质点运动的坐标系.ppt

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1、1-3 1-3 描述质点运动的坐标系描述质点运动的坐标系一、直角坐标系一、直角坐标系 (rectangular coordinate)(A)参考物参考物位置矢量可表示为位置矢量可表示为 位矢大小位矢大小其中其中 、和、和 分别是分别是x、y和和z方向的单位矢量。方向的单位矢量。可用方向余弦来表示位置矢量方向。可用方向余弦来表示位置矢量方向。1质点运动的轨道参量方程式质点运动的轨道参量方程式 写成分量形式写成分量形式速度表达式速度表达式2任何一个方向的速度和加速度都只与该方向的位置矢量的任何一个方向的速度和加速度都只与该方向的位置矢量的分量有关分量有关,而与其它方向的分量无关而与其它方向的分量无

2、关。加速度的表达式加速度的表达式加速度大小加速度大小34 质点任意运动都可以看作是三个坐标轴方向上质点任意运动都可以看作是三个坐标轴方向上各自独立进行的直线运动所合成的。各自独立进行的直线运动所合成的。质点的任意运动都可以分解为在三个坐标轴方质点的任意运动都可以分解为在三个坐标轴方向上各自独立进行的直线运动。向上各自独立进行的直线运动。运动叠加原理在直角坐标系中的表现。运动叠加原理在直角坐标系中的表现。如果质点在某个方向如果质点在某个方向(如如x方向方向)上的加速度不上的加速度不随时间变化随时间变化,该方向上分运动为该方向上分运动为匀变速直线运动匀变速直线运动,在在x方向的速度变化可根据速度公

3、式求得方向的速度变化可根据速度公式求得:5运动学的二类问题运动学的二类问题1.第一类问题第一类问题已知运动学方程，求已知运动学方程，求(1)t=1s 到到 t=2s 质点的位移质点的位移(3)轨迹方程轨迹方程(2)t=2s 时时已知一质点运动方程已知一质点运动方程求求例例解解(1)(2)(3)当当 t=2s 时时由由运动方程得运动方程得轨迹方程为轨迹方程为6解解已知已知求求和运动方程和运动方程代入初始条件代入初始条件代入初始条件代入初始条件2.第二类问题第二类问题已知加速度和初始条件，求已知加速度和初始条件，求例例,t=0 时，时，由已知有由已知有7 例例1：通过绞车拉动湖中小船拉向岸边：通过

4、绞车拉动湖中小船拉向岸边,如图。如如图。如果绞车以恒定的速率果绞车以恒定的速率u拉动纤绳拉动纤绳,绞车定滑轮离水面绞车定滑轮离水面的高度为的高度为h,求小船向岸边移动的速度求小船向岸边移动的速度v和加速度和加速度a。解：以绞车定滑轮处为坐标原点解：以绞车定滑轮处为坐标原点,x 轴水平向轴水平向右右,y 轴竖直向下轴竖直向下,如图所示。如图所示。xlhyoxhxO8 设小船到坐标原点的距离为设小船到坐标原点的距离为l,任意时刻小船到任意时刻小船到岸边的距离岸边的距离x总满足总满足 x 2=l 2 h 2 负号表示小船速负号表示小船速度沿度沿x 轴反方向。轴反方向。两边对时间两边对时间t 求导数求

5、导数,得得 小船向岸边移小船向岸边移动的加速度为动的加速度为 9 例例2：抛体运动。假设物体以初速度：抛体运动。假设物体以初速度v0沿与水平沿与水平方向成角方向成角 方向被抛出方向被抛出,求物体运动的轨道方程、求物体运动的轨道方程、射程、飞行时间和物体所能到达的最大高度。射程、飞行时间和物体所能到达的最大高度。抛体运动可以看作为抛体运动可以看作为x方向方向的匀速直线运动和的匀速直线运动和y方向的匀方向的匀变速直线运动相叠加。变速直线运动相叠加。xyO解：首先必须解：首先必须建立坐标系建立坐标系,取抛射点为坐标原点取抛射点为坐标原点O,x 轴水平向右轴水平向右,y 轴竖直向上轴竖直向上,如图。如

6、图。运动叠加原理是求解复杂运动的有力工具。运动叠加原理是求解复杂运动的有力工具。10 x1=0是抛射点的位置是抛射点的位置,另一个是射程另一个是射程 抛体运动轨道方程抛体运动轨道方程 令令y=0，得，得 11物体的飞行时间物体的飞行时间当物体到达最大高度时当物体到达最大高度时,必有必有物体达最大高度的时间物体达最大高度的时间最大高度最大高度 实际运动轨道是弹道曲线，射程和最大高度实际运动轨道是弹道曲线，射程和最大高度都比上述值要小。都比上述值要小。抛射角抛射角 0=/4时时,最大射程最大射程1213 例例：某人身高：某人身高h，站在离地面，站在离地面H的塔吊灯下，当的塔吊灯下，当塔以速度塔以速

7、度v0水平方向开走，灯从人头顶掠过，人头水平方向开走，灯从人头顶掠过，人头顶在地上的影子运动速度多大？顶在地上的影子运动速度多大？三、自然坐标系三、自然坐标系(natural coordinates)(A)沿着质点的运动轨道所建立的坐标系。沿着质点的运动轨道所建立的坐标系。因为质点运动的速度总是沿着轨道的切向因为质点运动的速度总是沿着轨道的切向,所以在自然坐标系中所以在自然坐标系中,速度矢量可表示为速度矢量可表示为 取取轨轨道道上上一一固固定定点点为为原原点点,规规定定两两个个随随质质点点位位置置变变化化而而改改变变方方向向的的单单位位矢矢量量,一一个个是是指指向向质质点点运运动动方方向向的的

8、切切向向单单位位矢矢量量,用用 表表示示,另另一一个个是是垂垂直直于于切切向并指向轨道凹侧的向并指向轨道凹侧的法向单位矢量法向单位矢量,用用 表示。表示。14 第二项是由速度方向变化所引起的加速度分量，第二项是由速度方向变化所引起的加速度分量，为为法向加速度法向加速度(normal acceleration)第一项表示由于速度大小变化所引起的加速度第一项表示由于速度大小变化所引起的加速度分量分量,大小等于速率变化率大小等于速率变化率,方向沿轨道切向方向沿轨道切向,称称切向加速度切向加速度(tangential acceleration)加速度矢量为加速度矢量为 15ALB当当 t0时时,点点B

9、 趋趋近近于于点点A,等腰等腰 O A B 顶角顶角 0。OB A 极极限限方方向向必必定定垂垂直直于于 ,指指向向轨轨道道凹凹侧侧,与与法向单位矢量法向单位矢量 一致，并且一致，并且1617讨论讨论整条曲线就可看成是由许多不同曲率半径的圆弧所构成整条曲线就可看成是由许多不同曲率半径的圆弧所构成 一般情况下一般情况下,质点的加速度矢量应表示为质点的加速度矢量应表示为 其中其中 为曲率半径，为曲率半径，的方向指向曲率圆中心的方向指向曲率圆中心 圆周运动圆周运动18 解：质点的切向加速度和法向加速度分别解：质点的切向加速度和法向加速度分别为为 这就是所要求的速率与时间的关系。这就是所要求的速率与时

10、间的关系。例例4:质点以初速质点以初速 沿半径为沿半径为R 的圆周运动的圆周运动,其其加速度方向与速度方向夹角加速度方向与速度方向夹角 为恒量为恒量,求质点速求质点速率与时间的关系。率与时间的关系。分离变量分离变量得得积分积分19一一汽汽车车在在半半径径R=200 m 的的圆圆弧弧形形公公路路上上行行驶驶，其其运运动动学学方方程为程为s=20t 0.2 t 2(SI).根据速度和加速度在自然坐标系中的表示形式，有根据速度和加速度在自然坐标系中的表示形式，有例例汽车在汽车在 t=1 s 时的速度和加速度大小。时的速度和加速度大小。求求解解20求抛体运动过程中的曲率半径？求抛体运动过程中的曲率半径

11、？如如B 点点思考思考 21已知质点运动方程为已知质点运动方程为求求之间的路程之间的路程。例例解解质点运动质点运动速度速度为为速率速率为为路程路程有有22已知质点的运动方程为已知质点的运动方程为在自然坐标系中任意时刻的速度在自然坐标系中任意时刻的速度解解例例求求23将一根光滑的钢丝弯成一个竖直平面内的曲线，质点可沿将一根光滑的钢丝弯成一个竖直平面内的曲线，质点可沿钢丝向下滑动。已知质点运动的切向加速度为钢丝向下滑动。已知质点运动的切向加速度为g 为重力加速度为重力加速度，为切向与水平方向的夹角为切向与水平方向的夹角.由题意可知由题意可知从图中分析看出从图中分析看出例例质点在钢丝上各处的运动速度

12、质点在钢丝上各处的运动速度.求求解解2425圆周运动的角量描述圆周运动的角量描述 角量与线量的关系角量与线量的关系(A)一一.角位置与角位移角位置与角位移质点作圆周运动的角速度为质点作圆周运动的角速度为描述质点转动快慢和方向的物理量描述质点转动快慢和方向的物理量角位置（运动学方程角位置（运动学方程)当当 为质点圆周运动的角位移为质点圆周运动的角位移二二.角速度角速度26三三.角加速度角加速度角加速度角加速度 角速度对时间的一阶导数角速度对时间的一阶导数四四.角量与线量的关系角量与线量的关系Ds27 例例：半径为：半径为1 m的轮子以匀角加速度从静止开始的轮子以匀角加速度从静止开始转动，转动，2

13、0 s末角速度达到末角速度达到100 rads-1.求（求（1）角加速）角加速度及度及20 s内转过的角度，（内转过的角度，（2）第）第20 s末轮边缘上一末轮边缘上一点的切向和法向加速度。点的切向和法向加速度。(2)设设t t 时刻，质点的加速度与半径成时刻，质点的加速度与半径成45o角，则角，则(2)当当 =?时，质点的加速度与半径成时，质点的加速度与半径成45o角？角？(1)当当t=2s 时，质点运动的时，质点运动的an 和和一质点作半径为一质点作半径为0.1 m 的圆周运动，已知运动学方程为的圆周运动，已知运动学方程为(1)运动学方程得运动学方程得求求解解例例以及以及a的大小的大小28一质点在水平面内以顺时针方向沿半径为一质点在水平面内以顺时针方向沿半径为2 m 的圆形轨道的圆形轨道运动。此质点的角速度与运动时间的平方成正比，即运动。此质点的角速度与运动时间的平方成正比，即 =kt 2，k 为待定常数为待定常数.已知质点在已知质点在2 s 末的线速度为末的线速度为 32 m/s t=0.5 s 时质点的线速度和加速度时质点的线速度和加速度解解例例求求当当t=0.5 s 时时由题意得由题意得29