误差合成与分配.ppt

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1、第三章误差合成与分配第三章误差合成与分配 任何测量结果都包含有一定的测量误差，这任何测量结果都包含有一定的测量误差，这是测量过程中各个环节一系列误差因素共同作是测量过程中各个环节一系列误差因素共同作用的结果。如何正确地分析和综合这些误差因用的结果。如何正确地分析和综合这些误差因素，并正确地表述这些误差的综合影响以及解素，并正确地表述这些误差的综合影响以及解决测量方法的拟定和仪器设计中的误差分配、决测量方法的拟定和仪器设计中的误差分配、微小误差取舍及最佳测量方案确定等。微小误差取舍及最佳测量方案确定等。这就是这就是本章要研究的基本内容。本章要研究的基本内容。本章重点和难点本章重点和难点函数系统误

2、差和函数随机误差的概念函数系统误差和函数随机误差的概念随机误差的合成随机误差的合成未定系统误差和随机误差的合成未定系统误差和随机误差的合成误差分配误差分配微小误差取舍准则微小误差取舍准则最佳测量方案的确定最佳测量方案的确定重点掌握：重点掌握：函数误差的计算方法；函数误差的计算方法；掌握：掌握：误差和成方法及系统误差与随机误差的误差和成方法及系统误差与随机误差的异同点；异同点；了解：了解：误差分配的基本步骤。误差分配的基本步骤。第一节第一节 函数误差函数误差 前面讨论的主要是直接测量的误差计算问题，前面讨论的主要是直接测量的误差计算问题，但在有些情况下，由于被测对象的特点，不能进但在有些情况下，

3、由于被测对象的特点，不能进行直接测量，或者直接测量难以保证测量精度，行直接测量，或者直接测量难以保证测量精度，需要采用间接测量。需要采用间接测量。间接测量是通过直接测量与被测的量之间有一间接测量是通过直接测量与被测的量之间有一定函数关系的其他量，按照已知的函数关系式计定函数关系的其他量，按照已知的函数关系式计算出被测的量。因此间接测量的量是直接测量所算出被测的量。因此间接测量的量是直接测量所得到的各个测量值的函数，而间接测量误差则是得到的各个测量值的函数，而间接测量误差则是各个直接测得值误差的函数，故称这种误差为函各个直接测得值误差的函数，故称这种误差为函数误差。研究函数误差的内容，实质上就是

4、研究数误差。研究函数误差的内容，实质上就是研究误差的传递问题，而对于这种具有确定关系的误误差的传递问题，而对于这种具有确定关系的误差计算，也有称之为误差合成。差计算，也有称之为误差合成。函数误差的概念函数误差的概念间接测量间接测量 函数误差函数误差 间接测得的被测量误差也应是直接测得量及其误差的函数，故称这种间接测量的误差为函数误差函数误差 通过直接测得的量与被测量之间的函数关系计算出被测量 一、函数系统误差计算一、函数系统误差计算间接测量的数学模型间接测量的数学模型 与被测量有函数关系的各个直接测量值 y 间接测量值求上述函数 y 的全微分，其表达式为：（3-1）若已知各个直接测量值的系统误

5、差x1，x2，xn 由 y 的全微分，函数系统误差 y的计算公式（3-2）和 的量纲或单位不相同，则 起到误差单位换算的作用 和 的量纲或单位相同，则 起到误差放大或缩小的作用 为各个输入量在该测量点 处的误差传递系数 函数系统误差计算公式函数系统误差计算公式 若已知各个直接测量值的系统误差x1，x2，xn 由 y 的全微分，函数系统误差 y的计算公式线性函数的系统误差计算线性函数的系统误差计算函数形式为线性关系的函数系统误差为函数形式为线性关系的函数系统误差为（3-3）线性关系的函数式中的各个误差传递系数线性关系的函数式中的各个误差传递系数ai为常数。为常数。当函数为各测量值之和时，其函数系

6、统误差亦为各个测量值系统误差之和 正弦函数的系统误差计算公式正弦函数的系统误差计算公式 函数函数系统误差系统误差因因则有则有（3-5）（3-6）同理可得其他三角函数的角度系统误差公式。同理可得其他三角函数的角度系统误差公式。例例1 用弓高弦长法间接测量大直径用弓高弦长法间接测量大直径D 如图所示，直接测得其弓高如图所示，直接测得其弓高h和弦长和弦长s，然后通过函数关，然后通过函数关系计算出直径系计算出直径D。若弓高与弦长的测得值及其若弓高与弦长的测得值及其系统误差为系统误差为求测量结果。求测量结果。求解：求解：1.建立函数关系式建立函数关系式若不考虑测得值的系统误差，则计算出的直径若不考虑测得

7、值的系统误差，则计算出的直径D0为为2.计算直径计算直径D0值值3.计算直径计算直径D的系统误差的系统误差直径直径D的系统误差公式为的系统误差公式为4.计算各误差传递系数值计算各误差传递系数值将已知各误差值及误差传递系数代入直径的系统误差式，得将已知各误差值及误差传递系数代入直径的系统误差式，得5.计算系统误差值计算系统误差值6.给出测量结果给出测量结果通过修正可消除所求得的直径系统误差通过修正可消除所求得的直径系统误差D，则被测直径的实际尺寸为，则被测直径的实际尺寸为 例用用量块组量块组做标准件的测量做标准件的测量相对测量时需用相对测量时需用54.255mm的量块组做标准件，量块组的量块组做

8、标准件，量块组由四块量块研合而成，它们的基本尺寸如下：由四块量块研合而成，它们的基本尺寸如下：已知各尺寸偏差及其测量极限误差分别为已知各尺寸偏差及其测量极限误差分别为试求量块组按基本尺寸使用时的修正值及给相对测量试求量块组按基本尺寸使用时的修正值及给相对测量带来的测量误差？带来的测量误差？解：解：量块组尺寸的系统误差为量块组尺寸的系统误差为故量块组按基本尺寸使用时的修正值为故量块组按基本尺寸使用时的修正值为0.4m使用该量块组做相对测量带来的测量误差为使用该量块组做相对测量带来的测量误差为故量块组结相对测量带来的测量误差不会超出故量块组结相对测量带来的测量误差不会超出0.m二、函数随机误差计算

9、二、函数随机误差计算 随机误差是用表征其取值分散程度的标准差来评定的，随机误差是用表征其取值分散程度的标准差来评定的，对于函数的随机误差，也是用函数的标准差来进行评定。对于函数的随机误差，也是用函数的标准差来进行评定。因此，函数随机误差计算，就是研究函数因此，函数随机误差计算，就是研究函数y的标准差与各的标准差与各测量值的标准差之间的关系。测量值的标准差之间的关系。若以各测量值的随机误差若以各测量值的随机误差1，2，n代替各微分代替各微分量量dx1，dx2，dxn只能得到函数的随机误差只能得到函数的随机误差y，而得不到函数的标准差而得不到函数的标准差y。对于式对于式(31)函数随机误差的数学模

10、型函数随机误差的数学模型数学模型数学模型 变量中只有随机误差泰勒展开，并取其一阶项作为近似值函数的一般形式 得到 即：可得：函数标准差计算函数标准差计算或 第i个直接测得量 的标准差 第i个测量值和第j个测量值之间的相关系数 第i个直接测得量 对间接量 在该测量点 处的误差传递系数 第i个测量值和第j个测量值之间的协方差 相关系数的讨论相关系数的讨论 若各测量值的随机误差是相互独立的，且当若各测量值的随机误差是相互独立的，且当N适当大时，适当大时，相关项相关项 若定义若定义则有则有 ij=0相互独立的函数标准差计算相互独立的函数标准差计算令若各测量值的随机误差是相互独立的，相关项 或（3-14

11、）则（3-15）由于各测量值随机误差间互不相关的情况较为常见，由于各测量值随机误差间互不相关的情况较为常见，且当各相关系数很小时，也可近似地作不相关处理，因且当各相关系数很小时，也可近似地作不相关处理，因此式此式(314)或式或式(315)是较常用的函数随机误差公式。是较常用的函数随机误差公式。函数的极限误差公式函数的极限误差公式 当各个测量值的随机误差都为正态分布时，标准差用极限误差代替，可得函数的极限误差公式 第i个直接测得量 的极限误差（3-16）ai1情况下，函数的标准差和极限误差情况下，函数的标准差和极限误差计算公式计算公式在多数情况下，在多数情况下，ai1，且函数形式较简单，即，且

12、函数形式较简单，即则函数的标准差为则函数的标准差为函数的极限误差为函数的极限误差为（3-17）（3-18）三角函数的随机误差计算公式三角函数的随机误差计算公式1）正弦函数形式为:函数随机误差公式为：2）余弦函数形式为:函数随机误差公式为：3）正切函数形式为:函数随机误差公式为：4）余弦函数形式为:函数随机误差公式为：解：解：由误差传递公式由误差传递公式 因因f1、f2的测量值的随机误差是相互独立的，所以相的测量值的随机误差是相互独立的，所以相关系数关系数f1f20 则有则有标准差标准差放大率的计算值（不含随机误差）为放大率的计算值（不含随机误差）为测量结果为测量结果为置信概率？置信概率？例 用

13、弓高弦长法间接测量大直径用弓高弦长法间接测量大直径D若已知若已知求直径的最后结果求直径的最后结果求解：求解：1.建立函数关系式建立函数关系式2.计算直径计算直径D0值值4.求直径的极限误差求直径的极限误差3.计算直径计算直径D的系统误差的系统误差5.给出测量结果给出测量结果例例用双圆球法检定高精度内锥角用双圆球法检定高精度内锥角已知：已知：测得尺寸及系统误差为测得尺寸及系统误差为求检定结果。求检定结果。各测得值的标准差为各测得值的标准差为求解：求解：.建立函数关系式建立函数关系式根据图所示的测量方法，可得函数关系为根据图所示的测量方法，可得函数关系为式中式中2.计算角度值计算角度值得得3.计算

14、系统误差计算系统误差因因根据式（），有根据式（），有式中各个误差传递函数为式中各个误差传递函数为代入角度的系统误差式，得代入角度的系统误差式，得4.求角度的标准差求角度的标准差.求极限误差求极限误差取置信系数取置信系数t，得，得.给出测量结果给出测量结果三、误差间的相关关系和相关系数三、误差间的相关关系和相关系数 在函数误差及其他误差的合成计算时，各误差间的相关在函数误差及其他误差的合成计算时，各误差间的相关性对计算结果有直接影响。性对计算结果有直接影响。当各误差间相关或相关性不能忽略时，必须先求出各个当各误差间相关或相关性不能忽略时，必须先求出各个误差间的相关系数，然后才能进行误差合成计算。

15、因此，误差间的相关系数，然后才能进行误差合成计算。因此，正确处理误差间的相关问题，有其重要意义。正确处理误差间的相关问题，有其重要意义。例如，当例如，当ij=1时，函数随机误差别具有线性的传递关系：时，函数随机误差别具有线性的传递关系：（3-23）式式(323)表明，当表明，当ij 1时，函数随机误差别具有时，函数随机误差别具有线性的传递关系。线性的传递关系。1误差间的线性相关关系误差间的线性相关关系 误差间的线性相关关系是指它们具有线性依赖关系，这误差间的线性相关关系是指它们具有线性依赖关系，这种依赖关系有强有弱。种依赖关系有强有弱。联系最强时，在平均意义上，一个误差的取值完全决定联系最强时

16、，在平均意义上，一个误差的取值完全决定了另一个误差的取值。此时两误差间具有确定的线性函数了另一个误差的取值。此时两误差间具有确定的线性函数关系。关系。当两误差间的线性依赖关系最弱时，一个误差的取值与当两误差间的线性依赖关系最弱时，一个误差的取值与另一个误差的取值无关，这是互不相关的情况。另一个误差的取值无关，这是互不相关的情况。一般两误差间的关系是处于上述两种极端情况之间，一般两误差间的关系是处于上述两种极端情况之间，既有联系而又不具有确定性关系。此时，线性依颜关系既有联系而又不具有确定性关系。此时，线性依颜关系是指在平均意义上的线性关系，即一个误差值随另一个是指在平均意义上的线性关系，即一个

17、误差值随另一个误差值的变化具有线性关系的倾向，但两者取值又不服误差值的变化具有线性关系的倾向，但两者取值又不服从确定的线性关系，而具有一定的随机性。从确定的线性关系，而具有一定的随机性。2相关系数相关系数 两误差间有线性关系时，其相关性强弱由相关系数来反两误差间有线性关系时，其相关性强弱由相关系数来反映，在误差合成时应求得相关系数，并计算出相关项大小。映，在误差合成时应求得相关系数，并计算出相关项大小。若两误差若两误差与与之间的相关系数为之间的相关系数为，根据概率论可知，根据概率论可知，相关系数的取值范围是相关系数的取值范围是1+1 当当01时时，两误差，两误差与与正相关，即一误差增大时，正相

18、关，即一误差增大时，另一误差的取值平均地增大：另一误差的取值平均地增大：当当10时时，两误差，两误差与与负相关，即一误差增大时，负相关，即一误差增大时，另一误差的取值平均地减少；另一误差的取值平均地减少；当当+1时时，称为完全正相关；，称为完全正相关；P1时，称为完全负时，称为完全负相关。此时两误差相关。此时两误差与与之间存在着确定的线性函数关系；之间存在着确定的线性函数关系；当当0时时，两误差间无线性关系或称不相关，即一误差，两误差间无线性关系或称不相关，即一误差增大时，另一误差取值可能增大，也可能减小。增大时，另一误差取值可能增大，也可能减小。值得注意的是，相关系数只表示两误差的线性关系的

19、值得注意的是，相关系数只表示两误差的线性关系的密切程度，当密切程度，当很小甚至等于很小甚至等于0时，两误差间不存在线性时，两误差间不存在线性关系，但并不表示它们之间不存在其他的函数关系。关系，但并不表示它们之间不存在其他的函数关系。3.确定两误差间的相关系数的方法确定两误差间的相关系数的方法 确定两误差间的相关系数是比较困难的，通常可采用以确定两误差间的相关系数是比较困难的，通常可采用以下几种方法。下几种方法。1直接判断法直接判断法 通过两误差之间关系的分析，直接确定相关系数通过两误差之间关系的分析，直接确定相关系数。如。如两误差不可能有联系或联系微弱时，则确定两误差不可能有联系或联系微弱时，

20、则确定0；如一个；如一个误差增大，另一个误差成比例地增大，则确定误差增大，另一个误差成比例地增大，则确定P1。2试验观察和简略计算法试验观察和简略计算法在某些情况下可直接测量两误差的多组对应值在某些情况下可直接测量两误差的多组对应值(i，i)，用观察或简略计算法求得相关系数。用观察或简略计算法求得相关系数。3理论计算法理论计算法 有些误差间的相关系数，可根据概率论和最小二乘法直有些误差间的相关系数，可根据概率论和最小二乘法直接求出。接求出。(1)观察法观察法 作图与标准图形比对，看它与哪一图形相近，作图与标准图形比对，看它与哪一图形相近，从而确定相关系数的近似值。从而确定相关系数的近似值。(2

21、)简单计算法简单计算法简单计算法是将点阵分为四部分简单计算法是将点阵分为四部分(上下上下,左右均分左右均分)，计算，计算简单计算法的作图简单计算法的作图（3-25）(3)直接计算法直接计算法 按相关系数的定义直接计算按相关系数的定义直接计算（3-26）第二节第二节 随机误差的合成随机误差的合成 随机误差具有随机性，其取值是不可预知随机误差具有随机性，其取值是不可预知的，并用测量的标准差或极限误差来表征的，并用测量的标准差或极限误差来表征其取值的分散程度。其取值的分散程度。随机误差的合成是采用方和根的方法，随机误差的合成是采用方和根的方法，同时还要考虑到各个误差传递系数和误差同时还要考虑到各个误

22、差传递系数和误差间的相关性影响。间的相关性影响。一、标准差的合成一、标准差的合成 根据方和根的运算方法，各个标准差合成后的总标准差为根据方和根的运算方法，各个标准差合成后的总标准差为（3-28）若各个误差互不相关，相关系数若各个误差互不相关，相关系数ij0，则有，则有（3-29）式中，式中，i,ai分别为各单项误差的标准差和对应的误差传递系数。分别为各单项误差的标准差和对应的误差传递系数。二、极限误差的合成二、极限误差的合成 在测量实践中，各个单项随机误差和测量结果的总误差在测量实践中，各个单项随机误差和测量结果的总误差也常以极限误差的形式来表示，因此极限误差的合成也较也常以极限误差的形式来表

23、示，因此极限误差的合成也较常见。常见。用极限误差来表示随机误差，有明确的概率意义。极限用极限误差来表示随机误差，有明确的概率意义。极限误差合成时，各单项权限误差应取同一置信概率。误差合成时，各单项权限误差应取同一置信概率。按方和根法合成的总极限误差为按方和根法合成的总极限误差为（3-30）式中式中 ai各极限误差传递系数；各极限误差传递系数；ij任意两误差间的相关系数任意两误差间的相关系数应用极限误差合成公式时，应注意：应用极限误差合成公式时，应注意：根据已知的各单项极限误差和所选取的各个置信系数，即可进行极限误差的合成 各个置信系数 、不仅与置信概率有关，而且与随机误差的分布有关 对于相同分

24、布的误差，选定相同的置信概率，其相应的各个置信系数相同 对于不同分布的误差，选定相同的置信概率，其相应的各个置信系数也不相同 ij 为第i个和第j个误差项之间的相关系数，可根据前一节的方法确定。置信概率不同时的处理置信概率不同时的处理 一般情况下，已知的各单项极限误差的置信概一般情况下，已知的各单项极限误差的置信概率可能不相同，不能按式率可能不相同，不能按式(330)进行极限误差合进行极限误差合成。应根据各单项误差的分布情况，引入置信系成。应根据各单项误差的分布情况，引入置信系数，先将误差转换为标准差，再按极限误差合成。数，先将误差转换为标准差，再按极限误差合成。一般的极限误差合成公式为一般的

25、极限误差合成公式为（3-34）各个单项随机误差均服从正态分布时的情况各个单项随机误差均服从正态分布时的情况 当各个单项随机误差均服从正态分布时，各个置信系数当各个单项随机误差均服从正态分布时，各个置信系数完全相同，且当各个误差互不相关，相关系数完全相同，且当各个误差互不相关，相关系数ij0，则，则有有（3-36）式式(336)具有十分简单的形式。由于各单项误差大多具有十分简单的形式。由于各单项误差大多服从正态分布或假设近似服从正态分布，而且它们之间服从正态分布或假设近似服从正态分布，而且它们之间常是线性无关或近似线性无关，因此式常是线性无关或近似线性无关，因此式(336)是较为广是较为广泛使用

26、的极限误差合成公式。泛使用的极限误差合成公式。第三节第三节 系统误差的合成系统误差的合成 系统误差的大小是评定测量准确度高低的标志，系统误差的大小是评定测量准确度高低的标志，系统误差越大，准确度越低；反之，准确度越高。系统误差越大，准确度越低；反之，准确度越高。系统误差具有确定的变化规律，不论其变化规系统误差具有确定的变化规律，不论其变化规律如何，根据对系统误差的掌握程度，可分为已律如何，根据对系统误差的掌握程度，可分为已定系统误差和未定系统误差。定系统误差和未定系统误差。由于两种系统误差的特征不同，其合成方法也由于两种系统误差的特征不同，其合成方法也不相同。不相同。一、已定系统误差的合成一、

27、已定系统误差的合成 在测量过程中，若有在测量过程中，若有r个单项已定系统误差，其误差值分别个单项已定系统误差，其误差值分别为为l，2，r相应的误差传递系数为相应的误差传递系数为a1，a2,，ar，则按代数和法进行合成，求得总的已定系统误差为则按代数和法进行合成，求得总的已定系统误差为（3-37）在实际测量中，有不少已定系统误差在测量过程中均在实际测量中，有不少已定系统误差在测量过程中均已消除，由于某些原因末予消除的己定系统误差也只是已消除，由于某些原因末予消除的己定系统误差也只是有限的少数几项，它们按代数和法合成后，还可以从测有限的少数几项，它们按代数和法合成后，还可以从测量结果中修正，故最后

28、的测量结果中一般不再包含有已量结果中修正，故最后的测量结果中一般不再包含有已定系统误差。定系统误差。二、未定系统误差的合成二、未定系统误差的合成 未定系统误差在测量实践中较为常见，对于某未定系统误差在测量实践中较为常见，对于某些影响较小的已定系统误差，为简化计算，也可些影响较小的已定系统误差，为简化计算，也可不对其进行误差修正，而将其作未定系统误差处不对其进行误差修正，而将其作未定系统误差处理，因此未定系统误差的处理是测量结果处理的理，因此未定系统误差的处理是测量结果处理的重要内容之一。重要内容之一。若测量过程中存在若干项未定系统误差，应正若测量过程中存在若干项未定系统误差，应正确地将这些未定

29、系统误差进行合成，以求得最后确地将这些未定系统误差进行合成，以求得最后结果。结果。未定系统误差的特征未定系统误差的特征 未定系统误差是指误差大小和方向未能确切掌握，未定系统误差是指误差大小和方向未能确切掌握，或不必化费过多精力去掌握，而只能或只需估计或不必化费过多精力去掌握，而只能或只需估计出其不致超过某一极限范围出其不致超过某一极限范围ei的系统误差。的系统误差。也就是说，在一定条件下客现存在的某一系统误也就是说，在一定条件下客现存在的某一系统误差，一定是落在所估计的误差区间差，一定是落在所估计的误差区间(ei，ei)内的内的一个取值一个取值,其相应的取值在误差区间其相应的取值在误差区间(e

30、i，ei)内内服从某一概率分布。服从某一概率分布。关于未定系统误差的概率分布关于未定系统误差的概率分布 理论上此概率分布是可知的，但实际上常常较理论上此概率分布是可知的，但实际上常常较难求得。难求得。目前对未定系统误差的概率分布，主要采用两目前对未定系统误差的概率分布，主要采用两种假设：一种是按正态分布处理；另一种是按均种假设：一种是按正态分布处理；另一种是按均匀分布处理。匀分布处理。这两种假设，在理论上与实践上往往缺乏根据，因此对未定系统误差的概率分布尚属有待于作进一步研究的问题。对未定系统误差的评定对未定系统误差的评定 未定系统误差在测量条件不变时有一恒定值，多次重复未定系统误差在测量条件

31、不变时有一恒定值，多次重复测量时其值固定不变，因而不具有抵偿性，利用多次重复测量时其值固定不变，因而不具有抵偿性，利用多次重复测量取算术平均值的办法不能减小它对测量结果的影响，测量取算术平均值的办法不能减小它对测量结果的影响，这是它与随机误差的重要差别。这是它与随机误差的重要差别。但由于未定系统误差的取值在某一极限范围内具有随机但由于未定系统误差的取值在某一极限范围内具有随机性，并且服从一定的概率分布，这些特征均与随机误差相性，并且服从一定的概率分布，这些特征均与随机误差相同，因而评定它对测量结果的影确也应与随机误差相同，同，因而评定它对测量结果的影确也应与随机误差相同，即采用标准差或极限误差

32、来表征未定系统误差取值的分散即采用标准差或极限误差来表征未定系统误差取值的分散程度。程度。用标准差或极限误差来评定其取值的分散程度。用标准差或极限误差来评定其取值的分散程度。未定系统误差的合成未定系统误差的合成 用随机误差的合成公式进行处理用随机误差的合成公式进行处理 由于未定系统误差的取值具有随机性，并且服从一定的概由于未定系统误差的取值具有随机性，并且服从一定的概率分布，因而若干项未定系统误差综合作用时，它们之间就率分布，因而若干项未定系统误差综合作用时，它们之间就具有一定的抵偿作用。这种抵偿作用与随机误差的抵偿作用具有一定的抵偿作用。这种抵偿作用与随机误差的抵偿作用相似因而未定系统误差的

33、合成，完全可以用随机误差的合相似因而未定系统误差的合成，完全可以用随机误差的合成公式进行处理，这就给测量结果的处理带来很大方便。成公式进行处理，这就给测量结果的处理带来很大方便。对于某一项误差，当难以严格区分为随机误差或未定系统误对于某一项误差，当难以严格区分为随机误差或未定系统误差时，因不论作哪一种误差处理，最后总误差的合成结果均差时，因不论作哪一种误差处理，最后总误差的合成结果均相同，故可将该项误差任作一种误差来处理。相同，故可将该项误差任作一种误差来处理。1标准差的合成标准差的合成 若测量过程中有若测量过程中有s个单项未定系统误差，它们的标准差分个单项未定系统误差，它们的标准差分别为别为

34、ui，相应的误差传递系数为，相应的误差传递系数为ai，则合成后未定系统误，则合成后未定系统误差的总标准差为差的总标准差为（3-38）当当ij0时，则有时，则有（3-39）2极限误差的合成极限误差的合成因为各个单项未定系统误差的极限误差为因为各个单项未定系统误差的极限误差为总的未定系统误差的极限误差为总的未定系统误差的极限误差为（3-41）按单项未定系统误差的标准差合成按单项未定系统误差的标准差合成则有则有按单项未定系统误差的极限误差合成按单项未定系统误差的极限误差合成（3-42）（3-43）当各个单项未定系统误差均服从正态分布，且当各个单项未定系统误差均服从正态分布，且ij0时，则有时，则有（

35、3-44）第四节第四节 系统误差与随机误差的合成系统误差与随机误差的合成 当测量过程中存在各种不同性质的多项系统误当测量过程中存在各种不同性质的多项系统误差与随机误差，应将其进行综合，以求得最后测差与随机误差，应将其进行综合，以求得最后测量结果的总误差。量结果的总误差。常用极限误差来表示，也可用标准差来表示。常用极限误差来表示，也可用标准差来表示。一、按极限误差合成一、按极限误差合成 若测量过程中有若测量过程中有r个单项已定系统误差，个单项已定系统误差，s个单项未定系个单项未定系统误差，统误差，q个单项随机误差个单项随机误差，并设各个误差传递系数均为，并设各个误差传递系数均为1，则测量结果总的

36、极限误差为，则测量结果总的极限误差为（3-45）式中式中 R各个误差间协方差之和。各个误差间协方差之和。当各个误差均服从正态分布，且各个误差间互不相关时，当各个误差均服从正态分布，且各个误差间互不相关时，则式（则式（3-45）可简化为）可简化为（3-46）一般情况下，已定系统误差经修正后，超量结果总的极一般情况下，已定系统误差经修正后，超量结果总的极限误差就是总的未定系统误差与总的随机误差的均方根，限误差就是总的未定系统误差与总的随机误差的均方根，即即（3-47）由式由式(346)和式和式(347)可以看出，当多项未定系统误可以看出，当多项未定系统误差和随机误差合成时，对某一项误差不论作哪一种

37、误差处差和随机误差合成时，对某一项误差不论作哪一种误差处理，其最后合成结果均相同。理，其最后合成结果均相同。对多次重复测量时的处理对多次重复测量时的处理 对于单次测量，可直接按上式求得最后结果的总误差，对于单次测量，可直接按上式求得最后结果的总误差，但对多次重复测量，由于随机误差具有抵偿性，而系统误但对多次重复测量，由于随机误差具有抵偿性，而系统误差则固定不变，因此总误差合成公式中的随机误差项应除差则固定不变，因此总误差合成公式中的随机误差项应除以重复测量次数以重复测量次数n，即测量结果平均值的总极限误差公式，即测量结果平均值的总极限误差公式为为（3-48）由式(348)可知，在单次测量的总误

38、差合成中，不需严格区分各个单项误差为未定系统误差或随机误差，而在多次重复测量的总误差合成中，则必需严格区分各个单项误差的性质。二、按标准差合成二、按标准差合成 若用标准差来表示系统误差与随机误差的合成公式，则若用标准差来表示系统误差与随机误差的合成公式，则只需考虑未定系统误差与随机误差的合成问题。只需考虑未定系统误差与随机误差的合成问题。为计算方便，设各个误差传递系数均为为计算方便，设各个误差传递系数均为1，则测量结果，则测量结果总的标准差为总的标准差为（3-49）式中式中R为各个误差间协方差之和，当各个误差间互不为各个误差间协方差之和，当各个误差间互不相关时，则式相关时，则式(349)可简化

39、为可简化为（3-50）对多次重复测量时的处理对多次重复测量时的处理 与极限误差合成的理由相同，对单次测量，可直接按上与极限误差合成的理由相同，对单次测量，可直接按上式求得最后结果的总标准差，但对式求得最后结果的总标准差，但对n次重复测量，测量结次重复测量，测量结果平均值的总标准差公式则为果平均值的总标准差公式则为（3-51）例例35 在万能工具显微镜上用影象法测量某一平面工件的长度在万能工具显微镜上用影象法测量某一平面工件的长度共两次，测得结果分别为共两次，测得结果分别为 l150.026mm，l250.025mm，已知工件的高度已知工件的高度H80mm，求测量结果及其极限误差。，求测量结果及

40、其极限误差。解解：两次测量结果的平均值为误差分析误差分析 1.已定系统误差已定系统误差 根据万工显光学刻线尺的刻度误差表，查得在根据万工显光学刻线尺的刻度误差表，查得在50mm范范围的误差围的误差0.0008mm，此项误差为已定系统误差，现，此项误差为已定系统误差，现予修正，则测量结果为予修正，则测量结果为 在万工显上用影象法测量平面工件尺寸，其主要误差分在万工显上用影象法测量平面工件尺寸，其主要误差分析计算如下析计算如下 2.随机误差随机误差 该项误差由读数误差和工件瞄准误差所引起，其极限误差分别为读数误差10.8m;瞄准误差21m。3.未定系统误差未定系统误差该项误差由阿贝误差等所引起该项

41、误差由阿贝误差等所引起,其极限误差分别为其极限误差分别为阿贝误差阿贝误差光学刻尺刻度误差光学刻尺刻度误差温度误差温度误差光学刻尺的检定误差光学刻尺的检定误差 上列各误差式中，上列各误差式中，L为被测长度，为被测长度，H为被测工件的测量为被测工件的测量面高出平台玻璃面的距离，两者单位均为面高出平台玻璃面的距离，两者单位均为mm，而求得的，而求得的误差单位为误差单位为m。这四项误差在测量中都不具有抵偿性，也不随测量次这四项误差在测量中都不具有抵偿性，也不随测量次数的增加而减小，故都属系统误差。但它们给出的数值数的增加而减小，故都属系统误差。但它们给出的数值只是一个范围，而不是确定的数值，因此它们又

42、应属未只是一个范围，而不是确定的数值，因此它们又应属未定系统误差。定系统误差。各项误差汇总表各项误差汇总表 测量结果测量结果 设各误差都服从正态分布且互不相关，则测量结果设各误差都服从正态分布且互不相关，则测量结果(两两次测量的平均值次测量的平均值)的极限误差为的极限误差为当末修正刻尺刻度误差时的极限误差当末修正刻尺刻度误差时的极限误差 测量结果应表示为测量结果应表示为 当已修正刻尺刻度误差时的极限误差当已修正刻尺刻度误差时的极限误差 测量结果应表示为测量结果应表示为 小结小结：在实际工作中遇到的误差合成问题是非常复杂的。如果要提高测量结果的精度要求，需要解决的问题包括有以下几个方面：（1）误

43、差性质的确定。（2）误差所遵循分布规律的确定。（3）各分项误差相关程度的确定。（4）分项误差的划分和项数的确定。第五节第五节 误差分配误差分配 任何测量过程皆包含有多项误差，而测量结果任何测量过程皆包含有多项误差，而测量结果的总误差则由各单项误差的综合影响所确定。现的总误差则由各单项误差的综合影响所确定。现在要讨论的是关于上述事实的一个逆命题问题，在要讨论的是关于上述事实的一个逆命题问题，即给定测量结果总误差的允差，要求确定各个单即给定测量结果总误差的允差，要求确定各个单项误差。项误差。在进行测量工作前，应根据给定测量总误差的在进行测量工作前，应根据给定测量总误差的允差来选择测量方案，合理进行

44、误差分配，确定允差来选择测量方案，合理进行误差分配，确定各单项误差，以保证测量精度。各单项误差，以保证测量精度。误差分配应考虑测量过程中所有误差组成项的分配问误差分配应考虑测量过程中所有误差组成项的分配问题。为便于说明误差分配原理，这里只研究间接测量的函题。为便于说明误差分配原理，这里只研究间接测量的函数误差分配，但其基本原理也适用于一般测量的误差分配。数误差分配，但其基本原理也适用于一般测量的误差分配。对于函数的已定系统误差，可用修正方法来消除，不必对于函数的已定系统误差，可用修正方法来消除，不必考虑各个测量值已定系统误差的影响，而只需研究随机误考虑各个测量值已定系统误差的影响，而只需研究随

45、机误差和未定系统误差的分配问题。差和未定系统误差的分配问题。根据式根据式(347)和式和式(350)，这两种误差在误差合成时，这两种误差在误差合成时可同等看待，因此在误差分配时也可同等看待，其误差分可同等看待，因此在误差分配时也可同等看待，其误差分配方法完全相同。配方法完全相同。问题背景问题背景 问题背景问题背景 现设各误差因素皆为随机误差，且互不相关，由式现设各误差因素皆为随机误差，且互不相关，由式(314)可得可得式中式中 Di函数的部分误差函数的部分误差若巳给定若巳给定y，需确定，需确定Di或相应的或相应的i，使满足，使满足（3-53）显然，式中显然，式中Di可以是任意值，为不确定解可以

46、是任意值，为不确定解一、按等作用原则分配误差一、按等作用原则分配误差等作用原则认为各个部分误差对函数误差的影响相等，即等作用原则认为各个部分误差对函数误差的影响相等，即（3-54）由此可得由此可得（3-55）或用极限或用极限误误差表示差表示 （3-56）式中式中 函数的总极限误差；函数的总极限误差；i各单项误差的极限误差各单项误差的极限误差二、按可能性调整误差二、按可能性调整误差 按等作用原则分配误差可能会出现不合理情况，这是因按等作用原则分配误差可能会出现不合理情况，这是因为计算出来的各个部分误差都相，对于其中有的测量值，为计算出来的各个部分误差都相，对于其中有的测量值，要保证它的测量误差不

47、超出允许范围较为容易实现，而对要保证它的测量误差不超出允许范围较为容易实现，而对于其中有的测量值则难以满足要求，若要保证它的测量精于其中有的测量值则难以满足要求，若要保证它的测量精度，势必要用昂贵的高精度仪器，或者要付出较大的劳动。度，势必要用昂贵的高精度仪器，或者要付出较大的劳动。另一方而，由式另一方而，由式(355)、式、式(356)可以看出，当各个可以看出，当各个部分误差一定时，则相应测量值的误差与其传递系数成反部分误差一定时，则相应测量值的误差与其传递系数成反比。所以各个部分误差相等，其相应测量值的误差并不相比。所以各个部分误差相等，其相应测量值的误差并不相等，有时可能相差较大。等，有

48、时可能相差较大。由于存在上述两种情况，对按等作用原则分配的误差，由于存在上述两种情况，对按等作用原则分配的误差，必须根据具体情况进行调整。对难以实现测量的误差项适必须根据具体情况进行调整。对难以实现测量的误差项适当扩大，对容易实现测量的误差项尽可能缩小，而对其余当扩大，对容易实现测量的误差项尽可能缩小，而对其余误差项不予调整。误差项不予调整。三、验算调整后的总误差三、验算调整后的总误差 误差分配后，应按误差合成公式计算实际总误误差分配后，应按误差合成公式计算实际总误差，若超出给定的允许误差范围，应选择可能缩差，若超出给定的允许误差范围，应选择可能缩小的误差项再予缩小误差。若实际总误差较小，小的

49、误差项再予缩小误差。若实际总误差较小，可适当扩大难以测量的误差项的误差。可适当扩大难以测量的误差项的误差。按等作用原则分配误差需注意，当有的误差已按等作用原则分配误差需注意，当有的误差已经确定而不能改变时经确定而不能改变时(如受测量条件限制必须采如受测量条件限制必须采用某种仪器测量某一项目时用某种仪器测量某一项目时)，应先从给定的允许，应先从给定的允许总误差中除掉，然后再对其余误差项进行误差分总误差中除掉，然后再对其余误差项进行误差分配。配。例例37 采用间接测量圆柱直径采用间接测量圆柱直径D及高度及高度h来测量一圆柱体的体来测量一圆柱体的体积。若要求测量体积的相对误差为积。若要求测量体积的相

50、对误差为1，试确定直径，试确定直径D及高及高度度h的测量精度的测量精度?已知直径和高度的公称值为已知直径和高度的公称值为 并把并把看作常数，取值为看作常数，取值为3.1416 间接测量间接测量函数式函数式解：解：1.计算出体积计算出体积v。2.体积的绝对误差体积的绝对误差 3.进行误差分析，并初步分配进行误差分析，并初步分配测量项目有两项，即测量项目有两项，即n2 按等作用原则分配误差按等作用原则分配误差 按等作用原则分配误差按等作用原则分配误差 测量直径测量直径D与高度与高度h的极限误差为的极限误差为 显然，测量直径显然，测量直径D的精度需要高些，而测量高度的精度需要高些，而测量高度h的的精