2020_2021学年高中数学第二章点直线平面之间的位置关系2.2.4平面与平面平行的性质课件新人教A版必修2.ppt

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1、2.2.4平面与平面平行的性质平面与平面平行的性质定理平面与平面平行的性质定理文字文字语语言言如果两个平行平面同如果两个平行平面同时时和第三个平面相交和第三个平面相交,那么它那么它们们的的交交线线平行平行符号符号语语言言,=a,=b,=a,=babab图图形形语语言言 【思考思考】分别在两个平行平面内的两条直线分别在两个平行平面内的两条直线,有可能出现哪些位有可能出现哪些位置关系置关系?面面平行性质定理中直线面面平行性质定理中直线a a和和b b为什么是平行的为什么是平行的?提示提示:分别在两个平行平面内的两条直线平行或异面分别在两个平行平面内的两条直线平行或异面.面面平行性质定理中直线面面平

2、行性质定理中直线a a和和b b分别在两个平行平面内分别在两个平行平面内,且在同一个平面且在同一个平面内内,所以所以ab.ab.【素养小测素养小测】1.1.思维辨析思维辨析(对的打对的打“”“”,错的打错的打“”)”)(1)(1)两个平面两个平面,一条直线一条直线a a平行于平面平行于平面,则则a a一定一定平行于平面平行于平面.()(2)(2)若平面若平面,点点P,aP,a且且Pa,Pa,那么那么a a.()(3)(3)已知两个平面平行已知两个平面平行,若有第三个平面与其中的一个若有第三个平面与其中的一个平面平行平面平行,那么它与另一平面也平行那么它与另一平面也平行.()提示提示:(1)(1

3、).直线直线a a可能与可能与平行平行,也可能在也可能在内内.(2).(2).因为平面因为平面,a,a,所以所以aa或或a a,又因又因为点为点P,Pa,P,Pa,所以所以a a.(3).(3).因为两个平面平行因为两个平面平行,又因为第三个平面与其中一又因为第三个平面与其中一个平面平行个平面平行,说明这两个平面没有公共点说明这两个平面没有公共点,因此因此,它与另它与另一个平面也没有公共点一个平面也没有公共点,即它与另一个平面也平行即它与另一个平面也平行,所所以该命题正确以该命题正确.2.2.平面平面与圆台的上、下底面分别相交于直线与圆台的上、下底面分别相交于直线m,n,m,n,则则m,nm,

4、n的位置关系是的位置关系是()A.A.相交相交B.B.异面异面C.C.平行平行D.D.平行或异面平行或异面【解析解析】选选C.C.因为圆台的上、下底面互相平行因为圆台的上、下底面互相平行,所以平所以平面面与圆台的上、下底面分别相交时与圆台的上、下底面分别相交时,所得交线所得交线m m与与n n平平行行.3.3.一长方体木料一长方体木料,沿如图所示平面沿如图所示平面EFGHEFGH截长方体截长方体,若若ABCD,ABCD,那么以下四个图形是截面的是那么以下四个图形是截面的是()【解析解析】选选A.A.因为因为AB,MNAB,MN两条交线所在平面两条交线所在平面(侧面侧面)互相互相平行平行,所以所

5、以AB,MNAB,MN无公共点无公共点,又因为又因为AB,MNAB,MN在平面在平面EFGHEFGH内内,故故ABMN,ABMN,同理易知同理易知ANBM,ANBM,又又ABCD,ABCD,所以截面必为矩所以截面必为矩形形.类型一面面平行性质定理的应用类型一面面平行性质定理的应用【典例典例】1.1.平面平面过正方体过正方体ABCD-AABCD-A1 1B B1 1C C1 1D D1 1的顶点的顶点A,A,平平面面平面平面A A1 1BD,BD,平面平面平面平面ABCD=ABCD=l,则直线则直线l与直线与直线A A1 1C C1 1所成的角为所成的角为()A.30A.30B.45B.45C.

6、60C.60D.90D.902.2.已知平面已知平面平面平面,点点A,C,A,C,点点B,D,B,D,直线直线AB,CDAB,CD交于点交于点S,S,且且SA=8,SB=9,CD=34.SA=8,SB=9,CD=34.(1)(1)若点若点S S在平面在平面,之间之间,则则SC=_.SC=_.(2)(2)若点若点S S不在平面不在平面,之间之间,则则SC=_.SC=_.【思维思维引引】1.1.求直线求直线l与直线与直线A A1 1C C1 1所成的角关键是作直线所成的角关键是作直线l的平行线的平行线与直线与直线A A1 1C C1 1相交相交.由平面由平面平面平面A A1 1BDBD可推出可推出

7、lBD.BD.2.2.由平面由平面平面平面推出直线与直线平行推出直线与直线平行,进而根据三进而根据三角形相似列方程解出角形相似列方程解出SC.SC.【解析解析】1.1.选选D.D.因为平面因为平面平面平面A A1 1BD,BD,平面平面平面平面ABCD=ABCD=l,平面平面A A1 1BDBD平面平面ABCD=BD,ABCD=BD,所以所以lBD,BD,又因为正方体又因为正方体ABCD-AABCD-A1 1B B1 1C C1 1D D1 1中中,B,B1 1D D1 1BD,BD,所以所以lBB1 1D D1 1,所以直线所以直线l与直与直线线A A1 1C C1 1所成的角等于直线所成的

8、角等于直线B B1 1D D1 1与直线与直线A A1 1C C1 1所成的角所成的角,因为因为A A1 1C C1 1BB1 1D D1 1,所以直线所以直线l与直线与直线A A1 1C C1 1所成的角为所成的角为90.90.2.(1)2.(1)如图如图所示所示,因为因为ABCD=S,ABCD=S,所以所以AB,CDAB,CD确定一个确定一个平面平面,设为设为,则则=AC,=BD.=AC,=BD.因为因为,所所以以ACBD.ACBD.于是于是 ,即即 .所以所以SC=16.SC=16.(2)(2)如图如图所示所示,同理知同理知ACBD,ACBD,则则 ,即即 ,解得解得SC=272.SC=

9、272.答案答案:(1)16(1)16(2)272(2)272 【素养素养探探】在与面面平行性质定理的应用有关的问题中在与面面平行性质定理的应用有关的问题中,经常利用经常利用核心素养中的逻辑推理核心素养中的逻辑推理,根据平面与平面平行推出直线根据平面与平面平行推出直线与直线平行与直线平行,计算题中可以进一步得到三角形相似等结计算题中可以进一步得到三角形相似等结论论,推出有关的等量关系推出有关的等量关系.将本例将本例2 2的条件的条件“SA=8,SB=9,CD=34.”SA=8,SB=9,CD=34.”改为改为“SA=18,SB=9,CD=34”,SA=18,SB=9,CD=34”,求求SC.S

10、C.【解析解析】如图如图(1),(1),由由可知可知BDAC,BDAC,所以所以 ,即即 ,所以所以SC=68.SC=68.如图如图(2),(2),由由知知ACBD,ACBD,所以所以 即即 .所以所以SC=.SC=.综上综上,SC,SC的大小为的大小为6868或或 .【类题类题通通】应用平面与平面平行性质定理的基本步骤应用平面与平面平行性质定理的基本步骤提醒提醒:面面平行性质定理的实质面面平行性质定理的实质:面面平行面面平行线线平行线线平行,体现了转化思想体现了转化思想.与判定定理交替使用与判定定理交替使用,可实现线面、可实现线面、线线、面面平行间的相互转化线线、面面平行间的相互转化.【习练

11、习练破破】(2019(2019武威高一检测武威高一检测)P)P为为ABCABC所在平面外一点所在平面外一点,平面平面平面平面ABC,ABC,分别交线段分别交线段PA,PB,PCPA,PB,PC于于A A1 1,B,B1 1,C,C1 1,若若PAPA1 1AA1 1A=23,A=23,则则 =_.=_.【解析解析】平面平面平面平面ABC,ABC,平面平面PABPAB与与它们的交线分别为它们的交线分别为A A1 1B B1 1,AB,AB,所以所以ABAABA1 1B B1 1,同理同理B B1 1C C1 1BC,BC,易得易得ABCAABCA1 1B B1 1C C1 1,S,SABCABC

12、 答案答案:【加练加练固固】如图如图,ABCD-A,ABCD-A1 1B B1 1C C1 1D D1 1是棱长为是棱长为a a的正方体的正方体,M,NM,N分别是下底面的棱分别是下底面的棱A A1 1B B1 1,B,B1 1C C1 1的中点的中点,P P是上底面的棱是上底面的棱ADAD上的一点上的一点,AP=,AP=,过过P,M,NP,M,N的平面交上底面于的平面交上底面于PQ,QPQ,Q在在CDCD上上,则则PQ=_.PQ=_.【解析解析】由上下底面平行由上下底面平行,得截面与上、下底面相交所得截面与上、下底面相交所得的交线平行得的交线平行,即即PQMN.PQMN.如图如图,连接连接A

13、C,AAC,A1 1C C1 1,则则MNAMNA1 1C C1 1AC,AC,所以所以PQAC.PQAC.因为因为AP=,AP=,所以所以DP=DQ=a.DP=DQ=a.可得可得PQ=a.PQ=a.答案答案:a a类型二平行关系的综合应用类型二平行关系的综合应用【典例典例】(2019(2019常熟高一检测常熟高一检测)如图如图,在三棱柱在三棱柱ABC-AABC-A1 1B B1 1C C1 1中中,E,F,G,E,F,G分别为分别为B B1 1C C1 1,A,A1 1B B1 1,AB,AB的中点的中点.(1)(1)求证求证:平面平面A A1 1C C1 1GG平面平面BEF.BEF.(2

14、)(2)若平面若平面A A1 1C C1 1GBC=H,GBC=H,求证求证:H:H为为BCBC的中点的中点.【思维思维引引】(1)(1)要证平面要证平面A A1 1C C1 1GG平面平面BEF,BEF,用平面与平用平面与平面平行的判定定理面平行的判定定理,需要证需要证EFEF平面平面A A1 1C C1 1G,BFG,BF平面平面A A1 1C C1 1G.G.(2)(2)在在ABCABC中中,已知已知G G是是ABAB的中点的中点,要证要证H H为为BCBC的中点的中点,需需要证要证GHAC,GHAC,用面面平行的性质定理证明用面面平行的性质定理证明.【证明证明】(1)(1)因为因为E,

15、FE,F分别为分别为B B1 1C C1 1,A,A1 1B B1 1的中点的中点,所以所以EFAEFA1 1C C1 1,因为因为A A1 1C C1 1 平面平面A A1 1C C1 1G,EFG,EF 平面平面A A1 1C C1 1G,G,所以所以EFEF平面平面A A1 1C C1 1G,G,又又F,GF,G分别为分别为A A1 1B B1 1,AB,AB的中点的中点,所以所以A A1 1F=BG,F=BG,又又A A1 1FBG,FBG,所以四边形所以四边形A A1 1GBFGBF为平行四边形为平行四边形,则则BFABFA1 1G,G,因为因为A A1 1G G 平面平面A A1

16、1C C1 1G,BFG,BF 平面平面A A1 1C C1 1G,G,所以所以BFBF平面平面A A1 1C C1 1G,G,又又EFBF=F,EFBF=F,所以平面所以平面A A1 1C C1 1GG平面平面BEF.BEF.(2)(2)因为平面因为平面ABCABC平面平面A A1 1B B1 1C C1 1,平面平面A A1 1C C1 1GG平面平面A A1 1B B1 1C C1 1=A A1 1C C1 1,平面平面A A1 1C C1 1G G与平面与平面ABCABC有公共点有公共点G,G,则这两个平面的则这两个平面的交线经过交线经过G,G,又因为平面又因为平面A A1 1C C1

17、 1GBC=H,GBC=H,所以设平面所以设平面A A1 1C C1 1GG平面平面ABC=GH,ABC=GH,则则A A1 1C C1 1GH,GH,得得GHAC,GHAC,因为因为G G为为ABAB的中点的中点,所以所以H H为为BCBC的中点的中点.【内化内化悟悟】立体几何中证明直线与直线平行与平面几何中证明直立体几何中证明直线与直线平行与平面几何中证明直线与直线平行有什么区别线与直线平行有什么区别?提示提示:平面几何中直线与直线平行平面几何中直线与直线平行,通常利用三角形中通常利用三角形中位线、平行四边形的性质、平行线分线段成比例定理位线、平行四边形的性质、平行线分线段成比例定理等方法

18、等方法;立体几何中立体几何中,除了利用上述方法之外除了利用上述方法之外,还经常利还经常利用转化的思想用转化的思想,转化为证明线面平行或面面平行转化为证明线面平行或面面平行.【类题类题通通】空间中线、面平行关系的转化空间中线、面平行关系的转化线线、线面、面面间的平行关系的判定和性质线线、线面、面面间的平行关系的判定和性质,常常是常常是通过线线关系、线面关系、面面关系的相互转化来表通过线线关系、线面关系、面面关系的相互转化来表达达.【习练习练破破】如图如图,S,S是平行四边形是平行四边形ABCDABCD所在平面外一点所在平面外一点,M,N,M,N分别是分别是SA,BDSA,BD上的点上的点,且且

19、,求证求证:MN:MN平面平面SBC.SBC.【证明证明】在在ABAB上取一点上取一点P,P,使使 ,连接连接MP,NP,MP,NP,则则MPSB.MPSB.因为因为SBSB 平面平面SBC,MPSBC,MP 平面平面SBC,SBC,所以所以MPMP平面平面SBC.SBC.又又 ,所以所以 ,所以所以NPAD.NPAD.因为因为ADBC,ADBC,所以所以NPBC.NPBC.又又BCBC 平面平面SBC,NPSBC,NP 平面平面SBC,SBC,所以所以NPNP平平面面SBC.SBC.又又MPNP=P,MPNP=P,所以平面所以平面MNPMNP平面平面SBC,SBC,而而MNMN 平面平面MN

20、P,MNP,所以所以MNMN平面平面SBC.SBC.【加练加练固固】如图如图,在三棱锥在三棱锥P-ABCP-ABC中中,D,E,F,D,E,F分别是分别是PA,PB,PCPA,PB,PC的中点的中点,M M是是ABAB上一点上一点,连接连接MC,NMC,N是是PMPM与与DEDE的交点的交点,连接连接NF,NF,求证求证:NFCM.:NFCM.【证明证明】因为因为D,ED,E分别是分别是PA,PBPA,PB的中点的中点,所以所以DEAB.DEAB.又又DEDE 平面平面ABC,ABABC,AB 平面平面ABC,ABC,所以所以DEDE平面平面ABC,ABC,同理同理DFDF平面平面ABC,ABC,又因为又因为DEDF=D,DE,DFDEDF=D,DE,DF 平面平面DEF,DEF,所以平面所以平面DEFDEF平面平面ABC.ABC.又平面又平面PCMPCM平面平面DEF=NF,DEF=NF,平面平面PCMPCM平平面面ABC=CM,ABC=CM,所以所以NFCM.NFCM.