自动控制原理04(拉氏变换).ppt

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1、2-12-1动态微分方程式的编写动态微分方程式的编写机械运动系统例：弹簧-质量-阻尼系统输入外力输出位移 阻尼系数，与运动方向相反2-22-2非线性数学模型的线性化非线性数学模型的线性化2-2 非线性数学模型的线性化1.1.概念概念概念概念 对对于于非非本本质质非非线线性性系系统统或或环环节节，假假设设系系统统工工作作过过程程中中，其其变变量量的的变变化化偏偏离离稳稳态态工工作作点点增增量量很很小小，各各变变量量在在工工作作点点处处具具有有一一阶阶连连续续偏偏导导数数，于于是是可可将将非非线线性性函函数数（数数模模）在在工工作作点点的的某某一一邻邻域域展展开开成成泰泰勒勒级级数数，忽忽略略高高

2、次次（二二次次以以上上）项项，便便可可得得到到关关于于各各变变量量近近似似线线性性关关系系，我我们们称称这这一一过过程程为为非非线线性性系系统统(数模数模)的线性化。的线性化。2.2.数学描述数学描述数学描述数学描述 设系统的输入为设系统的输入为x(t),x(t),输出为输出为y y（t t），），且满足且满足y(t)=f(x),y(t)=f(x),其中其中f(x)f(x)为非线性函数。为非线性函数。设设t=t0t=t0时，时，x=x0,y=y0 x=x0,y=y0为系统的稳定工作点为系统的稳定工作点（x0,y0 x0,y0）,2-22-2非线性数学模型的线性化非线性数学模型的线性化2-22-

3、2非线性数学模型的线性化非线性数学模型的线性化当|x-xo|很小时，忽略其二阶以上各项，得：在该稳定工作点处将在该稳定工作点处将f(x)f(x)泰勒展开为：泰勒展开为：即：也即：是 线性化模型例：例：将上例流体运动非线性方程线性化如：可将非线性特性 在 处线性化2-22-2非线性数学模型的线性化非线性数学模型的线性化即有：去掉 即为线性化方程。不难看出线性化方程与工作点有关，工作点不同，方程就不同。代入原方程得：2-22-2非线性数学模型的线性化非线性数学模型的线性化 自动控制系统的典型输入信号自动控制系统的典型输入信号3-13-1控制系统的暂态响应分析控制系统的暂态响应分析一、典型输入信号一

4、、典型输入信号 为了对系统性能进行分析、比较，给出了几种典型输入信号 阶跃输入阶跃输入阶跃输入阶跃输入定义如下0 t0 t0 t0 tA A A Ax x x xr r r rA=1时称为单位阶跃信号对于恒值系统，相当于给定值突然变化或者突然变化的扰动量；对于随动系统，相当于加一突变的给定位置信号。3-13-1控制系统的暂态响应分析控制系统的暂态响应分析 斜坡（匀速）输入斜坡（匀速）输入斜坡（匀速）输入斜坡（匀速）输入 A A A A0 tx xr r(t)(t)相当于随动系统加入一按恒速变化的位置信号，该恒速度为A。3-13-1控制系统的暂态响应分析控制系统的暂态响应分析抛物线（匀加速）输入

5、抛物线（匀加速）输入抛物线（匀加速）输入抛物线（匀加速）输入x xr r(t)(t)0 t 相当于随动系统加入一按恒加速度变化的位置信号，该恒加速度为A。3-13-1控制系统的暂态响应分析控制系统的暂态响应分析脉冲函数脉冲函数脉冲函数脉冲函数 当当当当A=1A=1A=1A=1，时时时时 称称称称为为为为单单单单位位位位脉脉脉脉冲冲冲冲函函函函数数数数（t t），其其其其面面面面积积积积为为为为1 1 1 1（t t t t）t t t t0 0 0 0 1正弦函数正弦函数正弦函数正弦函数 用正弦函数作输入信号，可以求得系统对不同频率的正弦输入函数的稳态响应，由此可以间接判断系统的性能。拉普拉斯

6、变换拉普拉斯变换(Laplace变换变换)l拉普拉斯变换l拉普拉斯变换的基本性质 l拉普拉斯逆变换l拉普拉斯变换的应用 在数学中，为了把较复杂的运算转化为较简单的运算，常常采用一种变换手段，所谓积分变换，就是通过积分运算把一个函数变成另一个函数的变换。积分变换包括拉普拉斯（Laplace）变换和傅立叶（Fourier）变换。这里只研究Laplace变换，讨论他的定义、性质及其应用。在 所确定的某一域内收敛,则由此积分所确定的函数可写为 设函数 当 有意义,而且积分（是一个复参量）称上式为函数 的拉普拉斯变换式 叫做的拉氏变换,象函数.叫做的拉氏逆变换,象原函数,一、拉普拉斯变换的概念=二、一些

7、常用函数的拉普拉斯变换二、一些常用函数的拉普拉斯变换 例2 求单位阶跃函数求单位阶跃函数 的拉氏变换的拉氏变换 解解 例1 求单位脉冲函数求单位脉冲函数 的拉氏变换的拉氏变换 解解 例3 求函数求函数 的拉氏变换的拉氏变换 解解 例4 求单位斜坡函数求单位斜坡函数 的拉氏变换的拉氏变换 解解 例例5 5正弦函数正弦函数 是周期为当 在一个周期上连续或分段连续时,则有周期函数的拉普拉斯变换周期函数的拉普拉斯变换 这是求周期函数拉氏变换公式 的周期函数,即可以证明:若（1 1）线性性质）线性性质三三 拉氏变换的几个重要定理拉氏变换的几个重要定理（2 2）微分定理）微分定理（3 3）积分定理）积分定

8、理（4 4）实位移定理）实位移定理（5 5）复位移定理）复位移定理（6 6）初值定理）初值定理（7 7）终值定理）终值定理（终值确实存在时）（终值确实存在时）自动控制原理国家精品课程 浙江工业大学自动化研究所19应用拉氏变换的终值定理求应用拉氏变换的终值定理求 注意拉氏变换终值定理的适用条件：注意拉氏变换终值定理的适用条件：事实上：事实上：的极点均处在复平面的左半边。的极点均处在复平面的左半边。不满足终值定理的条件。不满足终值定理的条件。四四 拉氏反变换拉氏反变换（1 1）反演公式）反演公式（2 2）查表法（分解部分分式法）查表法（分解部分分式法）例例1 1 已知已知，求，求解解.1 利用拉普

9、拉斯变换表和性质求拉普拉斯逆变换利用拉普拉斯变换表和性质求拉普拉斯逆变换 一些常用函数的拉氏变换自动控制原理国家精品课程 浙江工业大学自动化研究所22典型信号的拉氏变换（典型信号的拉氏变换（2 2）2.2.用留数法分解部分分式用留数法分解部分分式一般有一般有其中：其中：设设I.当当 无重根时无重根时例例2 2 已知已知，求，求解解.例例3 3 已知已知，求，求解解.II.当当 有重根时有重根时(设设 为为m m重根，其余为单根重根，其余为单根)例例5 5 已知已知，求，求解解.常系数线性微分方程的拉普拉斯变换解法 利用拉普拉斯变换可以比较方便地求解常系数线性微分方程（或方程组）的初值问题,其基

10、本步骤如下:（1）根据拉普拉斯变换的微分性质和线性性质,对微分方程（或方程组）两端取拉普拉斯变换,把微分方程化为象函数的代数方程;（2）从象函数的代数方程中解出象函数;（3）对象函数求拉普拉斯逆变换,求得微分方程（或方程组）的解.例例17 求微分方程满足初始条件的解 解解 设对方程两边取拉氏变换,并考虑到初始条件,则得解得所以用用L变换方法解线性常微分方程变换方法解线性常微分方程0 0 初条件初条件nm:特征根（极点）特征根（极点）:相对于相对于 的的模态模态课后作业1.1.已知系统的微分方程为已知系统的微分方程为，式式 中中，y(t)y(t)为为 系系 统统 的的 输输 出出 量量，r(t)r(t)为为 系系 统统 的的 输输 入入 量量。r(t)=1(t)r(t)=1(t)，y(0)=0y(0)=0，y(0)=0y(0)=0，求微分方程的解，求微分方程的解y(t).y(t).2.2.求函数的拉氏变换求函数的拉氏变换X(s)X(s)，设，设t0t0时，时，x(0)=0 x(0)=0