第三章等参数单元等参元优秀PPT.ppt

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1、第三章 等参数单元等参元现在学习的是第1页，共65页 对于矩形单元，由于它采用了双线性位移模式，使得单元内的应力和应变不是常量而是按线性变化，它比常应变三角形单元能较好地反映出结构的实际应力分布状态，但是它很难适应曲线边界和非正交的直线边界；同时在划分单元时，改变单元的大小也很困难，即不便于在不同部位采用大小不同的单元，因为已把每个单元的边长之半 作为常量而引入单元刚度矩阵中（见式(2.48)）。因此，矩形平面单元未能在实际中得到广泛的应用。为此，我们希望找到一种单元，一方面它具有较高次的位移模式，能更好地反映结构的复杂应力分布状态，即或是单元网格划分的比较疏些，也可以得到比较好的计算精度；另

2、一方面，它又能很好地适应曲线边界和非正交的直线边界。等参元就具备了上述两条优点，因而得到广泛应用。现在学习的是第2页，共65页 前面已谈到：无论是三角形单元还是矩形单元，其单元内位移用形函数表示为实际上不难证明：单元内任一点的坐标同样有上述关系，即(3-1)(3-2)现在学习的是第3页，共65页 可见，常应变三角形单元和矩形单元内任一点的位移函数插值公式与该点的位置坐标变换式，都具有完全相同的形式。它们都是用同样个数的相应结点值（结点位移值或坐标值）作为参数，并且用完全相同的形函数作为这些结点值前面的系数项。当参数取为结点位移时就得到位移函数插值公式；当参数取为结点坐标时，就得到位置坐标插值公

3、式（或位置坐标变换式）。常应变三角形单元和矩形单元的这种位移函数插值公式与位置坐标变换式之间的对应协调关系，就是等参元的基本特征。所以，等参元的基本概念可简单概括成：一个单元的位移函数插值结点数与其位置坐标变换结点数相等，其位移函数插值公式与位置坐标变换式都用相同的形函数与结点参数进行插值者，称为等参元。显然，常应变三角形单元和矩形单元就是两种最简单的等参元。但是，本章所要研究的等参元，并不是这种单元，而是4结点任意四边形等参元和8结点曲边四边形单元。现在学习的是第4页，共65页 由前述知，具有双线性位移模式的矩形单元只适用于正交的、规则形状的结构。对于非正交的、不规则形状，可以用任意四边形单

4、元代替矩形单元进行有限元分割。在直角坐标系（又称整体坐标系）中，任取一任意四边形单元1,2,3,4，四边形的四个角点取为结点，各结点的直角坐标值为 。对于这种任意四边形等参元，可令其实际形状所构成的单元为子单元，把子单元的各边中点连线做一个局部坐标系（或称自然坐标系），且令单元各结点的局部坐标系分别是：；。这样，就把子单元影射到局部坐标系上，而成为正方形单元，称此正方形单元为母单元。整体坐标系适用于所有单元，即适用于整个求解区，而局部坐标系只适用于每一个单元。3-2 3-2 四结点任意四边形等参元四结点任意四边形等参元一位移插值函数式及坐标变换式现在学习的是第5页，共65页 在子单元上再作各对

5、边的等分线，这些等分线影射到母单元上，也必然是母单元各对应边上的等分线。这样，母单元与子单元之间的相应点存在着一一对应的关系。这种对应关系说明，在母单元 平面上平行于 或 的直线，在 平面内的子单元上仍然是相对应的直线。现在学习的是第6页，共65页 因此，我们就可以把矩形单元的位移函数插值式(3-1)，单元内任一点的坐标变换式(3-2)，以及局部坐标变换式（类似坐标变换式），用在任意四边形等参元上，并重新写成(3-3)(3-4)(3-5)现在学习的是第7页，共65页 式(3-3)和(3-4)是任意四边形在局部坐标系下的位移插值函数和单元内任一点局部坐标插值公式，而式(3-5)是每个单元的局部坐

6、标系与结构的整体坐标系之间的坐标变换式。由这些公式看出，任意四边形单元符合等参元条件，它当然是等参元。由于任意四边形单元的位移插值函数(3-3)，在局部坐标系下满足形容条件，因此坐标变换式(3-5)也就满足相容条件，从而使得式(3-3)在整体坐标下满足相容条件。也就是说，在两相邻任意四边形单元公共边上的位移是连续的，坐标变换后仍然是连续的，两相邻单元公共边上的公共点在坐标变换后仍为公共点，决不会出现重叠和开裂现象。现在学习的是第8页，共65页 利用任意四边形等参元分析平面问题时，有了该单元的位移插值函数式(3-3)和坐标变换式(3-5)，就可以应用第二章已导出的一系列公式去求解。但是，这一系列

7、公式都是在整体坐标 下导出的，其中，应变矩阵 的每个元素都是各结点形函数 对整体坐标 进行重积分，而任意四边形等参元的形函数 又是针对局部坐标的，因此需要对 和 进行坐标变换。这样，就引出了坐标变换矩阵和变换行列式。和 的偏导数；单元刚度矩阵 的每个元素又是各结点形函数 对整体坐标 和 的偏导数的乘积，再对二坐标变换矩阵及变换行列式现在学习的是第9页，共65页 设任意四边形在整体坐标下的位移插值函数式为而该单元在局部坐标系下的位移插值函数式(3-3)可以写成：这两种形式的位移插值函数式通过坐标变换式(3-5)联系起来。为了方便，把式(3-5)写成：(3-6)(3-7)(3-8)现在学习的是第1

8、0页，共65页 根据复合函数的求导法则，(3-6)，(3-7)，(3-8)三式之间有如下关系由式(3-9)可抽象出(3-9)现在学习的是第11页，共65页把上面二式写成矩阵形式，得令 (3-11)(3-10)现在学习的是第12页，共65页 称 为坐标变换矩阵或雅克比矩阵，它是局部坐标的函数。因此式(3-10)变成故有 (3-13)(3-12)现在学习的是第13页，共65页 式中 称为坐标变换矩阵或雅克比逆阵，它也是局部坐标的函数。式中的 是坐标变换行列式。另外，为了把 化成对局部坐标的重积分，还需把微分面积 做相应的变换。(3-14)现在学习的是第14页，共65页 设任意四边形等参元1,2,3

9、,4内任一点 沿局部坐标 方向的微分矢量为 ，由于在 方向上只有 变化，而 不变，故微分矢量 在整体坐标系的 轴上的投影 分别为现在学习的是第15页，共65页 同理，由于在 方向上只有 变化而 不变，故 在轴上的投影：两个微分矢量所构成的微小平行四边形面积 ：现在学习的是第16页，共65页而 又可以看成是在整体坐标中的微分面积，故有式中 (3-15)（3-15）现在学习的是第17页，共65页 为了进一步阐明和计算任意四边形等参元的单元刚度矩阵及应力矩阵 （或应变矩阵 ），需要把前述的 及 展成具体形式的表达式，为此，将(3-5)式代入(3-12)式，得现在学习的是第18页，共65页 再将对然后

10、代入 中得(3-16)分别求偏导数，现在学习的是第19页，共65页 式(3-16)表明，只有给定整体坐标下的单元四个结点的坐标值 和 就完全由单元的局部坐标来决定了，而且它的每个元素都是 和 的线性函数，令常数项分别为现在学习的是第20页，共65页则(3-16)式可写成由式(3-16)可以得出雅克比行列式(3-16)(3-17)现在学习的是第21页，共65页 它也是 的线性函数。由(3-16)和(3-17)式可以直接写成的逆阵：式中的每个元素变成(3-18)的较复杂的函数。现在学习的是第22页，共65页 由式(3-18)看出，为了确保 的存在，必须要求变换行列式 ，这个条件的实质是，要求任意四

11、边形等参元在整体坐标下的形状必须是凸的四边形，而不能有一个内角等于或大于 。否则，在单元上将得不到整体坐标与局部坐标之间的一一对应的变换关系，而使计算方法失效。因此，所谓任意四边形等参元，其任意性还是有一定限度的，要求四边形的任意两对边不能通过适当的延伸而在单元内出现交点。通常，在实际有限元计算中，为了尽量使其形状接近于正方形比较好，但可以大小不一样。现在学习的是第23页，共65页及 表达式中的有关 及 都换成局部坐标的函数表达式。此时，任意四边形等参元的一切计算都可以立足在局部坐标系下进行了。根据上述已求得的 ，及 等函数表达式，就可以将首先，由式(3-13)引出：现在学习的是第24页，共6

12、5页现在学习的是第25页，共65页所以式中(3-19)现在学习的是第26页，共65页 然后，将式(3-19)代入 中，就把 的各元素化成 的函数；再将式(3-17)代入式(3-15)，并将式(3-15)及 代入，就把的重积分，其被积函数 应该指出，中的每个元素都含有对 和 的重积分，尽管其积分区域变得十分简单，而其被积函数都比较复杂，需要采用数值积分（通常是采用高斯求积法），由于任意四边形等参元的应力 是 和 的函数，因此在求解单元应力时，必须指明是求哪一点的应力，而且各单元之间的应力是不连续的。的每个元素化成对局部坐标的函数式。都是 和 的复杂函数，对于各单元的应力 也可以化成是 和现在学习

13、的是第27页，共65页 四节点任意四边形等参元尽管比矩形单元好，比三角形单元的精度高，但是它对结构的曲线边界仍然要以许多小直线段去逐渐逼近，计算精度仍不够理想，为了进一步提高计算精度，可在四节点任意四边形等参元的基础上，增加结点个数，选用高幂次结构模式的等参元。一般常用的是八结点曲边四边形等参元。3-3 3-3 八结点曲边四边形等参元八结点曲边四边形等参元一位移插值函数及坐标变换现在学习的是第28页，共65页 左图是8结点平面等参元在整体坐标 下的实际形状，它除了四个角点1，2，3，4之外，又在每边中点选一个结点5或6，7，8，各结点的整体坐标值为 。类似于4结点任意四边形等参元，这种子单元映

14、射到局部坐标系 上，就变成边长为2的8结点正方形母单元。现在学习的是第29页，共65页 现在，我们首先考虑在局部坐标系下的8结点正方形母单元。由于它的8个结点共有16个位移分量，故必须选择局部坐标的双二次多项式，做为它的位移模式。式中 是由单元8个结点的局部坐标值 和来决定的待定常数。(3-20)现在学习的是第30页，共65页 可用类似于以前用过的方法，将8结点的局部坐标值代入式(3-20)，得到以 为未知数，以 及 为已知数的16个联立方程组，求解这个方程组即得 的表达式。然后再回代到(3-20)中，经整理 式中 是第(3-21)个结点的形函数。现在学习的是第31页，共65页 应该指出，用上

15、式求解联立方程组的方法来导出式(3-21)，比较麻烦，特别是当待定系数比较多时，欲导出形函数 的显式是非常烦琐的。为了简化求导 的过程，我们可以利用 的特点来决定各结点的形函数显式。由第二章知，各种单元的形函数都有两个特点时，或 是 的二次函数；当固定 时，或 又是的二项函数。1)是形如单元位移模式的同幂次多项式，对于8结点曲边形等参元，它的 一定是局部坐标 和 的双二次多项式，固定 现在学习的是第32页，共65页2)在 结点的值为1，在其余结点，根据形函数的这两个特点，先求8结点曲边四边形等参元四个角点 的形函数。对于角点1，根据第2)个特点，在结点 的值全为零，而直线 通过 等七个结点，故

16、这三条直线的方程分别为 同时，由 组成的函数，在 结点上的值恰好都等于零；另外，根据第1)个特点，函数也恰好是双二次函数。因此，可设现在学习的是第33页，共65页式中 是待定常数。将1结点的局部坐标值 和 代入上式，并考虑 这一特点，可求得同理可得 (3-22)，于是现在学习的是第34页，共65页 再来求8结点曲边四边形单元各边中点 的形函数。对于5结点，根据第2)个特点，在 结点的值全应等于零，而直线 通过上述七点，这三条直线的方程分别为 于是，函数 在结点 上的值恰好都等于零；另外，函数 也符合 的第1)个特点。因此，可设 式中 也是待定常数。将5结点的局部坐标值 和 代入上式，并考虑 这

17、一特点，可求得 ，于是现在学习的是第35页，共65页 同理可得(3-23)，则可将(3-22)和(3-23)式合并成一个通式 (3-24)如令现在学习的是第36页，共65页 从式(3-24)看出，是双二次函数，从而使单元任一点的位移插值函数 和 式(3-21)也是双二次函数：单元每一条边上的和 是 或 的二次函数，它完全由边上的3结点的函数值唯一决定，而且在相邻两单元的公共边上，其三个结点有相同的函数值。因此，这种单元的位移插值函数 和 ，以及形函数能完全满足变形连续性条件和相容条件，结构变形后，各单元之间和每个单元都不能出现开裂和重叠现象。由于 是双二次函数，它对结构线性函数都是精确成立的，

18、故可用类似于4结点任意四边形等参元曾用过的方法，直接写出单元内任一点的局部坐标的线性插值式。(3-25)现在学习的是第37页，共65页且有 以及该点的整体坐标与局部坐标之间的变换式由于 的相容性，式(3-27)也满足相容条件。(3-26)(3-27)现在学习的是第38页，共65页 8结点曲边四边形等参元的坐标变换矩阵 和其逆阵 以及变换行列式 ，仍可以采用(3-12)、(3-14)和(3-15)，但这三式中及项，需做如下改变 (3-28)所共同包含的现在学习的是第39页，共65页而式(3-28)中的和，可将式(3-24)分别对,求得：(3-29)的偏微分而现在学习的是第40页，共65页 最后，

19、由式(3-13)可直接引出 (3-30)现在学习的是第41页，共65页 将式(3-29)代入式(3-28)，再将式(3-30)分别代入式(3-12)，(3-14)及(3-15)中，即可求得8结点曲边四边形等参元的坐标变换矩阵和其逆阵 ，以及坐标变换行列式 的具体表达式。这些表达式都是局部坐标 和 的函数。最后，再把式(3-29)代入式(3-30)中，就把 和 转化成为局部坐标的函数，这对于立足于局部坐标去计算单元应力 和单元刚度阵 是非常方便的。应该指出，为了保证8结点曲边四边形等参元的坐标变换能顺利进行，对整体坐标下8个结点位置 的配置必须做一定的限制。既不能使单元太偏斜，又要求任意两条对边

20、经过适当延伸也不能在单元内出现交点。通常，在划分单元网格时，尽量把每个单元配置成接近正方形。现在学习的是第42页，共65页 将式(3-21)代入平面问题的几何方程中，便得出8结点曲边四边形单元的应变分量计算式 (3-31)二单元分析现在学习的是第43页，共65页式中 单元应变矩阵 的第i个子矩阵单元结点位移列阵现在学习的是第44页，共65页8结点曲边四边形单元的应力表达式式中 和应力矩阵及其子矩阵，对于平面应变问题(3-32)现在学习的是第45页，共65页 应用虚功方程，仍可以导出这种单元的刚度矩阵。(3-33)把式(3-33)写成分块矩阵，可分成88个子矩阵，每个子矩阵都是22阶矩阵 ：(3

21、-34)现在学习的是第46页，共65页 将式(3-29)代入式(3-28)中，再将式(3-28)代入式(3-12)、(3-14)和(3-15)即可求得8结点曲边四边形等参元的 ,及 ；然后将式(3-29)代入式(3-30)中，再将式(3-30)及已求得 的代入式(3-34)中，经过局部坐标的积分，可得到 ，其中被积函数 (3-35)现在学习的是第47页，共65页或 的具体数值；最后把各单元的 组集结构整体刚度矩阵，把各单元的结点力列阵 组集成整个结构的结点力列阵 ，并组成结构刚度方程 ，再考虑结构约束条件，即可求解出离散结构上各结点的位移分量列阵 和各单元的结点位移分量列阵 。求得了各单元的

22、后，再把 和已计算过的式(3-30)一起代入式(3-32)中，且要给出各单元需要求应力的局部坐标值，就可以求得各单元内需要求应力那些点的各应力分量值。现在学习的是第48页，共65页 应该指出，无论是8结点曲边四边形等参元或者是4 结点任意四边形等参元，其单元内每一点的应力 都是不相同的，且 是点的局部坐标复杂函数，因而这种单元的精度比较高。但是，在相邻单元公共边上的应力函数仍然是不连续的（其位移是连续的）。因此，通常是求单元各高斯积分点处的应力。（见3.4）8结点曲边四边形等参元基本和4结点任意四边形等参元的等效结点力计算方法相同。现以8结点四边形等参元为例，讨论如何把单元上的载荷化成等效结点

23、力。三等效结点力计算现在学习的是第49页，共65页 1.集中力：设单元上任意点c受有集中载荷，则 被移置到单元各有关受载结点上的等效结点力，可按第2章2-8节中讲过的方法直接写成 (3-36)式中 代表 在集中力作用点处c的取值，把c点的局部坐标值代入形函数 ，再去计算 。实际计算时，应尽量把集中力作用点取为结点，而把 直接加到该结点上。现在学习的是第50页，共65页 2.体积力：设单元上的体力为 ，移置到单元各结点上的等效结点力。按式(2-38)可写成式中t是单元厚度。(3-37)现在学习的是第51页，共65页3.面力：设单元的某边界上受有面力上有关结点的等效结点力按式(2-39)可写成式中

24、 是单元作用有面力的边界域；是在 边界域的一个微弧长；i为受面力边界上的结点号码。，这条边界(3-38)现在学习的是第52页，共65页 应指出，式(3-38)中所给出的面力分量 和 ，实用时不太方便。在实际结构上往往是给出沿单元曲线边界的法线和切线方向的面力 和 ，故需对式(3-38)做适当修改。规定：法向面力 以沿边界曲线的外法线方向为负，切向面力 以沿单元边界逆时针方向前进者为正。图中指出的 和都是正的。现在学习的是第53页，共65页 设图中8结点平面等参元的 边界上受有面力 及 ，且与x轴的夹角为 。则 与x轴的夹角就是 。由图知而现在学习的是第54页，共65页把 和 代入(3-38)式

25、得由(3-21)知，故x或y对和的重积分为(3-39)现在学习的是第55页，共65页 对于图中等参元的 边界，其局部坐标 ，是变化的，因此x或y对局部坐标的全微分应为 将 和 代入式(3-39)得(3-40)由于，及都是的复杂函数（因的积分也要用数值积分法（常用高斯求积法来求解）。），故式(3-40)现在学习的是第56页，共65页 4.温度荷载考虑温度变化产生的初应变则任意结点上的等效结点力是将 和 代入上式，可以写成现在学习的是第57页，共65页此时，计算应力的（3-32）式改写为现在学习的是第58页，共65页 在前二节的刚度矩阵和等效结点力的计算公式中，都需要做如下形式的积分运算 显然，被

26、积函数 一般是很复杂的，往往不能得出它的显式。因此，在有限单元法的计算中都用数值积分。我们在单元内选出某些点（称为积分点），算出被积函数 在这些积分点处的函数值，然后用一些加权系数乘上这些函数值，再求出总和作为近似的积分值。高斯求积法就是数值积分法中具有较高精度的方法。3-4 3-4 高斯求积法的应用高斯求积法的应用现在学习的是第59页，共65页一维高斯求积公式式中n是积分点的数目，是积分点i的局部坐标，是加权系数。下表是n4的数值现在学习的是第60页，共65页高斯求积公式中的积分点坐标与加权系数n213040.861,136,311,5940.339,981,043,5840.347,854

27、,845,1370.652,145,154,862现在学习的是第61页，共65页 积分点数目n的选取与被积函数 有关，当 是m次多项式时，则取 。当 不是多项式时，则需通过一些计算来判断选取适当的n值；n不能取得过大，因为计算工作量将会随着积分点的增多而急剧地增加。逐次地利用上式。则有下列公式它们可以应用于二维和三维问题。现在学习的是第62页，共65页 具体的说，对于平面等参元，求积点的个数可选为n2；对于空间等参元，求积点个数可选为n3。阶数n可按下表选取。4结点8结点20，21结点二维三维n=2n=3n=2n=3 应该指出，高斯求积法仍有一定误差，但这一误差在某种程度上可起到一定的“补偿”

28、作用。因为，用有限单元法求解结构的应力与变形问题时，往往使结构变得“过刚”，所得有限元法的近似解的变形能总小于精确解的变形能，因而使所求得的应变及应力在总刚上来说是偏小的；高斯积分的误差对有限元法近似解一般可以起到适当增大变形能的作用，所以说起到一定的“补偿”作用。现在学习的是第63页，共65页1234567891012345 第三次作第三次作业业：6已知图示所示的梁,三角形单元 和八节点等参元。求7求图示5节点单元的形函数。现在学习的是第64页，共65页xy1(40,50)2(5,40)3(10,10)4(30,20)5678Q 8图示为二次四边形单元，试计算 和 在自然坐标为 的点Q的数值（提示：因为单元的边是直线，可用4个节点定义单元的几何形状）。9二维8节点等参元，在x,y坐标中单元各边与坐标轴x,y平行，边长为a,b，确定下列载荷情况下的节点荷载。（a）在x正方向有一分布荷载作用在=1的边上，荷载在=1为0；在=1为q0，呈直线变化；（b）在=1的边上作用有均布荷载q0，方向压向单元；（c）在y正方向上作用有均匀的体积力b。现在学习的是第65页，共65页