第2节 矩阵的运算精.ppt

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1、第第2节节 矩阵的运算矩阵的运算第1页，本讲稿共39页1.1.1.1.定定定定 义义义义 设设设设 A A(a aij ij)mm n n 与与与与 B B(b bij ij)mm n n 是是是是 A-BA-B=A A+(-+(-B B).).阵阵.显然有显然有显然有显然有 A A+(-+(-A A)=)=O O.由此可定义矩阵的由此可定义矩阵的由此可定义矩阵的由此可定义矩阵的差差为为为为 若记若记若记若记 -A A=(-=(-a aij ij),),则称则称则称则称-A A 为矩阵为矩阵为矩阵为矩阵 A A 的的的的负矩负矩矩阵矩阵 A 与矩阵与矩阵 B 的和的和的和的和，记为，记为，记为

2、，记为 A AB B两个两个两个两个同型矩阵同型矩阵同型矩阵同型矩阵，称，称，称，称 mm n n 矩阵矩阵矩阵矩阵 C C (a aij ij+b+bij ij)mm n n 为为 一、矩阵的加法一、矩阵的加法第2页，本讲稿共39页例例例例1 1 设设 (1)问三个矩阵中哪些能进行加法运算问三个矩阵中哪些能进行加法运算,并求并求其和其和,哪些不能进行加法运算哪些不能进行加法运算,说明原因说明原因;(2)求求 C 的负矩阵的负矩阵.(1)A 与与 B 能进行加法运算能进行加法运算;阵阵,A 和和 B 都是都是 32 矩阵矩阵,C 是是 22 矩阵矩阵.B 与与 C 不能进行加法运算不能进行加法

3、运算,因为它们不是同型矩因为它们不是同型矩而而 A 与与 C,解解解解第3页，本讲稿共39页 (2)C 的负矩阵为的负矩阵为:第4页，本讲稿共39页 2.2.运算规律运算规律运算规律运算规律 设设 A,B,C 为同型矩阵为同型矩阵,则则 (1)A+B=B+A (加法交换律加法交换律加法交换律加法交换律);(2)(A+B)+C=A+(B+C)(加法结合律加法结合律加法结合律加法结合律);(3)A+O=O+A=A,(4)A+(-A)=O.其中其中 O 是与是与 A 同型矩阵同型矩阵;第5页，本讲稿共39页 1.定定 义义 设设设设 A A=(=(a aij ij)mm n n,k k 是一个数是一

4、个数是一个数是一个数,则则则则为数为数为数为数 k k 与矩阵与矩阵与矩阵与矩阵 A A 的的的的数量乘积数量乘积数量乘积数量乘积,简称简称简称简称数乘数乘数乘数乘,记为记为记为记为 kA kA.称矩阵称矩阵称矩阵称矩阵 二、数与矩阵相乘二、数与矩阵相乘第6页，本讲稿共39页例例2 设设且且 在在求矩阵求矩阵 X.两端同加上两端同加上得得 解解 两端乘以两端乘以 得得第7页，本讲稿共39页 2.运算规律运算规律 设设 A,B 为同类型矩阵为同类型矩阵,k,l 为常数，则为常数，则(1)1A=A;(2)k(lA)=(kl)A;(3)k(A+B)=kA+kB;(4)(k+l)A=kA+lA.矩阵相

5、加与数乘矩阵合起来，统称为矩阵的矩阵相加与数乘矩阵合起来，统称为矩阵的线性运算线性运算.第8页，本讲稿共39页 设某地区有甲、乙、丙三个工厂设某地区有甲、乙、丙三个工厂,每个工厂都每个工厂都产产 品品工工 厂厂甲甲乙乙丙丙 20 30 10 45 15 10 70 2020 15 35 25产量产量(单位单位:个个)如下表所示如下表所示:生产生产、4 种产品种产品.已知每个工厂的年已知每个工厂的年引例引例 总收入与总利润总收入与总利润 三、矩阵的乘法三、矩阵的乘法第9页，本讲稿共39页已知每种产品的单价已知每种产品的单价(元元/个个)和单位利润和单位利润(元元/个个)项项 目目产产 品品单单

6、价价单位利润单位利润 100 20 150 45 300 120 200 60求各工厂的总收入与总利润求各工厂的总收入与总利润.如下表所示如下表所示:第10页，本讲稿共39页 解解解解 容易算出各工厂的总收入与总利润容易算出各工厂的总收入与总利润,也也项项 目目工工 厂厂总收入总收入总利润总利润甲甲乙乙丙丙 15500 5650 28000 10350 19750 6775本例中的三个表格可用三个矩阵表示本例中的三个表格可用三个矩阵表示,设设可以列表如下可以列表如下:第11页，本讲稿共39页易见易见 矩阵矩阵 A 的列数的列数=矩阵矩阵 B 的行数的行数,矩阵矩阵 C 的行数的行数=矩阵矩阵

7、A 的行数的行数,矩阵矩阵 C 的列数的列数=矩阵矩阵 B 的列数的列数.如果记如果记 A=(aij)34,B=(bij)42,C=(cij)32,则则 cij=ai1b1j+ai2b2j+ai3b3j,i=1,2,3,j=1,2,我们把矩阵我们把矩阵 C 称为矩阵称为矩阵 A 与矩阵与矩阵 B 的的乘积乘积乘积乘积.第12页，本讲稿共39页注意注意:只有当只有当只有当只有当第一个第一个第一个第一个矩阵矩阵矩阵矩阵(左矩阵左矩阵左矩阵左矩阵)的的的的列数列数列数列数等于等于等于等于第第第第二个二个二个二个矩阵矩阵矩阵矩阵(右矩阵右矩阵右矩阵右矩阵)的的的的行数行数行数行数时时时时,两个矩阵才能

8、相乘两个矩阵才能相乘两个矩阵才能相乘两个矩阵才能相乘.1.定定 义义 设矩阵设矩阵设矩阵设矩阵 A A=(=(a aij ij)mm p p,B B=(=(b bij ij)p p n n,i i=1,2,=1,2,mm,j j=1,2,=1,2,n n则称矩阵则称矩阵则称矩阵则称矩阵 C C 为为为为矩阵矩阵矩阵矩阵 A A 与矩阵与矩阵与矩阵与矩阵 B B 的乘积的乘积的乘积的乘积,记作记作记作记作 C=ABC=AB.c cij ij=a ai i1 1b b1 1j j+a ai i2 2b b2 2j j +a aipipb bpjpj C C=(=(c cij ij)mm n n,其

9、中其中其中其中第13页，本讲稿共39页 例例 3 已知已知求求 AB.因为因为 A 是是 24 矩阵矩阵,B 是是 43 矩阵矩阵,定义有定义有其乘积其乘积 AB=C 是一个是一个 23 矩阵矩阵,由矩阵乘积的由矩阵乘积的 解解 第14页，本讲稿共39页9-2-19911左左左左 i i 行右行右行右行右 j j 列对应元素相乘再求和等于列对应元素相乘再求和等于列对应元素相乘再求和等于列对应元素相乘再求和等于 乘积的乘积的乘积的乘积的 (i i,j j)元素元素元素元素第15页，本讲稿共39页对于线性方程组对于线性方程组若令若令第16页，本讲稿共39页则上述线性方程组可写成矩阵形式则上述线性方

10、程组可写成矩阵形式:AX=b.关于矩阵的乘法运算关于矩阵的乘法运算,需要注意以下几点需要注意以下几点:(1)矩阵的乘法运算不满足交换律矩阵的乘法运算不满足交换律.(2)两个非零矩阵的乘积可能是零矩阵两个非零矩阵的乘积可能是零矩阵.(3)矩阵的乘法不满足消去律矩阵的乘法不满足消去律,即如即如果果 AB=CB,B 0,不一定能推出不一定能推出 A=C.但但 A C.例如例如第17页，本讲稿共39页定义定义 对矩阵对矩阵A A与与B B，若有，若有 则称则称A A与与B B是可交换的。是可交换的。例例 4 设设 ，计算计算AB与与BA解解该例题还表明，矩阵乘法没有交换律；该例题还表明，矩阵乘法没有交

11、换律；且且 但但例如，例如，n阶单位矩阵阶单位矩阵E和和n阶方阵阶方阵A A是可交换的是可交换的两个非零矩阵的乘积两个非零矩阵的乘积两个非零矩阵的乘积两个非零矩阵的乘积可能是零矩阵可能是零矩阵可能是零矩阵可能是零矩阵.第18页，本讲稿共39页 例例5 5 设设 求与求与A A可交换的所有矩阵。可交换的所有矩阵。解解 设设B与与A可交换，则可交换，则B应是应是2阶方阵，不妨记阶方阵，不妨记 由由 ，即，即得得所以所以 解得解得故与故与A可交换的所有矩阵为可交换的所有矩阵为其中其中a、c为任意常数。为任意常数。第19页，本讲稿共39页 2.2.运算规律运算规律运算规律运算规律 (1)OkmAmp=

12、Okp,AmpOpn=Omn;(2)设设 A 是是 m n 矩阵矩阵,Em 是是 m 阶的单位矩阶的单位矩(5)k(AB)=(kA)B=A(kB).(B+C)A=BA+CA;(3)(AB)C=A(BC);(4)A(B+C)=AB+AC,EmA=A,AEn=A;阵阵,En 是是 n 阶的单位矩阵阶的单位矩阵,则则第20页，本讲稿共39页 四、方阵的幂四、方阵的幂另外还规定，另外还规定，0 =E.相乘称为相乘称为相乘称为相乘称为 的的的的 m 次幂次幂，记为，记为，记为，记为 mm,即即即即 1.定义定义 设设设设 A A 是是是是 n n 阶矩阵阶矩阵阶矩阵阶矩阵,m m 是正整数是正整数是正整

13、数是正整数,m m 个个个个第21页，本讲稿共39页 2.2.运算规律运算规律运算规律运算规律 设设 A 为方阵为方阵,k,l 为正整数为正整数,则则阶方阵阶方阵 A 与与 B,一般来说一般来说(AB)k AkBk.又因矩阵乘法一般不满足交换律又因矩阵乘法一般不满足交换律,所以对于两个所以对于两个 n AkAl=Ak+l,(Ak)l=Akl.由数的乘法运算规律推出的一些公式未必完全适合矩阵由数的乘法运算规律推出的一些公式未必完全适合矩阵 ：例如例如 第22页，本讲稿共39页设设 f(x)=a0+a1x+amxm 为为 x 的的 m 次多次多项式，项式，A A为为 n 阶，记阶，记f(A)=a0

14、 E+a1 A+am A m，f(A)称为称为矩阵矩阵 A 的的 m 次多项式次多项式.3.矩阵多项式定义矩阵多项式定义矩阵多项式定义矩阵多项式定义f(A)并且并且应为和应为和A同阶同阶 的的方阵方阵.设设 A 为方阵为方阵,可定义矩阵可定义矩阵A多项式：多项式：第23页，本讲稿共39页 五、矩阵的转置五、矩阵的转置1.定定 义义 把矩阵把矩阵把矩阵把矩阵 A A 的行换成同序数的列得到的行换成同序数的列得到的行换成同序数的列得到的行换成同序数的列得到例如矩阵例如矩阵的转置矩阵为的转置矩阵为一个新矩阵一个新矩阵一个新矩阵一个新矩阵,叫做叫做叫做叫做 A A 的的的的转置矩阵转置矩阵转置矩阵转置

15、矩阵,记作记作记作记作 A AT T 或或或或 A A.第24页，本讲稿共39页 2.2.运算规律运算规律运算规律运算规律 设设 A，B，C，A1，A2，Ak 是矩阵，且是矩阵，且(A1A2Ak)T=AkTA2TA1T;(1)(AT)T=A;(2)(B+C)T=BT+CT;(3)(kA)T=kAT;(4)(AB)T=BTAT;则则它们的行数与列数使相应的运算有定义，它们的行数与列数使相应的运算有定义，k 是数，是数，第25页，本讲稿共39页 (5)若若 A 为为 n 阶矩阵阶矩阵,则则(Am)T=(AT)m,A 为反对称矩阵的充要条件是为反对称矩阵的充要条件是 AT=-A.(6)A 为对称矩阵

16、的充要条件是为对称矩阵的充要条件是 AT=A;m 为正整数为正整数;第26页，本讲稿共39页例例5 5 已知已知第27页，本讲稿共39页第28页，本讲稿共39页例例例例6 6 设设 A 为为 n1 矩阵矩阵,且且 ATA=En,En 为为 n阶单位矩阵阶单位矩阵,B=En-2AAT,证明证明:B 为对称矩阵为对称矩阵,且且 B2=En.由于由于:BT=(En -2AAT)T=En-(2AAT)T=En-2(AT)TAT=En-2AAT=B,因而矩阵因而矩阵 B 为对称矩阵为对称矩阵.B2=(En-2AAT)(En-2AAT)=En-2AAT-2AAT+4AATAAT=En-2AAT-2AAT+

17、4A(ATA)AT=En.证明证明又又证毕证毕证毕证毕第29页，本讲稿共39页例例7 证明任一证明任一 n 阶矩阵阶矩阵 A 都可表示成对称阵与都可表示成对称阵与 反对称阵之和反对称阵之和.证明证明 所以所以C为对称矩阵为对称矩阵.所以所以B为反对称矩阵为反对称矩阵.命题得证命题得证.第30页，本讲稿共39页 六、方阵的行列式六、方阵的行列式1.定定 义义 由由由由 n n 阶方阵阶方阵阶方阵阶方阵 A A 的元素所构成的行列的元素所构成的行列的元素所构成的行列的元素所构成的行列式式式式(各元素的位置不变各元素的位置不变各元素的位置不变各元素的位置不变),),叫做叫做叫做叫做方阵方阵方阵方阵

18、A A 的行列式的行列式的行列式的行列式,记记记记作作作作|A A|或或或或 det det A A.2.运算规律运算规律设设 A,B 为为 n 阶方阵阶方阵,为数为数,则有则有(1)|AT|=|A|;(2)|A|=n|A|;(3)|AB|=|A|B|.(determinant)第31页，本讲稿共39页 证证（3 3）设设其中其中考虑考虑 阶行列式阶行列式由第一章例由第一章例1010知：知：第32页，本讲稿共39页另一方面另一方面第33页，本讲稿共39页 所以所以第34页，本讲稿共39页七七、伴随矩阵伴随矩阵行列式行列式|A|的各个元素的代数余子式的各个元素的代数余子式 Aij 所构成的如下方阵所构成的如下方阵称为方阵称为方阵 A 的的伴随矩阵伴随矩阵.定定 义义二阶二阶A矩阵的伴随矩阵矩阵的伴随矩阵.第35页，本讲稿共39页AA*=A*A=|A|E.性质性质证明证明则则故故同理可得同理可得第36页，本讲稿共39页一个很重一个很重要的式子要的式子公式公式第37页，本讲稿共39页思考题思考题成立的充要条件是什么成立的充要条件是什么?第38页，本讲稿共39页思考题解答思考题解答答答故故 成立的充要条件为成立的充要条件为第39页，本讲稿共39页