人教版高中数学椭圆专栏预习复习资料.doc

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1、#* 高中数学椭圆的专题复习高中数学椭圆的专题复习 椭圆知识点梳理椭圆知识点梳理1.1. 椭圆的定义椭圆的定义：1,2（1）椭圆椭圆：焦点在轴上时（）（参数方程，其中为参数），焦x12222 by ax222abccos sinxa yb 点在轴上时1（）。方程表示椭圆的充要条件是什么？（ABC0，且y2222bx ay0ab22AxByCA，B，C 同号，AB）。2.2. 椭圆的几何性质椭圆的几何性质：（1）椭圆椭圆（以（）为例）：范围：；焦点：两个焦点12222 by ax0ab,axabyb ；对称性：两条对称轴，一个对称中心（0,0），四个顶点，其中长轴长为 2(,0)c0,0xy(,

2、0),(0,)ab，短轴长为 2；准线：两条准线； 离心率：，椭圆，越小，椭圆越圆；越ab2axc cea01eee大，椭圆越扁。通径22b a2.点与点与椭圆的位置关系椭圆的位置关系：（1）点在椭圆外；00(,)P xy22 00 221xy ab（2）点在椭圆上1；00(,)P xy22 0 22 0 by ax（3）点在椭圆内00(,)P xy22 00 221xy ab3 3直线与圆锥曲线的位置关系直线与圆锥曲线的位置关系： （1）相交：直线与椭圆相交；（2）相切：直线与椭圆相切； （3）相离：直线0 0 0 与椭圆相离； 如如: :直线 ykx1=0 与椭圆恒有公共点，则 m 的取值

3、范围是_（答：1，5）（5，+）22 15xy m；4 4、焦半径、焦半径（圆锥曲线上的点 P 到焦点 F 的距离）的计算方法的计算方法：利用圆锥曲线的第二定义，转化到相应准线的 距离，即焦半径，其中表示 P 到与 F 所对应的准线的距离。0redaexd如（如（1 1）已知椭圆上一点 P 到椭圆左焦点的距离为 3，则点 P 到右准线的距离为_（答：10/3）；1162522 yx（2 2）椭圆内有一点，F 为右焦点，在椭圆上有一点 M，使 之值最小，则点13422 yx) 1, 1 ( PMFMP2M 的坐标为_（答：）；) 1,362(5 5、焦点三角形、焦点三角形（椭圆或双曲线上的一点与

4、两焦点所构成的三角形）问题问题：，当2 0tan|2Sbc y即为短轴端点时，的最大值为 bc；0|ybPmaxS6 6、弦长公式、弦长公式：若直线与圆锥曲线相交于两点 A、B，且分别为 A、B 的横坐标，则ykxb12,x xAB#*，若分别为 A、B 的纵坐标，则，若弦 AB 所在直线方程设为2 121kxx12,y yAB21211yyk，则。特别地，焦点弦（过焦点的弦）：焦点弦的弦长的计算，一般不用弦长公xkybAB2 121kyy式计算，而是将焦点弦转化为两条焦半径之和后，利用第二定义求解。7 7、圆锥曲线的中点弦问题：、圆锥曲线的中点弦问题：遇到中点弦问题常用“韦达定理韦达定理”或

5、或“点差法点差法”求解。在椭圆中，以12222 by ax为中点的弦所在直线的斜率 k=；00(,)P xy0202yaxb如（如（1 1）如果椭圆弦被点 A（4，2）平分，那么这条弦所在的直线方程是 （答：22 1369xy）；（2 2）已知直线 y=x+1 与椭圆相交于 A、B 两点，且线段 AB 的中点在280xy22221(0)xyabab直线 L：x2y=0 上，则此椭圆的离心率为_（答：）；（3 3）试确定 m 的取值范围，使得椭圆2 2上有不同的两点关于直线对称（答：）； 13422 yxmxy 42 13 2 13,1313特别提醒特别提醒：因为是直线与圆锥曲线相交于两点的必要

6、条件，故在求解有关弦长、对称问题时，务必别忘0 了检验！0 椭圆知识点椭圆知识点1 1如何确定椭圆的标准方程？ 任何椭圆都有一个对称中心，两条对称轴。当且仅当椭圆的对称中心在坐标原点，对称轴是坐标轴，椭圆的方 程才是标准方程形式。此时，椭圆焦点在坐标轴上。确定一个椭圆的标准方程需要三个条件：两个定形条件；一个定位条件焦点坐标，由焦点坐标的形式确定ba,标准方程的类型。2 2椭圆标准方程中的三个量的几何意义cba,椭圆标准方程中，三个量的大小与坐标系无关，是由椭圆本身的形状大小所确定的。分别表示椭圆的长cba,半轴长、短半轴长和半焦距长，均为正数，且三个量的大小关系为：，且。)0( ba)0(

7、ca)(222cba可借助右图理解记忆： 显然：恰构成一个直角三角形的三条边，其中 a 是斜边，cba,b、c 为两条直 角边。#* 3如何由椭圆标准方程判断焦点位置椭圆的焦点总在长轴上，因此已知标准方程，判断焦点位置的方法是：看，的分母的大小，哪个分母大，2x2y焦点就在哪个坐标轴上。4方程是表示椭圆的条件均不为零）CBACByAx,(22方程可化为，即，所以只有 A、B、C 同号，且 AB 时，方程表CByAx22122 CBy CAx122 BCByACx示椭圆。当时，椭圆的焦点在轴上；当时，椭圆的焦点在轴上。BC ACxBC ACy5求椭圆标准方程的常用方法： 待定系数法：由已知条件确

8、定焦点的位置，从而确定椭圆方程的类型，设出标准方程，再由条件确定方程中的参数的值。其主要步骤是“先定型，再定量”；cba,定义法：由已知条件判断出动点的轨迹是什么图形，然后再根据定义确定方程。 6共焦点的椭圆标准方程形式上的差异共焦点，则 c 相同。与椭圆共焦点的椭圆方程可设为，此12222 by ax)0( ba12222 mby max)(2bm类问题常用待定系数法求解。 7判断曲线关于轴、轴、原点对称的依据： xy 若把曲线方程中的换成，方程不变，则曲线关于轴对称；xxy 若把曲线方程中的换成，方程不变，则曲线关于轴对称；yyx 若把曲线方程中的、同时换成、，方程不变，则曲线关于原点对称

9、。xyxy 8如何求解与焦点三角形PF1F2（P 为椭圆上的点）有关的计算问题？ 思路分析：与焦点三角形PF1F2有关的计算问题时，常考虑到用椭圆的定义及余弦定理（或勾股定理）、三角形面积公式相结合的方法进行计算解题。2121sin2121PFFPFPFSFPF将有关线段，有关角 ()结合起来，建立、2121FFPFPF、21PFF21PFF21BFF21PFPF 之间的关系. 21PFPF 9如何计算椭圆的扁圆程度与离心率的关系？ 长轴与短轴的长短关系决定椭圆形状的变化。离心率，因为，用) 10(eace222bac0 ca表示为。ba、) 10()(12eabe显然：当越小时，越大，椭圆形

10、状越扁；当越大，越小，椭圆形状越趋近于圆。ab) 10( eeab) 10( ee#*椭椭 圆圆 题型题型 1:椭圆定义的运用椭圆定义的运用例 1、已知为椭圆的两个焦点，过的直线交椭圆于 A、B 两点若，则12,F F22 1259xy1F2212F AF B_。AB 例 2、椭圆有这样的光学性质：从椭圆的一个焦点出发的光线，经椭圆反射后，反射光线经过椭圆的另一个焦点， 今有一个水平放置的椭圆形台球盘，点 A、B 是它的焦点，长轴长为 2a，焦距为 2c，静放在点 A 的小球（小球的半 径不计），从点 A 沿直线出发，经椭圆壁反弹后第一次回到点 A 时，小球经过的路程是 例 3、如果方程表示焦

11、点在 x 轴的椭圆，那么实数 k 的取值范围是_.222xky例 4、已知为椭圆上的一点，分别为圆和圆上的点，则P22 12516xy,M N2231xy2234xy的最小值为 PMPN题型题型 2： 求椭圆的标准方程求椭圆的标准方程 例 1、求满足下列各条件的椭圆的标准方程. （1）经过两点、； ) 2, 3(A( 2 3,1)B (2)经过点(2，3)且与椭圆具有共同的焦点. 364922yx（3）一个焦点与短轴两端点的连线互相垂直，且此焦点与长轴上较近的端点距离为4.4 2题型题型 3:求椭圆的离心率（或范围）求椭圆的离心率（或范围）例 1、中，若以为焦点的椭圆经过点，则椭圆的离心率为

12、.ABC030 ,2,3ABCAABS ,A BC例 2、过椭圆的一个焦点作椭圆长轴的垂线交椭圆于 P，若 为等腰直角三角形，则椭圆的离心率为 2F12FPF题型题型 4:椭圆的其他几何性质的运用（范围、对称性等）椭圆的其他几何性质的运用（范围、对称性等）例 1、已知实数满足,则的范围为 , x y22 142xy22xyx#*例 2、已知 P 是椭圆上一点，是椭圆的两个焦点，求的最大值与最小值22221xy ab12,F F12PFPF例 3、已知点是椭圆（）上两点,且,则= ,A B22221xy mn0,0mnAOBO 例 4、如上图，把椭圆的长轴分成 8 等份，过每个分点作轴的垂线交椭

13、圆的上半部分于22 12516xyABx七个点，是椭圆的一个焦点，则_1,234567,P P P P P P PF1234567PFP FPFP FPFP FP F题型题型 5：焦点三角形问题：焦点三角形问题例 1、已知为椭圆的两个焦点，p 为椭圆上的一点，已知为一个直角三角形的三个顶点，12,F F22 194xy12,P F F且,求的值；12PFPF12PF PF例 2、已知为椭圆 C:的两个焦点，在 C 上满足的点的个数为 12,F F22 184xy12PFPF例 3、若为椭圆的两个焦点，p 为椭圆上的一点，当为钝角时，点 P 横坐标的取值范围为 12,F F22 194xy12F

14、PF例 4、已知椭圆的焦点是,且经过点（1，） 求椭圆的方程; 设点 P 在椭圆上,且) 1 , 0 (),1, 0 (21FF3 2 ,求 cos.121 PFPF21PFF题型题型 6: 三角代换的应用三角代换的应用例 1、椭圆上的点到直线 l:的距离的最小值为_22 1169xy90xy例 2、椭圆的内接矩形的面积的最大值为 22 1169xy题型题型 7：直线与椭圆的位置关系的判断：直线与椭圆的位置关系的判断#*例 1、当为何值时，直线与椭圆相交？相切？相离？myxm22 1169xy例 2、若直线与椭圆恒有公共点，求实数的取值范围； )( 1Rkkxy1522 myxm题型题型 8：

15、弦长问题：弦长问题例 3求直线被椭圆所截得的弦长. 24yx224199xy例 4、已知椭圆的左右焦点分别为 F1,F2，若过点 P（0，-2）及 F1的直线交椭圆于 A,B 两点，求ABF22 212xy的面积； 题型题型 9：中点弦问题：中点弦问题例 5、求以椭圆内的点 A（2，-1）为中点的弦所在的直线方程。22 185xy例 6、中心在原点，一个焦点为的椭圆截直线 所得弦的中点横坐标为，求椭圆的方程1(0, 50)F32yx1 2例 7、椭圆 ，与直线 相交于 、 两点， 是 的中点若 ，斜率为221mxny1xy2 2AB （O 为原点），求椭圆的方程2 2题型题型 10：椭圆与向量

16、、解三角形的交汇问题：椭圆与向量、解三角形的交汇问题例 6、设过点的直线分别与轴的正半轴和轴的正半轴交于、两点，点与点关于轴对称，,P x yxyABQPy为坐标原点，若，且，求点的轨迹方程;O2BPPA 1OQ AB P15. 如图，在 RtABC 中，CAB=90，AB=2，AC=。一曲线 E 过点 C，动点 P 在曲线 E 上运动，且保持2 2|PA|+|PB|的值不变，直线 l 经过 A 与曲线 E 交于 M、N 两点。#*（1）建立适当的坐标系，求曲线 E 的方程；（2）设直线 l 的斜率为 k，若MBN 为钝角，求 k 的取值范围。基础巩固训练基础巩固训练1. 如图,椭圆中心在原点

17、,F 是左焦点,直线与 BF 交于 D,且,则椭圆的离心1AB1BDB率为 2.设为椭圆的两焦点，P 在椭圆上，当面积为 1 时，12,F F2 214xy12FPF的值为 12PF PF 3.椭圆的一条弦被平分,那么这条弦所在的直线方程是 22 1369xy4,2A4.在中，若以为焦点的椭圆经过点，则该椭圆的离心率 ABC90A3tan4B ,A BCe 5. 若为椭圆的两个焦点,P 为椭圆上一点,若, 则此椭圆的离心率为 12,F F3:2:1:211221PFFFPFFPF6.在平面直角坐标系中，椭圆的焦距为 2，以 O 为圆心，为半径的圆，过点作圆的22221(0)xyababa2 (

18、,0)a c两切线互相垂直，则离心率= e综合提高训练综合提高训练7、已知椭圆与过点 A(2，0)，B(0，1)的直线 l 有且只有一个公共点 T，且椭圆的离心率22221(0)xyabab求椭圆方程；3 2e 8.已知 A、B 分别是椭圆的左右两个焦点，O 为坐标原点，点 P在椭圆上，线段22221(0)xyabab21,2PB 与 y 轴的交点 M 为线段 PB 的中点。#*（1）求椭圆的标准方程； （2）点 C 是椭圆上异于长轴端点的任意一点，对于ABC，求的值。sinsin sinAB C9.已知长方形 ABCD, AB=,BC=1.以 AB 的中点为原点建立如图 8 所示的平面直角坐标系.2 2Oxoy()求以 A、B 为焦点，且过 C、D 两点的椭圆的标准方程; ()过点 P(0,2)的直线 交()中椭圆于 M,N 两点,是否存在直线 ,使得以弦 MN 为直径的圆恰好过原点?若存在,求出ll直线l的方程;若不存在,说明理由.OxyABCD图 8