场的梯度电位场的梯度图 电位场的梯度 梯度、方向导数与梯度、方向导数与等值面等值面第23页，本讲稿共119页3 矢量场的通量与散度矢量场的通量与散度 第25页，本讲稿共119页1、通量通量 一个矢量场空间中，在单位时间内，沿着矢量场一个矢量场空间中，在

13、单位时间内，沿着矢量场 方方向通过向通过 的流量是的流量是dQ，而而dQ是以是以ds为底为底，以以v cos为高的为高的斜柱体的体积，即斜柱体的体积，即称为矢量称为矢量 通过面元通过面元 的通量的通量。对于有向曲面对于有向曲面s，总可以总可以将将s分成许多足够小的面元分成许多足够小的面元 ，于是于是ds第26页，本讲稿共119页通过曲面通过曲面s的通量的通量ff即为每一面元通量之和即为每一面元通量之和对于闭合曲面对于闭合曲面s，通量通量ff为为向量场向量场 沿选定方向的曲面沿选定方向的曲面S的面积分的面积分定义定义称为称为 向曲面指定一侧穿过曲面向曲面指定一侧穿过曲面S的的通量通量。第27页，

14、本讲稿共119页例题例例1 1 设由矢径设由矢径圆锥面圆锥面曲面曲面S。P55 3.求矢量场求矢量场所围成的封闭所围成的封闭有一由有一由第28页，本讲稿共119页如果曲面如果曲面s是闭合的，并规定曲面法矢由闭合曲是闭合的，并规定曲面法矢由闭合曲面内指向外，矢量场对闭合曲面的通量是：面内指向外，矢量场对闭合曲面的通量是：第29页，本讲稿共119页（）（）（）表示有净的矢量线流表示有净的矢量线流入，闭合面内有吸收入，闭合面内有吸收矢量线的矢量线的负源负源；表示有净的矢量线表示有净的矢量线流出流出，闭合面内有闭合面内有产生矢量线的产生矢量线的正源正源；表示流入和流出闭表示流入和流出闭合曲面的矢量线相

15、合曲面的矢量线相等或没有矢量线流等或没有矢量线流入、流出闭合曲面入、流出闭合曲面第30页，本讲稿共119页闭合曲面的通量从宏观上建立了矢量场通过闭闭合曲面的通量从宏观上建立了矢量场通过闭合曲面的通量与曲面内产生矢量场的源的关系合曲面的通量与曲面内产生矢量场的源的关系 若若S S 为闭合曲面，可根据净通量为闭合曲面，可根据净通量 的大小判的大小判断闭合面中源的性质断闭合面中源的性质:0(有正源有正源)0(有负源有负源)=0 (无源无源)第31页，本讲稿共119页2、散度、散度 设封闭曲面设封闭曲面s所包围的体积为所包围的体积为 ，则，则 就是矢量场就是矢量场 在在 中单位体积的平均通量，或者中单

16、位体积的平均通量，或者 平均发散量。当闭合曲面平均发散量。当闭合曲面s及其所包围的体积及其所包围的体积 向向 其内某点其内某点 收缩时，若平均发散量的极限值存在，收缩时，若平均发散量的极限值存在，便记作便记作称为矢量场称为矢量场 在该点的在该点的散度散度(div是是divergence的缩写的缩写)。第32页，本讲稿共119页 散度的重要性在于，可用表征空间各点矢量场发散的强弱散度的重要性在于，可用表征空间各点矢量场发散的强弱程度，当程度，当div ，表示该点有散发通量表示该点有散发通量的正源；当的正源；当div ，表示该点有吸收通量的负源；，表示该点有吸收通量的负源；当当div ，表示该点为

17、无源场。，表示该点为无源场。的散度为的散度为定理定理 重重点点散度散度(Divergence)的表达式的表达式第33页，本讲稿共119页 直接从散度的定义出发，不难得到矢量场直接从散度的定义出发，不难得到矢量场 在空间任意闭合曲面的通量等于该闭合曲在空间任意闭合曲面的通量等于该闭合曲 面所包含体积中矢量场散度的积分。面所包含体积中矢量场散度的积分。上式称为上式称为矢量场的矢量场的Gauss定理定理。积分的积分的Gauss定理定理注：它能把一个闭合曲面的面积分转为对注：它能把一个闭合曲面的面积分转为对该曲面所包围体积的体积分，反之亦然。该曲面所包围体积的体积分，反之亦然。第34页，本讲稿共119

18、页4 矢量场的环量及旋度矢量场的环量及旋度(Rotation)第36页，本讲稿共119页1.1.矢量场的环量矢量场的环量定义：定义：线矢量线矢量l:矢量场矢量场A中的中的 一条一条封闭封闭的有向曲线的有向曲线 环量环量：（图（图2 2）性质：性质：是标量是标量 0，l 内有旋涡源内有旋涡源 =0，l 内无旋涡源内无旋涡源图2 矢量场的环量矢量场的环量(P56(P56)第37页，本讲稿共119页定义定义线积分线积分向量场向量场 沿空间有向闭曲线沿空间有向闭曲线 l 的的称为称为 沿闭曲线沿闭曲线l的环量的环量。环量的表达式环量的表达式 图图3 闭合曲线方向与面元的闭合曲线方向与面元的 方向示意图

19、方向示意图(P59)(P59)定义定义：若：若 存在，则存在，则 称此极限为矢量场称此极限为矢量场 A沿沿l之正向的环量之正向的环量 在点在点P处沿处沿n方向方向的的 环量面密度。环量面密度。第38页，本讲稿共119页性质：性质：l围成的面元法矢量围成的面元法矢量 旋涡面的方向旋涡面的方向矢量矢量R在任意面元方向上的投影就给出该方向的环量面密度在任意面元方向上的投影就给出该方向的环量面密度方向为环量面密度最大的方向；模为最大环量面密度的方向为环量面密度最大的方向；模为最大环量面密度的值值 旋度的定义旋度的定义定义：固定矢量定义：固定矢量R为矢量为矢量A的旋度，记作的旋度，记作：rot A=R重

20、合，最大重合，最大夹角，中间值夹角，中间值垂直，垂直，0 0R旋度矢量旋度矢量第39页，本讲稿共119页图图4 旋度及其投影旋度及其投影 旋度矢量旋度矢量R在在n方向的投影方向的投影:第40页，本讲稿共119页定义定义 向量场向量场的旋度定义为的旋度定义为 旋度旋度(Rotation or Curl)简单地说简单地说,旋度旋度是个矢量，它的物理意义是个矢量，它的物理意义是场在该矢量方向上旋转性的强弱。是场在该矢量方向上旋转性的强弱。第43页，本讲稿共119页l利用环量与旋度利用环量与旋度(它可以从整体上描述场旋它可以从整体上描述场旋转的强度转的强度)，我们可以用向量的形式重写，我们可以用向量的

21、形式重写Stokes公式公式。第44页，本讲稿共119页小结小结1、散度散度（流出的量）（流出的量）发散源发散源 通量即该矢量通量即该矢量(的垂直平面分量的垂直平面分量)穿过平面的大小穿过平面的大小 一般点的散度为一般点的散度为0，散度不为，散度不为0的点表示该点有提供源的点表示该点有提供源(source)散度是标量，物理意义为通量源密度，可以从散度是标量，物理意义为通量源密度，可以从Gauss公式理解公式理解 散度为零，说明是无源场；散度不为零时，则说明是有源场（有散度为零，说明是无源场；散度不为零时，则说明是有源场（有正源或负源）正源或负源）矢量场矢量场第45页，本讲稿共119页2、旋度（

22、旋度（没有流出的量）没有流出的量）旋涡源旋涡源 旋度即该矢量旋度即该矢量(的平行平面分量的平行平面分量)沿平面的大小密度沿平面的大小密度(即大小即大小/面积面积)旋度不为旋度不为0 0表示有量在该平面表示有量在该平面“逗留逗留”旋度是矢量；其物理意义为环量密度，可以从旋度是矢量；其物理意义为环量密度，可以从StokesStokes公式里公式里理解理解 旋度为零，说明是无旋场；旋度不为零时，则说明是有旋旋度为零，说明是无旋场；旋度不为零时，则说明是有旋场场 第46页，本讲稿共119页一、无旋场一、无旋场 5 几种重要的矢量场几种重要的矢量场第47页，本讲稿共119页无旋场无旋场有势场有势场保守场

23、保守场第48页，本讲稿共119页空心球体空心球体环面体环面体第49页，本讲稿共119页二、无源场二、无源场矢量管：矢量线构成的管形曲线（矢量线与曲面重合）矢量管：矢量线构成的管形曲线（矢量线与曲面重合）第50页，本讲稿共119页第51页，本讲稿共119页矢量场的矢量场的Helmholtz定理定理 空间区域空间区域V上的任意矢量场，如果它的散度、旋度和边上的任意矢量场，如果它的散度、旋度和边界条件为已知，则该矢量场唯一确定，并且可以表示为界条件为已知，则该矢量场唯一确定，并且可以表示为一无旋矢量场和一无源矢量场的叠加，即一无旋矢量场和一无源矢量场的叠加，即：第52页，本讲稿共119页三、管形场与

24、有势场三、管形场与有势场 式知道式知道,此时沿任何封闭此时沿任何封闭曲面的曲面积分都等于零曲面的曲面积分都等于零.中作一矢量管中作一矢量管(图图2),即由矢量线围成的管状的即由矢量线围成的管状的 若一个矢量场若一个矢量场 的散度恒的散度恒 为零为零,即即 我们曾我们曾 称称 为无源场为无源场.从高斯公从高斯公 我们又把我们又把 称作称作管形场管形场.这是因为这是因为,若在矢量场若在矢量场 曲面曲面.用断面用断面 去截它去截它,以以 表示所截出的管表示所截出的管 第53页，本讲稿共119页的表面的表面,这这就得到了由就得到了由所所围围成的封成的封闭闭曲面曲面 S.于是由于是由(1)式得出式得出而

25、矢量线与曲面而矢量线与曲面的法线正交的法线正交,所以所以第54页，本讲稿共119页这等式说明了流体通过矢量管的任意断面的流量是这等式说明了流体通过矢量管的任意断面的流量是 间单连通区域内沿任何封闭曲线的曲线积分都等于间单连通区域内沿任何封闭曲线的曲线积分都等于 相同的相同的,所以把所以把场场 称称为为管形管形场场.若一个矢量场若一个矢量场 的旋度恒为零的旋度恒为零,即即 我们在我们在 前面称前面称 为无旋场为无旋场.从斯托克斯公式知道从斯托克斯公式知道,这时在空这时在空 零零,这这种种场场也称也称为为有有势场势场.这这是因是因为为当当 时时,第55页，本讲稿共119页由定理由定理1推得空间曲线

26、积分与路线无关推得空间曲线积分与路线无关,且存在且存在某函数某函数,使得使得即即 则则必存在某个必存在某个势势函数函数 v,使得使得这这也是一也是一 个矢量场是某个数量场的梯度场的充要条件个矢量场是某个数量场的梯度场的充要条件.通常称通常称v=-u 为为势函数势函数.因此若某矢量场因此若某矢量场 的旋度为零的旋度为零,第56页，本讲稿共119页若一个矢量场既是管量场若一个矢量场既是管量场,又是有势场又是有势场,则称这个矢则称这个矢 量场为量场为调和场调和场.若若 是一个调和场是一个调和场,则必有则必有 即必有即必有u 满足满足 这时称函数这时称函数 u 为为调和函数调和函数.也有也有v=-u

27、为调和函数。为调和函数。显然显然第57页，本讲稿共119页例例4验证向量场验证向量场是有势场，并求其势函数是有势场，并求其势函数.解解因因所以，所以，为有势场为有势场。以下介绍两种求以下介绍两种求势函数势函数方法方法。在积分与路径无关条件下，选择在积分与路径无关条件下，选择特殊路径，用线积分求势函数法特殊路径，用线积分求势函数法.方法方法1 1第63页，本讲稿共119页此例选积分路径由此例选积分路径由yxo即：即：是是 的一个原函数的一个原函数 (力函数力函数)。第64页，本讲稿共119页势函数一般表达式为：势函数一般表达式为：用用偏积分偏积分求势函数求势函数.要求函数要求函数即即亦即亦即先对先对 式，视式，视 为定数，两边对为定数，两边对 积分：积分：方法方法2第65页，本讲稿共119页这个积分这个积分“常数常数”当然可能是当然可能是 y 的函数，的函数，故记作故记作将将(c)式两端对式两端对 y求导求导,并与并与(b)式比较，得：式比较，得：代入代入(c)式式第66页，本讲稿共119页