行列式及其性质.ppt

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1、行 列 式 与 矩 阵 n阶行列式的概念阶行列式的概念 行列式的性质与计算行列式的性质与计算Cramer法则法则第六章第六章矩阵及其计算矩阵及其计算 逆矩阵与矩阵的秩逆矩阵与矩阵的秩 分块矩阵分块矩阵 矩阵的初等变换矩阵的初等变换 n 阶行列式 第 一 节学习重点学习重点余子式与代数余子式的概念余子式与代数余子式的概念 n阶行列式的概念阶行列式的概念 行列式的引入行列式的引入引例：用加减消元法求解引例：用加减消元法求解 二元线性方程组二元线性方程组当当时时方程组有唯一解方程组有唯一解如果规定如果规定则有则有二阶行列式二阶行列式 determinant定义定义abcd例例 根据定义计算行列式的值

2、根据定义计算行列式的值主对角线元素之积减去副对角线元素之积主对角线元素之积减去副对角线元素之积对角线法则对角线法则三三 阶行列式阶行列式对角线法则对角线法则例例 根据定义计算行列式的值根据定义计算行列式的值对角线法则元素元素 的的余子式余子式元素元素 的的代数余子式代数余子式余子式元素元素 的余子式的余子式 就是在行列式中划掉元素就是在行列式中划掉元素 所在的行和列，余下的元素按原来的相对位置而构所在的行和列，余下的元素按原来的相对位置而构成的行列式成的行列式代数余子式 三阶行列式的值等于它的第一行的所有元素与各自三阶行列式的值等于它的第一行的所有元素与各自的代数余子式的乘积之和的代数余子式的

3、乘积之和n 阶行列式的定义（阶行列式的定义（P222定义定义1）按第一行展开按第一行展开例例 根据定义计算行列式的值根据定义计算行列式的值下三角形行列式下三角形行列式逐次按第一行逐次按第一行展开展开下三角形行列式的值等于主对角线上各元素的乘积特别特别 三阶行列式等于三阶行列式等于第一列所有元素与其代数余子式乘积之和第一列所有元素与其代数余子式乘积之和定理定理按第一列展开按第一列展开上三角形行列式上三角形行列式逐次按第一列逐次按第一列展开展开上三角形行列式的值为主对角线上的元素之乘积例例 计算行列式的值计算行列式的值按第一列展开按第一列展开行列式的性质及计算第 二 节学习重点学习重点行列式的性质

4、行列式的性质 行列式的按行按列展开定理行列式的按行按列展开定理 1、转置变换或记作行列式的几种变换行列式的几种变换行、列对掉行、列对掉称称 为行列式为行列式 的转置行列式的转置行列式Transpose 行变行变row列变换列变换column交换交换i,j两行两行数数K乘第乘第 i 行行数数K乘第乘第 j 行后行后加到第加到第 i 行上去行上去 交换交换i,j两列两列数数K乘第乘第 i 列列数数K乘第乘第 j 列后列后加到第加到第 i 列上去列上去2、换法变换、换法变换3、倍法变换、倍法变换4、消法变换、消法变换 换法变换换法变换 倍法变换倍法变换 消法变换消法变换行列式的性质行列式的性质1.行

5、列式转置后，其值不变行列式转置后，其值不变。表明行与列是表明行与列是对等的，行具对等的，行具有的性质，列有的性质，列也具有也具有2.互换行列式的两行（列），行列式变号互换行列式的两行（列），行列式变号。推论：推论：如果行列式如果行列式D D有两行（列）相同，则有两行（列）相同，则D=0D=03.行列式的行列式的某一行（列）某一行（列）的所有元素都乘以同一数的所有元素都乘以同一数K K，等于用数，等于用数 K K 乘此行列式乘此行列式 。推论推论2 2：如果行列式如果行列式D D有有一行（列）一行（列）的元素全为零，则的元素全为零，则D=0D=0 推论推论3 3：如果行列式如果行列式D D有两行

6、（列）的元素对应成比例，则有两行（列）的元素对应成比例，则D=0D=0 推论推论1:1:行列式中行列式中某一行（列）某一行（列）的元素的公因数可以提到行列式的元素的公因数可以提到行列式 符号的外面。符号的外面。4.4.如果行列式的如果行列式的某一行（列）某一行（列）的元素都是两项的和，的元素都是两项的和，则可以把该行列式拆成两个行列式之和。则可以把该行列式拆成两个行列式之和。5.5.把行列式的把行列式的某一行（列）某一行（列）的元素都乘以同一个数的元素都乘以同一个数k k 后，加到另一行（列）的对应元素上去，则行列式后，加到另一行（列）的对应元素上去，则行列式 的值不变。的值不变。如如即即 交

7、换交换i,j两行两行数数K乘第乘第 i 行行数数K乘第乘第 j 行后行后加到第加到第 i 行上行上去去交换交换i,j两列两列数数K乘第乘第 i 列列数数K乘第乘第 j 列列后加到第后加到第 i 列列上去上去2、换法变换、换法变换3、倍法变换、倍法变换4、消法变换、消法变换 换法变换换法变换 倍法变换倍法变换 消法变换消法变换1 1、转置变换、转置变换行与列对调行与列对调等值等值变号变号翻倍翻倍等值等值变号变号 翻倍翻倍 等值等值 利用行列式的性质计算行列式的值利用行列式的性质计算行列式的值行列式的展开与计算行列式的展开与计算定理定理 行列式等于它的任一行（列）的各元素与其行列式等于它的任一行（

8、列）的各元素与其对应的的代数余子式乘积之和。对应的的代数余子式乘积之和。推论推论 行列式中行列式中某一行某一行（或列）的元素与（或列）的元素与另一行另一行（或列）对应元素的代数余子式乘积之和为零。（或列）对应元素的代数余子式乘积之和为零。小结小结行列式按行展开得行列式按行展开得D，串行展开得零。，串行展开得零。例题例题1、计算行列式的值、计算行列式的值2、设有行列式、设有行列式（1）（2）A11、A12、A13、A14分别是分别是D的的第一行元素的代数余子式，试求第一行元素的代数余子式，试求3A11-A12+3A13-A14的值。的值。解答解答1、（、（1）原式原式按第一列展开按第一列展开按第

9、二行展开按第二行展开解答解答1、（、（2）原式原式按第四列展开按第四列展开按第二列展开按第二列展开2、将代数式还原成、将代数式还原成 行列式，得行列式，得1、计算下列行列式、计算下列行列式（1）（2）2 2、证明：、证明：VandermondeVandermonde行列式行列式课课堂堂练练习习 答答 案案1、（、（1）（2）2、提示：用数学归纳法，后一行、提示：用数学归纳法，后一行 减去前一行的减去前一行的 倍倍小小结结行列式的计算方法：一般是先利用性质，用行列式的计算方法：一般是先利用性质，用消法变换将行列式中某一行（或列）的元素消法变换将行列式中某一行（或列）的元素尽可能地化为零，最好是只留下一个元素不尽可能地化为零，最好是只留下一个元素不为零，然后按该行（或列）展开，使行列式为零，然后按该行（或列）展开，使行列式降阶，最终化为二阶行列式，而得解。降阶，最终化为二阶行列式，而得解。作业：作业：P251 2（1）3（4）、）、6（2，3）、）、7预习第三节、第四节预习第三节、第四节