质点的运动方程.ppt

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1、21 参考系、坐标系和质点参考系、坐标系和质点2-22-2位矢、速度和加速度位矢、速度和加速度2-32-3圆周运动、自然坐标（内禀坐标）圆周运动、自然坐标（内禀坐标）2-42-4运动的相对性、运动的相对性、GalileoGalileo坐标变换坐标变换第二章第二章 时间、空间与质点运动学时间、空间与质点运动学研究可简化为研究可简化为质点质点的物体的运动规律。的物体的运动规律。21 参考系和坐标系参考系和坐标系 质点质点 同一物体，对不同参考系，运动不同同一物体，对不同参考系，运动不同-运动描述的相对性运动描述的相对性。一、一、参考系参考系 研究物体的运动时所选的参考物体。研究物体的运动时所选的参

2、考物体。ZXY日心系日心系地心系地心系地面系地面系o 可根据研究问题的方便，选不同可根据研究问题的方便，选不同参考系参考系参考系参考系的数学抽象。的数学抽象。常用：常用：直角坐标系直角坐标系自然坐标系自然坐标系 球坐标系球坐标系柱坐标系柱坐标系极坐标系极坐标系坐标系坐标系：（1）平动平动物体可简化为质点的情况：物体可简化为质点的情况：具有具有物体的全部物体的全部质量质量，而，而不考虑不考虑其其大小大小和和形状形状的理想物体。的理想物体。二、二、质点质点：太阳太阳地球地球地球绕太阳公转地球绕太阳公转（2）本身线度）本身线度 其活动范围其活动范围 三、时间三、时间 空间空间 时间是物体运动过程的时

3、间是物体运动过程的持续性持续性和和顺序性顺序性的反映的反映空间是物体运动过程的空间是物体运动过程的广延性广延性或或物体形状物体形状、相相对位置对位置的反映的反映四、运动的描述四、运动的描述 -给出任意时刻质点所在位置给出任意时刻质点所在位置 运动快慢运动快慢表格法表格法曲线法曲线法解析法解析法2-2 2-2 位矢位矢 速度和加速度速度和加速度一、位置矢量（位矢）一、位置矢量（位矢）：PyxzXYZ(x,y,z)0-确定质点空间位置（远近、方位）。确定质点空间位置（远近、方位）。在直角系中分量表达式：在直角系中分量表达式：大小：大小：方向余弦：方向余弦：运动方程：运动方程：-位置随位置随 t 变

4、化的函数式，变化的函数式，空间运动空间运动分量式：分量式：=)(tzz=)(tyy=)(txx平面运动平面运动轨迹轨迹(道道)：运动质点在空间经过路径的形状：运动质点在空间经过路径的形状.运动方程分量式中消去运动方程分量式中消去t，可得轨迹方程。可得轨迹方程。路程：质点经历的实际路径长度。路程：质点经历的实际路径长度。分量式：分量式：一段时间内位矢（置）的一段时间内位矢（置）的增量增量。二、位移矢量二、位移矢量(位移位移)路程路程 :质点经历的实际路径长度。质点经历的实际路径长度。讨论讨论：-矢矢量量 S S-标量标量且且 与与 S S不同：不同：特例：单向直线运动特例：单向直线运动 与与 不

5、同：不同：极限情况下极限情况下 t=tt=t2 2-t-t1 10 0方向方向-轨道切轨道切向向大小：大小：四、四、速度速度-位移随时间的变化率位移随时间的变化率1、平均速度平均速度：时刻时刻位置位置时间：时间：位移：位移：大小：大小：方向：方向：的方向的方向定义定义平均速度平均速度：-矢量矢量大小：大小：-轨道切向。轨道切向。方向：方向：矢量矢量 方向，方向，-速率速率2、瞬时速度（速度）瞬时速度（速度）：时，时，的极限值，的极限值，在直角坐标系中：在直角坐标系中：的大小：的大小：-速率速率速率速率 v 的两种定义：的两种定义：O五、加速度五、加速度-速度随时间的变化速度随时间的变化率率1、

6、平均加速度平均加速度：定义：定义：2 2、瞬时加速度（加速度）、瞬时加速度（加速度）大小：大小：方向：方向：沿沿矢量矢量在直角坐标系中在直角坐标系中 六、六、运动学的两类问题运动学的两类问题1 1、已知、已知 ，求，求 、和和 微分微分问题。问题。、已知、已知 和初始条件和初始条件（t=0时时 和和 ）求求 、积分积分问题。问题。2 2由由分离变量得分离变量得两边取定积分：两边取定积分：得得或或(1)a=a(t)求解中常用的几个变换关系求解中常用的几个变换关系(一维问题一维问题):(2)a=a(v)由由得得两边取定积分：两边取定积分：得得(运动方程运动方程)(3)a=a(x)由由得得积分：积分

7、：得得 由由得得 =toxxovdtdx两边取定积分两边取定积分+=toovdtxx=-toovdtxx 或或(4)v=v(t)三维问题：三维问题：三个相互垂直方向的一维运动的三个相互垂直方向的一维运动的矢量和矢量和(运动的叠加原理)例1：一质点在（一质点在（X，Y）平面内运动，平面内运动，运动方程为：运动方程为：求求:（1）质点的轨迹；）质点的轨迹；（2）在最初）在最初2S内内质点的位移和平均质点的位移和平均 速度；速度；（3）在第）在第2S时时质点的速度和加速度。质点的速度和加速度。解：（解：（1）运动方程的分量形式：）运动方程的分量形式：两式联立消去两式联立消去 t，得轨迹方程：得轨迹方

8、程：（2）在最初）在最初2S内内质点的位移：质点的位移：在最初在最初2S内内质点的平均速度：质点的平均速度：（3）在第）在第2S时时质点的速度和加速度：质点的速度和加速度：例2：已知一质点沿已知一质点沿X轴运动，加速度为：轴运动，加速度为：求：质点的运动方程。求：质点的运动方程。解：解：且，且，时时分离变量，分离变量，两边积分，两边积分，质点的运动方程：质点的运动方程：得得 例例33质点沿质点沿x x轴作直线运动，速度轴作直线运动，速度v=1+2xv=1+2x，初始时刻质点位于原点初始时刻质点位于原点,求质点求质点的位置和加速度的位置和加速度解：解：例例44一质点在一质点在xOyxOy平面内运

9、动，运动方平面内运动，运动方程为程为x x=2=2t t，y=19-2ty=19-2t2 2。(1)(1)写出质点任意写出质点任意时刻的位置矢量、速度矢量和加速度矢时刻的位置矢量、速度矢量和加速度矢量；量；(2)(2)写出轨迹方程；写出轨迹方程；解：解：（1）（2）消去）消去t：例例55质点沿质点沿x x轴正向作直线运动，加速轴正向作直线运动，加速度度a=-a=-mxmx(m(m为正常数为正常数)。t=0t=0时时,x=0,v x=0,v=v=v0 0，在什么位置质点开始停止运动在什么位置质点开始停止运动?解：解：积分积分问什么位置质点停止运动问什么位置质点停止运动?需令速度等零，需令速度等零

10、，故需求速度故需求速度得得质点停止运动时质点停止运动时(舍去舍去)sh求当求当 为匀速时，为匀速时，=？七、七、运动学的一类特殊的微分问题运动学的一类特殊的微分问题两边对两边对 t 求导：求导：而而二维运动，分解成两个一维运动八.抛体运动为抛射角为抛射角X:Y:任意时刻速度分量为任意时刻速度分量为1.速度方程速度方程2.运动方程运动方程 水平方向的匀速直线运动与竖直方向的匀减速直线运动叠加矢量形式为:一、自然一、自然坐标系的选取：坐标系的选取：取轨道上任一点为坐标原点；取轨道上任一点为坐标原点；质点的位置由轨道长度质点的位置由轨道长度S(t)确定；确定；坐标轴选在运动的质点上。坐标轴选在运动的

11、质点上。2-32-3 圆周运动圆周运动 自然坐标系（内禀坐标系）自然坐标系（内禀坐标系）0S（t）-沿速度方向的单位矢量。沿速度方向的单位矢量。-沿内法向的单位矢量。沿内法向的单位矢量。位置：位置：速度：速度：二、自然二、自然坐标系中圆周运动的描述坐标系中圆周运动的描述加速度：加速度：=?-法向加速度法向加速度改变速度方向改变速度方向-切向加速度切向加速度改变速度大小改变速度大小三、任意曲线运动：三、任意曲线运动：-曲线上任意曲线上任意 点的曲率半径点的曲率半径 -轨道上某点的曲率半径。轨道上某点的曲率半径。四、圆周运动的四、圆周运动的 角量描述角量描述Rx-角位置角位置-角位移角位移-角速度

12、角速度-角加速度角加速度匀速圆周运动：匀速圆周运动：匀变速圆周运动：匀变速圆周运动：匀速直线运动：匀速直线运动：匀变速直线运动：匀变速直线运动：角量的单位：角量的单位：在在 SI 制中，制中，五、线量与角量的关系：五、线量与角量的关系：Rx例1一质点沿半径为R的圆周运动,其角位置为 求(1)质点 2S 时、4S时的加速度大小;(2)为何值时,解：解：（1）质点做变速圆周运动）质点做变速圆周运动由此求出由此求出（2）一质点作半径一质点作半径R R=1m=1m的圆周运动，其角位的圆周运动，其角位置置 =t t 2 2+1(rad)+1(rad)，t t以秒计。问以秒计。问 多大多大时，其切向加速度

13、大小是总加速度大小时，其切向加速度大小是总加速度大小的的1/2?1/2?解：解：练习练习2-4 运动的相对性、伽利略变换运动的相对性、伽利略变换 一质点在空间运动，在两个相互作匀速一质点在空间运动，在两个相互作匀速运动（运动（）的参照系）的参照系K、K 中观察，其中观察，其运动运动方程方程、速度速度、加速度、加速度、分别为：分别为：K 相对相对K的的 牵连坐标牵连坐标KK伽利略变换伽利略变换空间两点的距离在不同坐标系中测量的长度相同空间两点的距离在不同坐标系中测量的长度相同-空间绝对性空间绝对性同一运动经历的时间在不同坐标系中均相同同一运动经历的时间在不同坐标系中均相同-时间时间绝对性绝对性对

14、时空认识而言，伽利略认定：对时空认识而言，伽利略认定：对于两个相互作匀速运动的参考系，对于两个相互作匀速运动的参考系，实际上，伽利略变换存在着难以克服的实际上，伽利略变换存在着难以克服的困难，经典时空观是需要修正的。困难，经典时空观是需要修正的。-经典时空观（绝对时空观）经典时空观（绝对时空观）它是经典力学的理论基础之一它是经典力学的理论基础之一：K系中系中测得质点速度测得质点速度-绝对速度绝对速度：K 系中系中测得质点速度测得质点速度-相对速度相对速度：K 系系相对相对K系系的速度的速度-牵连速度牵连速度速度合成公式：速度合成公式：加速度合成公式：加速度合成公式：两坐标系相对运动为匀速时两坐标系相对运动为匀速时:注意注意:速度和加速度关系均可在直角坐标系速度和加速度关系均可在直角坐标系中分解中分解例例3东流的江水，流速为东流的江水，流速为v1=4 m/s,一船一船在江中以航速在江中以航速v2=3 m/s向正北行驶。试求向正北行驶。试求:岸上的人将看到船以多大的速率岸上的人将看到船以多大的速率v，向向什么方向航行什么方向航行?解：以岸为以岸为K系，江系，江水为水为K系系船相对于岸的速度船相对于岸的速度方向方向