第五章不定积分优秀PPT.ppt

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1、第五章不定积分1第一页，本课件共有82页注注2 2：不定积分的结果必须包含一个任意常数：不定积分的结果必须包含一个任意常数C.C.3.不定积分的几何意义：不定积分的几何意义：表示一簇表示一簇积分曲线，每条曲线在其横积分曲线，每条曲线在其横 坐标相同的点处的坐标相同的点处的切线互相平行。切线互相平行。0 xy已知曲线的切线已知曲线的切线斜率求曲线方程斜率求曲线方程就是对斜率求不就是对斜率求不定积分。定积分。第二页，本课件共有82页4.4.不定积分的性质不定积分的性质（1）求不定积分与求导数或微分互为逆运算）求不定积分与求导数或微分互为逆运算1234思考：思考：第三页，本课件共有82页(2)不为零

2、的常数因子可提到积分号外不为零的常数因子可提到积分号外（3）和的积分等于积分）和的积分等于积分 的和的和第四页，本课件共有82页5.基本积分公式表基本积分公式表第五页，本课件共有82页第六页，本课件共有82页第七页，本课件共有82页6.不定积分中的常不定积分中的常 用变换与技巧用变换与技巧（1）分解、折项、同除同乘；）分解、折项、同除同乘；（2）三角变换：倍角、半角、积化和差、）三角变换：倍角、半角、积化和差、第八页，本课件共有82页被积函数中存在复合关系先换元再说被积函数中存在复合关系先换元再说.被积函数中含抽象函数被积函数中含抽象函数 时，设法求时，设法求 的表达式的表达式.第九页，本课件

3、共有82页对三角函数的积分，化为同角同名对三角函数的积分，化为同角同名.被积函数中含有导数的积分被积函数中含有导数的积分分部积分分部积分被积函数中出现被积函数中出现二、基本问题及解法二、基本问题及解法问题问题(一一)与原函数有关的命题与原函数有关的命题运算依据运算依据:原函数的定义、不定积分的定义、原函数的定义、不定积分的定义、不定积分与微分的关系。不定积分与微分的关系。第十页，本课件共有82页运算方法：（运算方法：（1）在单项选择题中求不定积分，选）在单项选择题中求不定积分，选择具有任意常数择具有任意常数C的备选答案求导，若其值等于被的备选答案求导，若其值等于被积函数，则此备选答案为所求；（

4、积函数，则此备选答案为所求；（2）已知不定积）已知不定积分的结果求被积函数，则对不定积分的结果求导分的结果求被积函数，则对不定积分的结果求导第十一页，本课件共有82页分析：由分析：由而而故选故选(B)第十二页，本课件共有82页例例4.则则分析：分析：例5.设的一个原函数为则第十三页，本课件共有82页分析：由于故第十四页，本课件共有82页问题问题(二二)：不定积分的计算：不定积分的计算 计算不定积分，通常要对被计算不定积分，通常要对被 积函数进行适当的积函数进行适当的变换，如代数变换（根式变换、指数对数变换、倒变换，如代数变换（根式变换、指数对数变换、倒代换、分解折项，同乘、同除等）以及三角换、

5、反代换、分解折项，同乘、同除等）以及三角换、反三角变换，将积分化为常规型。三角变换，将积分化为常规型。1.直接积分法直接积分法:有些积分可直接用不定积分的性有些积分可直接用不定积分的性质和基本积分公式求之质和基本积分公式求之;或者进行代数、三角的恒或者进行代数、三角的恒等变换（因式分解、折项、添项、和角、倍角公等变换（因式分解、折项、添项、和角、倍角公式）化为简单函数和的积分。式）化为简单函数和的积分。第十五页，本课件共有82页第十六页，本课件共有82页第十七页，本课件共有82页第十八页，本课件共有82页2.第一换元法第一换元法(凑微分法凑微分法)凑微分法是当被积函数为复合函数凑微分法是当被积

6、函数为复合函数 时，时，将积分变量将积分变量x的微分的微分dx凑成凑成 的形式再用公式。的形式再用公式。第十九页，本课件共有82页第二十页，本课件共有82页第二十一页，本课件共有82页第二十二页，本课件共有82页第二十三页，本课件共有82页例例2.求列不定积分求列不定积分第二十四页，本课件共有82页例3.求下列积分第二十五页，本课件共有82页注：本题也可用换元法，令原式例4.求下列积分第二十六页，本课件共有82页第二十七页，本课件共有82页第二十八页，本课件共有82页3.3.第二换元法第二换元法结果要求变量回代结果要求变量回代类型特点类型特点（1）被积函数中含有根式、且又不便直接积分）被积函数

7、中含有根式、且又不便直接积分;（2）被积函数含指数、对数、三角、反三角函）被积函数含指数、对数、三角、反三角函 数、且又不便用其他方数、且又不便用其他方 法积分法积分.第二十九页，本课件共有82页（2）三角换元）三角换元变量回代用直角三角形变量回代用直角三角形第三十页，本课件共有82页第三十一页，本课件共有82页例例1 1 求求解解令令第三十二页，本课件共有82页例例2 2 求求解解令令第三十三页，本课件共有82页例例 求求解解 令令第三十四页，本课件共有82页第三十五页，本课件共有82页例例5.求下列积分求下列积分第三十六页，本课件共有82页例例6.求下列积分（指数换元）求下列积分（指数换元

8、）第三十七页，本课件共有82页例例7.求下列不定积分（三角换元）求下列不定积分（三角换元）例例8.求下列不定积分求下列不定积分第三十八页，本课件共有82页第三十九页，本课件共有82页.分部积分法分部积分法第四十页，本课件共有82页第四十一页，本课件共有82页解（一）解（一）令令显然，显然，选择不当，积分更难进行选择不当，积分更难进行.例例1 1 求积分求积分解（二）解（二）令令第四十二页，本课件共有82页解解（再次使用分部积分法）（再次使用分部积分法）例例2 2 求积分求积分例例3 3 求积分求积分解解第四十三页，本课件共有82页例例4 4 求积分求积分解解:第四十四页，本课件共有82页例例5

9、 5 求积分求积分解解注：本题也先换元后分部积分注：本题也先换元后分部积分.第四十五页，本课件共有82页解解例例6例例7 求求解:令,则第四十六页，本课件共有82页例8.第四十七页，本课件共有82页例9.例10.第四十八页，本课件共有82页例11.设 的一个原函数求解：第四十九页，本课件共有82页5.5.其它积分其它积分第五十页，本课件共有82页例1.求下列积分第五十一页，本课件共有82页第五十二页，本课件共有82页注：利用积化和差公式：第五十三页，本课件共有82页第五十四页，本课件共有82页例2.求下列积分第五十五页，本课件共有82页第五十六页，本课件共有82页4).4).抽象函数的积分抽象

10、函数的积分运算方法运算方法:换元积分法、分部积分法。换元积分法、分部积分法。解解由题设知，由题设知，第五十七页，本课件共有82页第五十八页，本课件共有82页例4.已知 是函数 的一个原函数，求分析：由题设知，从而可直接求出 代入被积函数求不定积分即可的一个原函数，有解：第五十九页，本课件共有82页因此例5.设 ，计算分析：关键是通过换元求出 的表达式解：设第六十页，本课件共有82页第六十一页，本课件共有82页问题问题(三三)不定积分的应用不定积分的应用第六十二页，本课件共有82页第六十三页，本课件共有82页第六十四页，本课件共有82页第六十五页，本课件共有82页第六十六页，本课件共有82页三、

11、三、课后练习课后练习第六十七页，本课件共有82页8.设9.设第六十八页，本课件共有82页10.已知 的一个原函数为，则分析：由题意原式11.提示：原式12.若分析：对等式两边求导，得第六十九页，本课件共有82页13.已知分析：先求14.设分析：等式两边求导，有第七十页，本课件共有82页12.计算下列不定积分计算下列不定积分第七十一页，本课件共有82页第七十二页，本课件共有82页15.提示：考虑被积函数的奇偶性原式第七十三页，本课件共有82页16.提示：令 故第七十四页，本课件共有82页解：分部积分法17.第七十五页，本课件共有82页解：令原式18.第七十六页，本课件共有82页19.计算不定积分提示：（1）（换元、凑微分）20.求提示：原式第七十七页，本课件共有82页求21.已知 的一个原函数为提示：第七十八页，本课件共有82页22.求提示：拆成两项积分，原式=23.求第七十九页，本课件共有82页提示：原式24.求提示：分部积分.原式=第八十页，本课件共有82页25.已知一条曲线上任一点处切线的斜率与该点的横坐标成正比，又知曲线通过点（1，3），并在该点处切线的倾角为 ，求该曲线方程.解：设曲线方程为 和按题设知于是所求曲线方程为第八十一页，本课件共有82页26.设 的原函数为解：由分部积分法，有而由题设可知故第八十二页，本课件共有82页