控制系统的数学模例题精解优秀PPT.ppt

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1、控制系统的数学模例题精解你现在浏览的是第一页，共39页例题精解例题精解例例2.1 弹簧阻尼器器串并联系统如图2.2所示，系统为无质量模型，试建立系 统的运动方程。解解：（1）设输入为 ，输出为 ，弹簧与阻尼器并联平行移动。（2）列写原始方程式。由于无质量，按受力平衡方程，各受力点任何时刻均满足F=0，则对于A点有 yry0其中，F阻尼摩擦力；FK1，FK2为弹性恢复力。（3）写中间变量关系式图2.1 机械位移系统K1K2 Ayry0你现在浏览的是第二页，共39页 （4）消中间变量得（5）化标准型式中，为时间常数，单位（秒）；为传递系数，无量纲。你现在浏览的是第三页，共39页例例2.2 已知单摆

2、系统的运动如图2.2所示。（1）写出运动方程式；（2）求取线性化方程。解解：（1）设输入外作用力为零，输出为摆 角，摆球质量为m。（2）由牛顿定律写原始方程式中，l 为摆长；l 运动弧长；h为空气阻力。（3）写中间变量关系式式中，为空气阻力系数；ld d t为运动线速度。mglh图2.2单摆运动l你现在浏览的是第四页，共39页（4）消中间变量得运动方程式此方程为二阶非线性齐次方程。（5）线性化。在=0附近，非线性函数sin ，故代入上式可得线性化方程为你现在浏览的是第五页，共39页例例2.3 已知机械旋转系统如图2.3所示，试列出系统运动方程。fJM图2.3 机械旋转系统解：解：（1）设输入量

3、为作用力矩M，输出为旋转角速度。（2）列写运动方程式式中，f为阻尼力矩，其大小与转速成正比。（3）整理成标准形为此为一阶线性微分方程，若输出变量改为，则由于=dd t，代入方程得二阶线性微分方程式你现在浏览的是第六页，共39页 例例2.4 设有一个倒立摆安装在马达传动车上，如图2.4所示。倒立摆不是稳定的，如果没有适当的控制力作用在它上面，它将随时可能向任何方向倾倒。这里只考虑二维问题，即认为倒立摆只在图2.5所示平面内运动。控制力u作用于小车上。假设摆杆的重心位于其几何中心A。试求该系统的运动方程式。解：解：（1）设输入作用力为u，输出为摆角。（2）写原始方程式。设摆杆中心A的坐标为 ，于是

4、 画出系统隔离体受力图如图2.5所示。你现在浏览的是第七页，共39页ou图2.5 隔离体受力图yMxllAmgVVHHl coso图2.4 倒立摆系统yuxmgllPMA你现在浏览的是第八页，共39页式中，J为摆杆围绕重心A 的转动惯量。摆杆重心A 沿x轴方向运动方程为摆杆重心A 沿y轴方向运动方程为即（2.1）（2.2）即摆杆围绕中心A点转动方程为你现在浏览的是第九页，共39页小车沿x轴方向运动方程式为（2.3）（2.4）方程（2.1）（2.4）为车载倒立摆系统运动方程组。因为还有sin和c o s 项，所以为非线性微分方程组。中间变量不易相消。（3）当很小时，可对方程组线性化，由例2.2可

5、知sin ，同理可得到c o s 1。则方程式（2.1）（2.4）可用线性化方程表示为你现在浏览的是第十页，共39页用的算子符号将以上方程组写成代数形式，消掉中间变量V、H、x得将微分算子还原后得此为二阶线性化偏量微分方程。你现在浏览的是第十一页，共39页例例2.5 RC无源网络电路图如图2.6所示，试采用复数阻抗法画出系统结构图，并求传递函数Uc2（s）/Ur（s）。u ruc2R1R2i1i2C1C2图2.6 RC无源网络解：解：在线性电路的计算中，引入了复阻抗的概念，则电压、电流、复阻抗之间的关系满足广义的欧姆定律。即如果二端元件是电阻R、电容C或电感L，则复阻抗Z（s）分别是R、1/C

6、s或Ls。（1）用复阻抗写电路方程式：你现在浏览的是第十二页，共39页（2）将以上4式用方框图表示，并相互连接即得RC网络结构图，见图2.7 （a）、（b）。（3）用结构图化简法求传递函数的过程见图2.7（c）、（d）、（e）。（4）用梅逊公式直接由图2.7（b）写出传递函数Uc2（s）/Ur（s）。独立回路有三个：你现在浏览的是第十三页，共39页回路相互不接触的情况只有L1和L2两个回路。则由上可写出特征式为你现在浏览的是第十四页，共39页前向通路只有一条由于P1与所有回路L1，L2，L3都有公共支路，属于相互有接触，则余子式为代入梅逊公式得传递函数你现在浏览的是第十五页，共39页图2.7（

7、a）+你现在浏览的是第十六页，共39页+图2.7（c）+图2.7（b）你现在浏览的是第十七页，共39页+图2.7（d）图2.7（e）你现在浏览的是第十八页，共39页 例例2.6 有源网络如图2.8所示，试用复阻抗法求网络传递函数，并根据求得的结果，直接用于图2.9所示PI调节器，写出传递函数。解：解：图2.8中Z i和Z f 表示运算放大器外部电路中输入支路和反馈支路复阻抗，A点为虚地，即UA 0，运算放大器输入阻抗很大，可略去输入电流，于是I1=I2则有故传递函数为对于由运算放大器构成的调节器，上式可看作计算传递函数的一般公式。对于图2.9所示PI调节器，有你现在浏览的是第十九页，共39页故

8、+Z fZ ii1i2u iu c图2.8 有源网络u c+u iR1R2C图2.9 PI调节器你现在浏览的是第二十页，共39页 例例2.7 求下列微分方程的时域解x（t）。已知（0）=0，（0）=3。.解：解：对方程两端取拉氏变换为代入初始条件得到解出X（s）为你现在浏览的是第二十一页，共39页反变换得时域解为 例例2.8 已知系统结构图如图2.10所示，试用化简法求传递函数C（s）/R（s）。解：解：（1）首先将含有G2的前向通路上的分支前移，移到下面的回环之外。如图2.11（a）所示。（2）将反馈环和并联部分用代数法则化简，得图2.11（b）。（3）最后将两个方框串联想乘得图2.11（c

9、）。你现在浏览的是第二十二页，共39页G1G2H+C（s）R（s）图2.10 系统结构图G1H+G2G1R（s）C（s）(a)你现在浏览的是第二十三页，共39页G11+G1H1+G2G1R（s）C（s）(b)G1+G21+G1HR（s）C（s）(c)图2.11 系统结构图的简化 例例2.9 已知系统结构图如图2.12所示，试用化简法求传递函数C（s）/R（s）。G1G2+R（s）C（s）图2.12 系统结构图你现在浏览的是第二十四页，共39页 解：解：（1）将两条前馈通路分开，改画成图2.13（a）的形式。（2）将小前馈并联支路相加，得图2.13（b）。（3）先用串联公式，再用并联公式将支路化

10、简为图2.13（c）。+G1G2（a）+G2G1+1R（s）R（s）C（s）C（s）G1G2+G2+1R（s）C（s）（b）（c）图2.13 系统结构图化简你现在浏览的是第二十五页，共39页 例例2.10 已知机械系统如图2.14（a）所示，电气系统如图2.14（b）所示，试画出系统结构图，并求出传递函数，证明它们是相似系统。iy0F1FF212k1k2（a）R1R2ii1i2eie0（b）C1C2图2.14 系统结构图（a）机械系统（b）电气系统 解：解：（1）列写图2.14（a）所示机械系统的运动方程，遵循以下原则：并联元件的合力等于两元件上的力相加，平行移动，位移相同。串联元件各元件受力

11、相同，总位移等于各元件相对位移之和。微分方程组为：你现在浏览的是第二十六页，共39页取拉氏变换，并整理成因果关系有：画结构图如图2.15。你现在浏览的是第二十七页，共39页+s11 s2k11k2i00FY图2.15 机械系统结构图求传递函数为：你现在浏览的是第二十八页，共39页 (2)列写图2.14（b）所示电气系统的运动方程，按电路理论，所遵循的定律与机械系统相似，即并联元件总电流等于两元件电流之和，电压相等。串联元件电流相等，总电压等于各元件分电压之和。可见，电压与位移互为相似量，电流与力互为相似量。运动方程可直接用复阻抗写出：你现在浏览的是第二十九页，共39页整理成因果关系：你现在浏览

12、的是第三十页，共39页画结构图如图2.16所示。+C s1R21R2C s21E iE0IE0EC2图2.16 电气系统结构图求传递函数为你现在浏览的是第三十一页，共39页对上述两个系统的传递函数，结构图进行比较后可以看出，两个系统是相似的。机电系统之间相似量的对应关系见下表。机械系统电气系统iei0e0yeC2FiF 1i1F 2i2k11/R11/k2R 212C1C2你现在浏览的是第三十二页，共39页 例例2.11 RC网络如图2.17所示，其中u1为网络输入量，u2为网络输出量。（1）画出网络结构图；（2）求传递函数U2（s）/U1（s）。解：解：（1）用复阻抗写出原始方程组。输入回路

13、输出回路中间回路（2）整理成因果关系式。你现在浏览的是第三十三页，共39页由输入回路得由中间回路得由输出回路得即可画出结构图如图2.18所示。u1u2i2i1C1C2R1R2图2.17 RC网络你现在浏览的是第三十四页，共39页+R 2u1u2I1I2C s1R C s+121R 11C s21图2.18 网络结构图（3）用梅逊公式求出你现在浏览的是第三十五页，共39页你现在浏览的是第三十六页，共39页 例例2.12 已知系统的信号流图如图2.19所示，试求传递函数C（s）/R（s）。1RCKG1G2G31111-1-1-1-1图2.19 信号流图 解：解：单独回路4个，即，两个互不接触的回路有4组，即，你现在浏览的是第三十七页，共39页3个互不接触的回路有1组，即于是，得特征式为从源点R到阱节点C的前向通路共有4条，其各前向通路总增益用PK 表示，则PK 以及余因子式分别为你现在浏览的是第三十八页，共39页因此，传递函数为你现在浏览的是第三十九页，共39页