第九章代数系统 (2)优秀PPT.ppt
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1、第九章代数系统第九章代数系统第一页,本课件共有47页本章说明本章说明本章说明本章说明q本章的主要内容本章的主要内容一元和二元运算定义及其实例一元和二元运算定义及其实例二元运算的性质二元运算的性质代数系统定义及其实例代数系统定义及其实例子代数子代数 q与后面各章的关系与后面各章的关系是后面典型代数系统的基础是后面典型代数系统的基础第二页,本课件共有47页9.1 9.1 二元运算及其性质二元运算及其性质9.2 9.2 代数系统代数系统 本章小结本章小结 作作 业业本章内容本章内容本章内容本章内容第三页,本课件共有47页群论的创始者Galois埃瓦里斯特伽罗华(1811-1832 法)l群论是现代数
2、学非常重要的分支,群论产生的开端非常平凡,但是群论的创立者却充满了传奇.我们熟知的公式 是二次方程是二次方程 求根公式求根公式.群指的是满足以下四个条件的一组元素的群指的是满足以下四个条件的一组元素的集合:(集合:(1 1)封闭性)封闭性 (2 2)结合律成立)结合律成立 (3 3)单位元)单位元存在存在 (4 4)逆元存在。)逆元存在。第四页,本课件共有47页l l人们试图对次数更高的方程得到类似的求解公式人们试图对次数更高的方程得到类似的求解公式.l l公元前公元前16001600年的巴比伦数学家已知道如何解二次方程年的巴比伦数学家已知道如何解二次方程,尽管他们没有使用我们现在的代数符号去
3、表达方程及尽管他们没有使用我们现在的代数符号去表达方程及其解其解.l l形如形如 ax3+bx2+cx+d=0 ax3+bx2+cx+d=0的三次方程的求根公式直至的三次方程的求根公式直至1616世纪才被发现世纪才被发现.l它是由意大利数学家费罗(Ferro)和丰塔那(Fontana)彼此独立得到的.第五页,本课件共有47页l l 15451545年年,卡尔达塔卡尔达塔(Cardano)(Cardano)在他的在他的大术(Ars Magna)一书中公开发表了丰塔那的方法.这部书还讲述了费拉里(Ferrari)求解四次方程的方法.l l但事情的发展似乎突然停了下来但事情的发展似乎突然停了下来.l
4、 l虽然有很多数学家作出了努力虽然有很多数学家作出了努力,其中包括其中包括1818世纪中叶世纪中叶伟大的瑞士数学家欧拉伟大的瑞士数学家欧拉(Euler),(Euler),但没有一个人能找出五但没有一个人能找出五次方程的求根公式次方程的求根公式.第六页,本课件共有47页l拉格朗日(Lagrange)在1770年猜测:这样的求根公式不存在这样的求根公式不存在.l1824年,挪威数学家阿贝尔(Abel)证明了拉格朗日的看法.l l 但是虽然没有通用公式但是虽然没有通用公式,有些特殊的五有些特殊的五 次方程有求根公式次方程有求根公式,那么自然会问那么自然会问:如何判定一个给定的如何判定一个给定的五次方
5、程是否有这样的求根公式五次方程是否有这样的求根公式?l l阿贝尔去世阿贝尔去世(1829(1829年年,26,26岁岁)前一直在竭尽全力地研究这前一直在竭尽全力地研究这个问题个问题.第七页,本课件共有47页l l在这一时期在这一时期,碰巧还有一位年轻人也在勤奋地钻研这碰巧还有一位年轻人也在勤奋地钻研这个问题个问题,而且最终取得了成功而且最终取得了成功,他就是伽罗华他就是伽罗华(Galois).(Galois).l可是这位年轻人获得的非凡成果,在他因决斗去世11年后才开始得到数学界的承认.l l伽罗华伽罗华18111811年年1010月降生于巴黎近郊月降生于巴黎近郊.l l1414岁那年因考试不
6、及格而重上三年级岁那年因考试不及格而重上三年级.第八页,本课件共有47页l l1515岁参加声望很高的巴黎高等工科大学的入学考试时岁参加声望很高的巴黎高等工科大学的入学考试时,伽罗华失败了伽罗华失败了,不得不进入较普通的师范学校不得不进入较普通的师范学校.l就是在这所学校,伽罗华写出了他的第一篇关于连分数的数学论文,显示了他的能力.l l他的下两篇关于多项式方程的论文遭到法国科学院的他的下两篇关于多项式方程的论文遭到法国科学院的拒绝拒绝.更遭的是更遭的是,两篇论文手稿还莫名其妙地被丢失了两篇论文手稿还莫名其妙地被丢失了.第九页,本课件共有47页l l18291829年年7 7月月,他在巴黎高等
7、工科大学的入学考试中再他在巴黎高等工科大学的入学考试中再次失败次失败.l怀着沮丧之情,伽罗华于1830年初又向科学院提交了另一篇论文,这次是为竞争一项数学大奖.l l 科学院秘书傅立叶科学院秘书傅立叶(Fourier)(Fourier)将其手稿将其手稿 拿回家去审读拿回家去审读,不料在写出评审报告前去世了不料在写出评审报告前去世了,此文再此文再也没有找到也没有找到.第十页,本课件共有47页l l三失手稿三失手稿,加之考巴黎高等工科大学两度失败加之考巴黎高等工科大学两度失败,伽罗伽罗华遂对科学界产生排斥情绪华遂对科学界产生排斥情绪,变成了学生激进分子变成了学生激进分子,被学校开除被学校开除.l
8、l 担任私人辅导教师谋生担任私人辅导教师谋生,但他的数学研但他的数学研 究工作依然相当活跃究工作依然相当活跃.在这一时期写出了最著名的论在这一时期写出了最著名的论文文“关于方程可根式求解的条件关于方程可根式求解的条件”,并于1831年1月送交科学院.l l到到3 3月月,科学院方面仍杳无音讯科学院方面仍杳无音讯,于是他写信给院长打听于是他写信给院长打听他的文章的下落他的文章的下落,结果又如石沉大海结果又如石沉大海.第十一页,本课件共有47页l他放弃了一切希望,参加了国民卫队.在那里和他在数学界一样运气不佳.他刚加入不久,卫队即遭控告阴谋造反而被解散.l l在在18311831年年5 5月月10
9、10日进行的一次抗议聚宴上日进行的一次抗议聚宴上,伽罗华手中举伽罗华手中举着出鞘的刀提议为国王干杯着出鞘的刀提议为国王干杯,这一手势被同伙们解释成这一手势被同伙们解释成是要国王的命;第是要国王的命;第2 2天他就被捕了天他就被捕了.后来被判无罪后来被判无罪,并于并于6 6月月1515日获释日获释.第十二页,本课件共有47页l l7 7月月4 4日日,他终于打听到他给科学院的那篇论文的命运他终于打听到他给科学院的那篇论文的命运:因因“无法理解无法理解”而遭拒绝而遭拒绝.l 审稿人是著名的数学家泊松(Poisson).l7月14日他又遭逮捕并被判了六个月监禁,因为他在公共场所身着已被解散的国民卫队
10、的制服.l l在获释不久在获释不久,他陷入了与斯特凡妮小姐的恋情他陷入了与斯特凡妮小姐的恋情.这导致这导致了他的早亡了他的早亡.这次恋爱事件不知何故引出了一场决斗这次恋爱事件不知何故引出了一场决斗.第十三页,本课件共有47页l l18321832年年5 5月月2929日日,决斗的前夜决斗的前夜,伽罗华写了封很长的信给伽罗华写了封很长的信给他的朋友舍瓦利耶他的朋友舍瓦利耶(A.Chevalier),(A.Chevalier),其中大致描述了他的数其中大致描述了他的数学理论学理论,从而给数学界留下了唯一一份它将蒙受何等损从而给数学界留下了唯一一份它将蒙受何等损失的提要失的提要.l l在第二天的决斗
11、中在第二天的决斗中(离离2525步远用手枪射击步远用手枪射击),),伽罗华的胃伽罗华的胃部中弹部中弹,24,24小时后去世小时后去世.享年不足享年不足2121岁岁.l伽罗华留给世界的最核心的概念是(置换)群群,他成了他成了群论群论的创始人的创始人.第十四页,本课件共有47页9.1 9.1 二元运算及其性质二元运算及其性质二元运算及其性质二元运算及其性质定义定义9.1 9.1 设设S S为集合,函数为集合,函数 f:SSS 称为称为S上的二元运算上的二元运算,简称为简称为二元运算二元运算。举例举例 f:NNN:NNN,f(f()x+y是自然数集合是自然数集合N N上的二元运算上的二元运算f:NN
12、N:NNN,f(f()x-y不是自然数集合不是自然数集合N N上的二元运算上的二元运算称称N N对减法对减法不封闭不封闭。说明说明验证一个运算是否为集合验证一个运算是否为集合S S上的二元运算主要考虑两点:上的二元运算主要考虑两点:qS S中任何两个元素都可以进行这种运算,且运算的结果中任何两个元素都可以进行这种运算,且运算的结果是唯一的。是唯一的。qS S中任何两个元素的运算结果都属于中任何两个元素的运算结果都属于S S,即,即S S对该运算是对该运算是封闭的。封闭的。第十五页,本课件共有47页(1 1)自然数集合)自然数集合N上的加法和乘法是上的加法和乘法是N上的二元运算,但减上的二元运算
13、,但减 法和除法不是。法和除法不是。(2 2)整数集合)整数集合Z Z上的加法、减法和乘法都是上的加法、减法和乘法都是Z上的二元运算上的二元运算 ,而除法不是。,而除法不是。(3 3)非零实数集)非零实数集R*上的乘法和除法都是上的乘法和除法都是R*上的二元运算,加上的二元运算,加 法、减法不是法、减法不是。例例例例9.19.19.19.1第十六页,本课件共有47页一元运算一元运算定义定义9.29.2 设设S为集合,函数为集合,函数f:SS称为称为S上的一元运算上的一元运算,简称为,简称为一元运算一元运算。例例9.3(1)求一个数的相反数求一个数的相反数是整数集合是整数集合Z、有理数集合有理数
14、集合Q和实数集和实数集 合合R上的一元运算。上的一元运算。(2)求一个数的倒数求一个数的倒数是非零有理数集合是非零有理数集合Q*、非零实数集合非零实数集合R*上的一元运算。上的一元运算。(3)求一个复数的共轭复数求一个复数的共轭复数是复数集合是复数集合C上的一元运算。上的一元运算。第十七页,本课件共有47页q可以用可以用、等符号表示二元或一元运算,称为等符号表示二元或一元运算,称为算符算符。设设f:SSS是是S上的二元运算上的二元运算,对任意的对任意的x,yS,如果,如果x与与y的运算结果为的运算结果为z,即即f()z,可以利用算符可以利用算符 简记简记为为x y=z。对一元运算对一元运算 ,
15、x的运算结果记作的运算结果记作 x。例题例题 设设R为实数集合,如下定义为实数集合,如下定义R上的二元运算上的二元运算 :x,yR,x y=x。那么那么 3 4=3,0.5 (3)=0.5。二元与一元运算的算符二元与一元运算的算符二元与一元运算的算符二元与一元运算的算符第十八页,本课件共有47页q函数的解析公式函数的解析公式q运算表(表示有穷集上的一元和二元运算)运算表(表示有穷集上的一元和二元运算)二元运算的运算表二元运算的运算表an an an a2 an a1 ana2 an a2 a2 a2 a1 a2a1 an a1 a2 a1 a1 a1an a2a1 一元运算的运算表一元运算的运
16、算表 an an a2 a2 a1 a1 ai ai二元与一元运算的表示二元与一元运算的表示二元与一元运算的表示二元与一元运算的表示第十九页,本课件共有47页例例9.49.4 设设S=1,2,给出给出P(S)上的运算上的运算 和和的运算表的运算表,其中全集,其中全集为为S。的的运算表运算表121,21,211,22221,2111,221 1,221 的运算表的运算表1,212211,2 ai ai解答例例例例9.49.49.49.4第二十页,本课件共有47页例例9.59.5 设设S=1,2,3,4,定义定义S上的二元运算上的二元运算 如下:如下:x y(xy)mod 5,x,ySS 求运算求
17、运算 的运算表。的运算表。解答例例例例9.59.59.59.5123411234224133314244321第二十一页,本课件共有47页定定义义9.39.3 设设 为为S上上的的二二元元运运算算,如如果果对对于于任任意意的的x,yS都都有有x y=y x,则称运算则称运算 在在S上满足上满足交换律交换律。定定义义9.49.4 设设 为为S上上的的二二元元运运算算,如如果果对对于于任任意意的的x,y,zS都都有有(x y)z=x(y z),则称运算则称运算 在在S上满足上满足结合律结合律。说明说明:若若+适合结合律,则有适合结合律,则有(x+y)+(u+v)x+y+u+v。定定义义9.59.5
18、 设设 为为S上上的的二二元元运运算算,如如果果对对于于任任意意的的xS有有x x=x,则则称称运运算算 在在S上上满满足足幂幂等等律律。如如果果S中中的的某某些些x满满足足x x=x,则称则称x为运算为运算 的的幂等元幂等元。举举例例:普普通通的的加加法法和和乘乘法法不不适适合合幂幂等等律律。但但0是是加加法法的的幂幂等等元,元,0和和1是乘法的幂等元。是乘法的幂等元。二元运算的性质二元运算的性质二元运算的性质二元运算的性质第二十二页,本课件共有47页定义定义9.69.6 设设 和和*为为S上两个二元运算,如果对于任意的上两个二元运算,如果对于任意的x,y,zS,有有 x*(y z)(x*y
19、)(x*z)(左分配律左分配律)(y z)*x (y*x)(z*x)(右分配律右分配律)则称运算则称运算 对运算对运算 满足满足分配律分配律。说明:说明:若若*对对 运算分配律成立,则运算分配律成立,则*对对 运算广义分配律也成立。运算广义分配律也成立。x*(y1 y2 yn)(x*y1)(x*y2)(x*yn)(y1 y2 yn)*x (y1*x)(y2*x)(yn*x)定义定义9.79.7 设设 和和*为为S上两个可交换的二元运算,如果对于任意的上两个可交换的二元运算,如果对于任意的x,yS,都有,都有x*(x y)x x(x*y)x 则称运算则称运算 和和 满足满足吸收律吸收律。二元运算
20、的性质二元运算的性质二元运算的性质二元运算的性质第二十三页,本课件共有47页定义定义9.89.8 设设 为为S上的二元运算,上的二元运算,q如果存在元素如果存在元素el(或或er)S,使得对任意使得对任意xS都有都有el x=x (或或x er=x)则称则称el(或或er)是是S中关于中关于 运算的一个运算的一个左单位元左单位元(或或右单位元右单位元)。q若若eS关关于于 运运算算既既是是左左单单位位元元又又是是右右单单位位元元,则则称称e为为S上上关关于于 运算的运算的单位元单位元。单位元也叫做。单位元也叫做幺元幺元。q运算可以没有左单位元和右单位元。运算可以没有左单位元和右单位元。q运算可
21、以只有左单位元。运算可以只有左单位元。q运算可以只有右单位元。运算可以只有右单位元。q运算可以既有左单位元,又有右单位元。运算可以既有左单位元,又有右单位元。说明说明二元运算中的特异元素二元运算中的特异元素二元运算中的特异元素二元运算中的特异元素单位元单位元单位元单位元第二十四页,本课件共有47页二元运算中的特异元素二元运算中的特异元素零元零元定义定义9.99.9 设设 为为S上的二元运算,上的二元运算,q如果存在元素如果存在元素l(或或r)S,使得对任意使得对任意xS都有都有 l x=l (或或x r=r),则称则称l(或或r)是是S上关于上关于 运算的运算的左零元左零元(或或右零元右零元)
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