计算方法之计算矩阵的特征值和特征量.ppt

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1、1 1定定定定义义义义设设A A为为 n n 阶阶方方阵阵，若存在常数，若存在常数 与与 n n 维维非零向量非零向量X X 使使 A AX X=X X成立，成立，则则称称 为为方方阵阵A A的的特特特特征征征征值值值值，非零向量，非零向量 X X 为为A A的的对应对应于于 的的特征向量特征向量特征向量特征向量。由由A AX X=X X (A A-E E)X=0X=0此方程此方程有非零解有非零解有非零解有非零解的充要条件是的充要条件是:|:|A A-E E|=0,|=0,即：即：特征多项式方程特征多项式方程特征多项式方程特征多项式方程。2 2在在线线性代数中按如下三步性代数中按如下三步计计算

2、：算：1 1、计计算出算出A A的特征多的特征多项项式式 A A-E E；2 2、求出特征方程、求出特征方程 A A-E E=0=0的全部根的全部根 i i 3 3、将将 i i代代入入(A-A-i iE E)X)X=0=0 求求出出基基础础解解系系，即即得得A A的的对对应应于于 i i的的特特征征向向量量，而而基基础础解解系系的的线线性性组组合合即即为为A A的的对应对应于于 i i 的全部特征向量。的全部特征向量。例例例例求矩阵求矩阵 的特征值与特征向量的特征值与特征向量3 3解解解解：计计算特征多算特征多项项式方程，即式方程，即解得解得A A的两个特征值：的两个特征值：1 1=4=4，

3、2 2=2=2。（1 1）1 1=4=4 将将 1 1=4=4代入代入 (A-A-E E)X X=0 0得得(A A-4-4E E)X X=0 04 4取取对应对应于于 1 1=4=4的基的基础础解向量解向量则对应于则对应于 1 1=4=4的的全部特征向量为：全部特征向量为：（2 2）2 2=2=2 将将 1 1=2=2代入代入(A-A-E E)X X=0 0得得(A A-2-2E E)X X=0 0取对应于取对应于 2 2=2=2的基础解向量的基础解向量5 5方法局限性方法局限性方法局限性方法局限性：当矩：当矩阵阶阵阶数数较较高（如高（如阶阶数数n n44）时时，将面将面临临两方面的两方面的

4、难题难题：（1 1）多）多项项式的式的计计算算对对舍入舍入误误差非常敏感；差非常敏感；（2 2）求高次方程的根尤其是重根存在困）求高次方程的根尤其是重根存在困难难。则对应于则对应于 2 2=2=2的的全部特征向量为：全部特征向量为：特特 征征 值值 的的 数数 值值 计计 算算 方方 法法1 1、幂法、幂法、幂法、幂法：求按模最大特征值，即：求按模最大特征值，即2 2、反幂法、反幂法、反幂法、反幂法：求按模最小特征值，即：求按模最小特征值，即3 3、JacobiJacobi法法法法：求实对称矩阵所有特征值和特征向量。求实对称矩阵所有特征值和特征向量。6 6幂幂法法法法是一种迭代法。是一种迭代法

5、。基本思想基本思想基本思想基本思想：把矩：把矩阵阵的特征的特征值值和特征向量作和特征向量作为为一一个无限序列的极限来求得。个无限序列的极限来求得。如如对对于于n n阶阶方方阵阵A A，任取一个初始向量，任取一个初始向量X X(0)(0)，作，作迭代迭代计计算算X X(k k+1)+1)=A AX X(k k)则则可得迭代序列可得迭代序列X X(0)(0),X,X(1)(1),X X(k k),，序列的收序列的收敛敛情况与情况与A A的按模最大特征的按模最大特征值值有密切关有密切关系，分析序列的极限，即可得到系，分析序列的极限，即可得到A A的按模最大特征的按模最大特征值值及特征向量的近似及特征

6、向量的近似值值。7 7下面介绍两种简单情况：下面介绍两种简单情况：（一）按模最大特征（一）按模最大特征（一）按模最大特征（一）按模最大特征值值只有一个，且是只有一个，且是只有一个，且是只有一个，且是单实单实根根根根（二）按模最大特征（二）按模最大特征（二）按模最大特征（二）按模最大特征值值是互是互是互是互为为反号的反号的反号的反号的实实根根根根8 8定理定理定理定理设设n n 阶阶方方阵阵A A有有 n n 个个线线性无关的特征向量性无关的特征向量 X Xi i ，其，其对应对应的特征的特征值为值为 i i （i i=1,2,.,=1,2,.,n n)，且，且满满足：足：|1 1|2 2|n

7、n|则对则对任何非零初始向量任何非零初始向量V V(0)(0)（至少第（至少第1 1个分量不个分量不为为0 0）所构成的迭代序列）所构成的迭代序列V V(k k+1)+1)=A AV V(k k)（k k=0,1,2,=0,1,2,）有：有：有：有：其中其中其中其中表示表示表示表示中的第中的第中的第中的第j j个分量。个分量。个分量。个分量。（一）按模最大特征值只有一个，且是单实根（一）按模最大特征值只有一个，且是单实根（一）按模最大特征值只有一个，且是单实根（一）按模最大特征值只有一个，且是单实根9 9证证明明明明：因因为为A A具有具有 n n 个个线线性无关的特征向量性无关的特征向量 X

8、 Xi i （i i=1,2,.,=1,2,.,n n）而任一而任一 n n 维维的非零向量，如的非零向量，如V V(0)(0)：总可以用总可以用 X Xi i 的线性组合来表示：的线性组合来表示：V V(0)(0)=1 1X X1 1+2 2X X2 2+.+.+n nX Xn n（其中（其中 1 1 0 0）取取V V(1)(1)=A AV V(0)(0)V V(2)(2)=A AV V(1)(1)=A A2 2V V(0)(0)1010V V(k k+1)+1)=A AV V(k k)=A Ak k+1+1V V(0)(0)以构成向量迭代序列。以构成向量迭代序列。由矩阵特征值的定义有：由

9、矩阵特征值的定义有：A AX Xi i=i iX Xi i （i i=1,2,.,=1,2,.,n n）则有则有1111同理可得：同理可得：V V(k k+1)+1)的第的第j j个分量：个分量：V V(k k)的第的第j j个分量：个分量：那么那么1212由已知条件：由已知条件：故有：故有：所以：所以：定理的证明已给出求矩阵最大特征值的方法：定理的证明已给出求矩阵最大特征值的方法：定理的证明已给出求矩阵最大特征值的方法：定理的证明已给出求矩阵最大特征值的方法：定理的证明已给出求矩阵最大特征值的方法：定理的证明已给出求矩阵最大特征值的方法：（1 1）取一非零初始向量取一非零初始向量V V(0)

10、(0)，如，如V V(0)(0)=(1,1,.,1)=(1,1,.,1)T T（2 2）作迭代计算：作迭代计算：V V(k+1)(k+1)=A AV V(k(k)（3 3）当当k k充分大时取：充分大时取：1313或者用各个分量比的平均或者用各个分量比的平均值值作作为为最大特征最大特征值值：（4 4）求求 1 1所对应的特征向量：所对应的特征向量：由：由：可得：可得：而：而：故：故：则则V V(k k)即为所求对应即为所求对应 1 1的特征向量。的特征向量。1414例例例例用用幂幂法求下面法求下面的按模最大特征的按模最大特征值值及及对应对应的特征向量。的特征向量。（1 1）即初始非零向量）即初

11、始非零向量V V(0)(0)（2 2）作迭代计算）作迭代计算V V(k k+1)+1)=A AV V(k k)：1515最大特征最大特征值值的的计计算：算：特征向量：特征向量：V V(11)(11)1616设设n n 阶阶方方阵阵A A有有 n n 个个线线性无关的特征向量性无关的特征向量 X Xi i ，其其对应对应的特征的特征值为值为 i i （i i=1,2,.,=1,2,.,n n)，且，且满满足：足：|1 1|=|2 2|3 3|n n|，设设其中其中其中其中 1 10,0,1 1=-=-2 2（二）按模最大特征值是互为反号的实根（二）按模最大特征值是互为反号的实根（二）按模最大特征

12、值是互为反号的实根（二）按模最大特征值是互为反号的实根由迭代变换：由迭代变换：由迭代变换：由迭代变换：1717迭代迭代计计算中算中V V(k k)呈呈规规律性律性摆动摆动，当，当k k充分大充分大时时有有则有：则有：同理：同理：（k k充分大时）充分大时）再由：再由：可得：可得：取取1818规范化幂法运算规范化幂法运算规范化幂法运算规范化幂法运算由由（1 1）当）当|1 1|1|1时，时，V V(k k)与与V V(k k+1)+1)的各个不等于的各个不等于0 0的的分量将随分量将随k k的增大而过快地增大，而可能的增大而过快地增大，而可能“溢出溢出”；（2 2）当）当|1 1|1|00此时迭

13、代向量序列此时迭代向量序列 V V(k k)将正常收敛。将正常收敛。2323由向量知由向量知识识：X X1 1是是对应对应 1 1的特征向量，那么的特征向量，那么也是对应也是对应 1 1的特征向量。的特征向量。即可用即可用即可用即可用 U U(k k)作为所求对应于作为所求对应于作为所求对应于作为所求对应于 1 1 的的的的特征向量特征向量特征向量特征向量。由由那么：那么：2424即：当即：当即：当即：当k k充分大充分大充分大充分大时时可用可用可用可用V V(k k+1)+1)中的最大分量作中的最大分量作中的最大分量作中的最大分量作为为所所所所求最大特征求最大特征求最大特征求最大特征值值 1

14、 1例例例例例例用规范化幂法计算用规范化幂法计算用规范化幂法计算右面矩阵的按模最大特征右面矩阵的按模最大特征右面矩阵的按模最大特征值及对应的特征向量值及对应的特征向量值及对应的特征向量2525解：解：解：解：取初始向量取初始向量V V(0)(0)=U=U(0)(0)=(1,1,1)=(1,1,1)T T，结结果如下：果如下：k kV V(k(k)U U(k(k)max(Vmax(V(k(k)0 01 11 11 11 11 11 11 12742749595-184-1841 10.346720.34672-0.67153-0.671532 244.4237744.4237714.843221

15、4.84322-29.64262-29.642621 10.334130.33413-0.66727-0.6672744.4237744.423773 344.9233344.9233314.9762314.97623-29.95048-29.950481 10.333370.33337-0.66670-0.6667044.9233344.923334 444.9957244.9957214.9986514.99865-29.99722-29.997221 10.333340.33334-0.66667-0.6666744.9957244.995725 544.9995944.9995914.

16、9998814.99988-29.99974-29.999741 10.333330.33333-0.66667-0.6666744.9995944.999596 644.9995344.9995314.9998314.99983-29.99968-29.999681 10.333330.33333-0.66667-0.6666744.9995344.999537 744.9995344.9995314.9998314.99983-29.99968-29.999681 10.333330.33333-0.66667-0.6666744.9995344.99953由表可知，最大特征值为：由表可知

17、，最大特征值为：1 1=44.99953=44.99953对应特征向量为：对应特征向量为：(1,0.33333,-0.66667)(1,0.33333,-0.66667)T T2626此种情形下，按模最大特征此种情形下，按模最大特征值为值为（二）（二）（二）（二）按模最大特征值按模最大特征值按模最大特征值按模最大特征值 1 1是单实根，但是单实根，但是单实根，但是单实根，但 1 10|3 3|n n|，设设其中其中其中其中 1 10,0,1 1=-2 2（三）（三）（三）（三）按模最大特征值按模最大特征值按模最大特征值按模最大特征值是互为反号的实根是互为反号的实根是互为反号的实根是互为反号的实

18、根，即，即，即，即此时迭代向量序列此时迭代向量序列 V V(2(2k k)和和和和 V V(2(2k+k+1)1)将分别收敛将分别收敛于于两个互不相同的向量两个互不相同的向量两个互不相同的向量两个互不相同的向量。当规范化运算到当规范化运算到k k充分大时停止，再作一次非规充分大时停止，再作一次非规范化运算：范化运算：则按模最大特征值：则按模最大特征值：而特征向量仍为：而特征向量仍为：2828验证验证验证验证：当：当k k充分大充分大时时2929故有：故有：3030规规范化范化范化范化幂幂法算法描述（法算法描述（法算法描述（法算法描述（1 1是是是是单实单实根，且根，且根，且根，且 1 100）

19、一、数据一、数据一、数据一、数据说说明明明明a a n n n n 存放方存放方阵阵A A中各元素；中各元素；V0V0n n 表示迭代式中的表示迭代式中的V V(k k);V1V1n n 表示迭代式中的表示迭代式中的V V(k k+1)+1);UUn n 规规范化向量范化向量lamdalamda 按模最大特征按模最大特征值值EPSEPS精度控制量精度控制量二、操作步二、操作步二、操作步二、操作步骤骤Step1Step1 输输入入A A中元素中元素3131Step2Step2 V0V0 n n(0,0,.,0)(0,0,.,0)T T；V1V1 n n (1,1,.,1)(1,1,.,1)T T

20、Step3Step3 WhileWhile|V1V1-V0V0|EPSEPS DODOStep4Step4 V0V0 V1V1;Step5Step5 计计算算V V(k k+1)+1)=A AV V(k k):UUi i V0V0i i/max(V0/max(V0i i)计计算算V V(k k+1)+1)=A AU U(k k)Step6Step6 计计算算|V1-V0|V1-V0|EndWhileEndWhileStep7Step7 Output(Output(lamdalamda=max(V1=max(V1n n),UUn n )3232设设待求待求n n阶阶矩矩阵阵A A可逆，且其特征可

21、逆，且其特征值为值为 i i（i i=1,2,=1,2,n n）对应对应的特征向量的特征向量为为X Xi i，二者，二者满满足关系式足关系式A AX Xi i=i iX Xi i等式两等式两边边同同时时乘以乘以A A-1-1，得，得 X Xi i=i iA A-1-1X Xi i ，即，即由特征值与特征向量的定义，知由特征值与特征向量的定义，知为为A A-1-1的特征值，而的特征值，而X Xi i为对应的特征向量。为对应的特征向量。3333显显然，如果然，如果 i i 是是A A的按模最小特征的按模最小特征值值，那么其，那么其倒数倒数则则是是A A-1-1的按模最大特征的按模最大特征值值。问题

22、问题的解决的解决的解决的解决：求：求规规范化范化幂幂法求出法求出A A-1-1的按模最大的按模最大特征特征值值，取其倒数即，取其倒数即A A的按模最小特征的按模最小特征值值。即即考虑考虑A A-1-1的计算烦琐，将上式变换为：的计算烦琐，将上式变换为：反幂法反幂法反幂法反幂法。3434计计算步算步算步算步骤骤：（1 1）将将A A进进行行LULU分解；分解；（2 2）取初始向量取初始向量U U(0)(0)=V=V(0)(0)计计算算V V(1)(1)=A AU U(0)(0)U U(1)(1)=V=V(1)(1)/|V/|V(1)(1)|，代入，代入，代入，代入A AV V(2)(2)=U=U

23、(1)(1),求求求求V V(2)(2)U U(2)(2)=V=V(2)(2)/|V/|V(2)(2)|，代入，代入，代入，代入A AV V(3)(3)=U=U(3)(3),求求求求V V(3)(3)当当当当|V|V(k k+1)+1)V V(k k)|00，当，当变换变换次数次数k k充分大充分大时时，使，使满满足足此时，矩阵此时，矩阵A A(k k)的主对角线元素即所求特征值。的主对角线元素即所求特征值。另外另外另外另外：在每次选取正交矩阵：在每次选取正交矩阵V V(p p,q q,)时，若使时，若使 即选取即选取旋转主元旋转主元旋转主元旋转主元，则可加快正交变换的效率。，则可加快正交变换

24、的效率。如如取取4949雅可比方法的算法描述雅可比方法的算法描述雅可比方法的算法描述雅可比方法的算法描述先先对对下式做下式做简简化化处处理：理：令令则有则有求出此方程的根，即确定了正交矩阵求出此方程的根，即确定了正交矩阵V V(p p,q q,)的的旋转角度旋转角度 ，分两种情形考虑：，分两种情形考虑：（1 1）若）若a apppp=a aqqqq，则，则t t=1=1，取，取 =45=45 （2 2）若）若a apppp a aqqqq，则，则t t取绝对值较小的根取绝对值较小的根 5050确定了旋确定了旋转转角度角度 后即可后即可计计算算一、数据说明一、数据说明一、数据说明一、数据说明a

25、a n n n n初初值值为为n n阶阶实实对对称称A A，结结果果为为对对角角矩矩阵阵，其主对角线元素为所求特征值；其主对角线元素为所求特征值；v v_ _pqpq n n n n每次变换前所选取的正交矩阵；每次变换前所选取的正交矩阵；v v n n n n各各个个正正交交矩矩阵阵的的乘乘积积V V1 1V V2 2V Vk k，其其列列向量为对应某特征值的特征向量；向量为对应某特征值的特征向量；EPSEPS误差控制量误差控制量5151二、操作步二、操作步二、操作步二、操作步骤骤Step1Step1输输入入a a n n n n 中的元素中的元素Step2Step2v v n n n n 赋赋初初值为单值为单位矩位矩阵阵Step3Step3Step4Step4WhileWhile(sumsum EPSEPS)DoDo Step5Step5选取选取Step6Step6确定确定 ，并计算，并计算sinsin 和和和和coscos Step7Step7为为v v_ _pqpq n n n n 赋值赋值Step8Step8计算计算a a n n n n 中相关元素中相关元素 Step9Step9v v n n n n=v v n n n n v v_ _pqpq n n n n Step10Step10 计算计算sumsumEndWhileEndWhile