概率论基础知识优秀PPT.ppt

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1、概率论基础知识概率论基础知识你现在浏览的是第一页，共189页主要内容主要内容第一章：随机事件与概率第一章：随机事件与概率第二章第二章:随机变量及其概率分布随机变量及其概率分布第三章第三章:多维随机变量及其概率分布多维随机变量及其概率分布第四章第四章:随机变量的数字特征随机变量的数字特征 第五章第五章:大数定律及中心极限定理大数定律及中心极限定理第六章：统计量及其抽样分布第六章：统计量及其抽样分布第七章：参数估计第七章：参数估计第八章：假设检验第八章：假设检验第九章：回归分析第九章：回归分析你现在浏览的是第二页，共189页第一章第一章 随机事件与概率随机事件与概率1.1 随机事件随机事件1.2概

2、率概率1.3条件概率条件概率1.4事件的独立性事件的独立性自测题一自测题一返回返回你现在浏览的是第三页，共189页1.1 随机事件随机事件一、随机现象一、随机现象二、随机试验和随机事件二、随机试验和随机事件三、样本空间三、样本空间四、事件的关系与运算四、事件的关系与运算例子（事件的关系和运算）例子（事件的关系和运算）练习题练习题你现在浏览的是第四页，共189页一、随机现象一、随机现象1.确定性现象确定性现象:例如，向上抛一颗石子必然下落；同例如，向上抛一颗石子必然下落；同性电荷必定相互排斥；在一个大气压下性电荷必定相互排斥；在一个大气压下60度的水必度的水必定不会沸腾，等定不会沸腾，等 等。等

3、。2.随机现象随机现象:例如，抛一枚硬币结果可能是正面朝例如，抛一枚硬币结果可能是正面朝上、也可能是反面朝上；用同一门炮向同一目标上、也可能是反面朝上；用同一门炮向同一目标射击的弹着点不尽相同，等等。这类现象有一个射击的弹着点不尽相同，等等。这类现象有一个共同特点：即在个别试验中其结果呈现出不确定共同特点：即在个别试验中其结果呈现出不确定性性,而在大量重复试验中其结果又具有某种规律性而在大量重复试验中其结果又具有某种规律性统计规律性统计规律性.3.概率论与数理统计具有广泛的应用。概率论与数理统计具有广泛的应用。返回返回你现在浏览的是第五页，共189页二、随机试验和随机事件二、随机试验和随机事件

4、 随机试验随机试验(三个特征三个特征):(1)可以在相同的条件下重复地进行可以在相同的条件下重复地进行;(2)每次试验的可能结果不止一个，并且能事先明确所有每次试验的可能结果不止一个，并且能事先明确所有可能的结果可能的结果;(3)进行一次试验之前不能确定会出现哪个结果。进行一次试验之前不能确定会出现哪个结果。随机试验的每个可能发生的结果称为随机事件随机试验的每个可能发生的结果称为随机事件.简称为事件简称为事件.事事件通常用英文字母件通常用英文字母A，B，C或或A1,A2表示，记成如下表示，记成如下形式：形式：A=可能发生的结果可能发生的结果.例子例子你现在浏览的是第六页，共189页随机事件例子

5、随机事件例子例例1：已知一批产品共：已知一批产品共30件，内含正品件，内含正品26件，次品件，次品4件，件，从中一次取出从中一次取出5件的试验件的试验.则则Ai=恰有恰有i件次品件次品,(i=0，1，2，3，4)；B=最多有三件次品最多有三件次品；C=正品不超过正品不超过2件件等都是随机事件，他们在一次试验中可能发生也可能不发生等都是随机事件，他们在一次试验中可能发生也可能不发生.例例2：掷一粒骰子，观察它出现的点数。可能：掷一粒骰子，观察它出现的点数。可能的结果为：的结果为：A=1,2,3,4,5,6。返回返回你现在浏览的是第七页，共189页三、样本空间三、样本空间 一般地，在随机试验中，把

6、不可分割的事件称为一般地，在随机试验中，把不可分割的事件称为基本事件；由两个及两个以上基本事件组合而成的基本事件；由两个及两个以上基本事件组合而成的事件称为复合事件事件称为复合事件.对于随机试验的每一个基本事件，我们可以用对于随机试验的每一个基本事件，我们可以用只含一个元素的单元素只含一个元素的单元素 表示，其中表示，其中 与与 表表示的基本事件一一对应示的基本事件一一对应.和所有基本事件相对应的元素和所有基本事件相对应的元素的全体组成的集合称为该随机试验的样本空间，通常记的全体组成的集合称为该随机试验的样本空间，通常记作作，样本空间中的元素称为样本点，样本空间中的元素称为样本点.返回返回你现

7、在浏览的是第八页，共189页四、四、事件的关系与运算事件的关系与运算1.包含关系和相等关系包含关系和相等关系:若事件若事件A发生必然导致事件发生必然导致事件B发生发生,则称事则称事件件B包含事件包含事件A,记作记作A B。若若A B且且A B,即即A=B,则称则称A与与B相等相等BA你现在浏览的是第九页，共189页2事件的并事件的并由属于由属于A或者属于或者属于B的所有样本点组成的集合，的所有样本点组成的集合，称为称为A与与B的并（或者和），记作的并（或者和），记作 或者或者A+B.显然事件表示显然事件表示“事件事件A与与B事件至少有一事件至少有一个发生个发生”这一事件这一事件.AB你现在浏览

8、的是第十页，共189页3事件的交事件的交由属于同时由属于同时A又属于又属于B的所有样本点组成的的所有样本点组成的集合，称为集合，称为A与与B的交（或者积），记作的交（或者积），记作 或者或者 .显然事件显然事件 表示表示“事件事件A与事件与事件B同时发生同时发生”这一事件这一事件.AB你现在浏览的是第十一页，共189页4事件的差事件的差由属于由属于A但不属于但不属于B的所有样本点组成的所有样本点组成的集合，称为的集合，称为A与与B的差，记作的差，记作 .事事件件 表示表示“事件事件A发生而事件发生而事件B不发不发生生”这一事件这一事件.AB你现在浏览的是第十二页，共189页5对立事件对立事件样

9、本空间样本空间 与与A的差的差 称为事件称为事件A的的对立事件（或者逆事件），记作对立事件（或者逆事件），记作 ，事，事件件 表示表示“事件事件A不发生不发生”.对立事件对立事件A和和 间的关系可以表示为：间的关系可以表示为：.A你现在浏览的是第十三页，共189页6互不相容事件互不相容事件如果在同一试验中，事件如果在同一试验中，事件A与事件与事件B不可能不可能同时发生，则称事件同时发生，则称事件A与事件与事件B互不相容互不相容.记记作作 .基本事件是互不相容的基本事件是互不相容的.AB补充点补充点你现在浏览的是第十四页，共189页补充点补充点事件的并、交和互不相容事件可推广到事件的并、交和互不

10、相容事件可推广到n个事件间的关系个事件间的关系.现就互不相容事件叙述如下：在一次事件现就互不相容事件叙述如下：在一次事件中，如果中，如果n个事件个事件 两两互不相两两互不相容，则称容，则称 是互不相容的事件组是互不相容的事件组.如果互不相容的事件组如果互不相容的事件组 满足满足 ，则称事件组则称事件组 为一个划分为一个划分.你现在浏览的是第十五页，共189页可以验证集合的运算率均适用于事件的运算，可以验证集合的运算率均适用于事件的运算，即事件的运算满足下列关系式：即事件的运算满足下列关系式：（1）交换律：）交换律：（2）结合律：）结合律：（3）分配律：）分配律：（4）德莫根）德莫根(Demor

11、gan)公式：公式：其中分配律和德莫根公式可以推广到有限多个其中分配律和德莫根公式可以推广到有限多个 事件的情形事件的情形.返回返回你现在浏览的是第十六页，共189页例子例子1例例 一个货箱中装有一个货箱中装有12只同类型的产品，其中只同类型的产品，其中3只是一等品，只是一等品，9只是二等品，从其中随机地抽取只是二等品，从其中随机地抽取两次，每次任取一只，两次，每次任取一只，表示第表示第i次抽取的次抽取的是一等品，试用是一等品，试用 表示下列事件：表示下列事件：B=两只都是一等品两只都是一等品C=两只都是二等品两只都是二等品D=一只一等品，另一只是二等品一只一等品，另一只是二等品E=第二次抽取

12、的是一等品第二次抽取的是一等品解题过程解题过程你现在浏览的是第十七页，共189页解题过程解题过程解解：由题意，：由题意，第第i次抽取的是一等品次抽取的是一等品，故，故 第第i次抽取的是二等品次抽取的是二等品例子例子2你现在浏览的是第十八页，共189页例例 从从1，2，3，4，5，6六个数字中任取一个六个数字中任取一个数，数，A=取得的数为取得的数为4的约数的约数，B=取得的数为取得的数为偶数偶数，C=取得的数不小于取得的数不小于5.试用集合表示下列事件试用集合表示下列事件：(1)(2)事件事件“A发生，发生，C不发生不发生”；事件；事件“B,C至少有至少有一一个发生个发生”的逆事件的逆事件 解

13、题过程解题过程例子例子2你现在浏览的是第十九页，共189页解题过程解题过程解解 设设i表示基本事件表示基本事件取得的数为取得的数为i所对应的样本所对应的样本点，则样本空间点，则样本空间(1)(2)返回返回你现在浏览的是第二十页，共189页练习题练习题1。指出下列事件中哪些是必然事件？哪些是不可。指出下列事件中哪些是必然事件？哪些是不可能事件？能事件？（1）某商店有男店员）某商店有男店员2人，女店员人，女店员8人，任意抽调人，任意抽调3人去人去做其他的工作，那么做其他的工作，那么A=3个都是女店员个都是女店员,B=3个都是男个都是男店员店员，C=至少有至少有1个男店员个男店员，D=至少有至少有1

14、个女店员个女店员(2)一批产品中只有一批产品中只有2件次品，现从中任取件次品，现从中任取3件，则件，则A=三三件都是次品件都是次品，B=至少至少1件正品件正品，C=至多至多1件正品件正品，D=恰有恰有2件次品和件次品和1件正品件正品练习题练习题2你现在浏览的是第二十一页，共189页练习题练习题22。一个工人加工了。一个工人加工了4个零件，设个零件，设 表示第表示第 i个个零件是合格品，试用零件是合格品，试用 表示下列事件：表示下列事件：（1）没有一个零件是不合格品；）没有一个零件是不合格品；（2）至少有一个零件是不合格品；）至少有一个零件是不合格品；（3）只有一个零件是不合格品）只有一个零件是

15、不合格品.3。A,B,C为一次试验中的三个事件，试用为一次试验中的三个事件，试用A,B,C表示下列事件：表示下列事件：（1）A发生，发生，B,C不发生；不发生；(2)A,B中至少有一个发生；中至少有一个发生；(3)A,B,C至少有一个不发生；至少有一个不发生；(4)A,B,C至多有一个发生至多有一个发生.返回返回你现在浏览的是第二十二页，共189页1.2 概概 率率一、概率的定义一、概率的定义1.概率的统计定义概率的统计定义2.概率的古典定义概率的古典定义3.概率的定义与简单计算概率的定义与简单计算二、概率的运算公式二、概率的运算公式 加法公式加法公式你现在浏览的是第二十三页，共189页一、概

16、率的定义一、概率的定义1.概率的统计定义概率的统计定义在相同的条件下进行在相同的条件下进行n次重复试验，事件次重复试验，事件A发生的次数发生的次数m称为事件称为事件A发生的频数；发生的频数；m与与n的比值称为事件的比值称为事件A发生的频率，记作发生的频率，记作 引例一引例一你现在浏览的是第二十四页，共189页一般地，当试验次数一般地，当试验次数n增大时，事件增大时，事件A发生发生的频率的频率 总是稳定在某个常数总是稳定在某个常数p附近，这附近，这时就把时就把p称为事件称为事件A发生的概率，简称事件发生的概率，简称事件A的概率，记作的概率，记作 上述事件的概率是用统计事件发生的频率来确上述事件的

17、概率是用统计事件发生的频率来确定的，故这个定义称为概率的统计定义定的，故这个定义称为概率的统计定义.根据这根据这个定义，通过大量的重复试验，用事件发生的个定义，通过大量的重复试验，用事件发生的频率近似地作为它的概率，这是求一个事件的频率近似地作为它的概率，这是求一个事件的概率的常用基本方法概率的常用基本方法.引例二引例二返回返回你现在浏览的是第二十五页，共189页2.概率的古典定义概率的古典定义考虑下面两个随机试验：考虑下面两个随机试验：E1：投掷一颗均匀的骰子，观察其出现的：投掷一颗均匀的骰子，观察其出现的点数，基本事件有点数，基本事件有6个，由骰子的个，由骰子的“均匀均匀性性”可知，每一个

18、基本事件发生的可能可知，每一个基本事件发生的可能性相等性相等.E2：一批产品有：一批产品有N个，要随机抽取一个，个，要随机抽取一个，检测其等级，则检测其等级，则N个产品被抽取的机会个产品被抽取的机会是相同的，每一次检测的结果就是一个是相同的，每一次检测的结果就是一个基本事件，故基本事件，故N个基本事件出现的可能个基本事件出现的可能性相等性相等.你现在浏览的是第二十六页，共189页这两个试验都具有以下特点：这两个试验都具有以下特点：(1)只有有限个基本事件只有有限个基本事件(2)每个基本事件在一次试验中发生的可能性相同每个基本事件在一次试验中发生的可能性相同.这类随机试验称为等可能概型，由于这种

19、概型在概率这类随机试验称为等可能概型，由于这种概型在概率论发展初期是主要研究对象，所以也称为古典概型论发展初期是主要研究对象，所以也称为古典概型.在古典概型中，若基本事件的总数为在古典概型中，若基本事件的总数为n，事件，事件包含的基本事件数为包含的基本事件数为m，则事件的概率定义，则事件的概率定义为为 ，这个定义称为概率的古典定义，这个定义称为概率的古典定义.返回返回你现在浏览的是第二十七页，共189页3概率的定义与简单计算概率的定义与简单计算与随机试验相联系的数量指标与随机试验相联系的数量指标 ，都具，都具有下列共同的属性：有下列共同的属性：(1)(2)(3)为互不相容事件，则为互不相容事件

20、，则 在数学上，刻划随机试验中事件在数学上，刻划随机试验中事件A的的 发生发生 的可的可能性大小的数值，如果满足上述三条性质，就称能性大小的数值，如果满足上述三条性质，就称为事件的概率为事件的概率.你现在浏览的是第二十八页，共189页由上述三条基本性质还可以推出：由上述三条基本性质还可以推出：引例三引例三返回返回你现在浏览的是第二十九页，共189页二、概率的运算公式二、概率的运算公式加法公式加法公式由概率的性质知道，若事件由概率的性质知道，若事件A和和B互不相互不相容，即容，即 则则 AB你现在浏览的是第三十页，共189页事件事件 时，上式就不成立了时，上式就不成立了.AB而有而有该公式称为概

21、率的加法公式该公式称为概率的加法公式你现在浏览的是第三十一页，共189页加法公式可推广到有限个事件至少有一个发生加法公式可推广到有限个事件至少有一个发生的情形，如三个事件的情形，如三个事件 的并的加法公式的并的加法公式为：为：引例四引例四返回返回你现在浏览的是第三十二页，共189页1.3条件概率条件概率一、条件概率与乘法公式一、条件概率与乘法公式1.条件概率条件概率2.乘法公式乘法公式二、全概率公式与贝叶斯二、全概率公式与贝叶斯(Bayes)公式公式1.全概率公式全概率公式2.贝叶斯公式贝叶斯公式 补充点补充点练习题练习题返回你现在浏览的是第三十三页，共189页一、条件概率与乘法公式一、条件概

22、率与乘法公式一般地，把一般地，把“在事件在事件B已发生的条件下，事已发生的条件下，事件件A发生的概率发生的概率”称为条件概率，记作称为条件概率，记作，读作，读作“在条件在条件B下，事件下，事件A的概率的概率”.同理同理AB1.条件概率条件概率引例五引例五返回返回你现在浏览的是第三十四页，共189页2.乘法公式乘法公式由条件概率的一般公式由条件概率的一般公式,得得 上述公式称为概率的乘法公式上述公式称为概率的乘法公式.你现在浏览的是第三十五页，共189页概率的乘法公式可推广到有限个事件交的概率的乘法公式可推广到有限个事件交的情形情形.设有设有n个事件个事件 满足满足 则则 当当n=3时时引例七引

23、例七返回返回你现在浏览的是第三十六页，共189页二、全概率公式与贝叶斯二、全概率公式与贝叶斯(Bayes)公式公式1.全概率公式全概率公式设设 是联系于一随机试验的完备是联系于一随机试验的完备事件组事件组.任一事件任一事件 可表示成可表示成 你现在浏览的是第三十七页，共189页由前面已学公式得由前面已学公式得该公式称为全概率公式该公式称为全概率公式引例八引例八返回返回你现在浏览的是第三十八页，共189页2.贝叶斯贝叶斯(Bayes)公式公式设设 是样本空间的一个完备事是样本空间的一个完备事件组件组,A是任一事件是任一事件,且且 ,则则该公式称为贝叶斯公式该公式称为贝叶斯公式.在使用该公式时往往

24、先利用全概率公式求出在使用该公式时往往先利用全概率公式求出引例九引例九返回返回你现在浏览的是第三十九页，共189页补充点补充点对于全概率公式和贝叶斯公式对于全概率公式和贝叶斯公式.可以直观可以直观地进行如下理解地进行如下理解:把事件把事件A看成看成“结果结果”,把把 看成导致这一结果的看成导致这一结果的“原因原因”,把全概率公式看成为把全概率公式看成为“由原因推结果由原因推结果”,把把贝叶斯公式看成贝叶斯公式看成“由结果找原因由结果找原因”。两者。两者正正好相反好相反.返回返回你现在浏览的是第四十页，共189页1.4事件的独立性事件的独立性1.事件的独立性事件的独立性 引例十引例十 练习题练习

25、题2.N重贝努利试验重贝努利试验 引例十一引例十一 练习题练习题返回返回你现在浏览的是第四十一页，共189页1.事件的独立性事件的独立性一般地，设事件一般地，设事件A,B是一随机试验的两个是一随机试验的两个事件事件,且且 ，若，若 ，则称事件则称事件B对事件对事件A是独立的，否则称为不是独立的，否则称为不独立的独立的.结论结论你现在浏览的是第四十二页，共189页结论结论由定义可推出下列结论：由定义可推出下列结论：(1)若事件若事件A独立于事件独立于事件B，则事件，则事件B也独立于事件也独立于事件A,即两事件的独立性是相互的即两事件的独立性是相互的.(2)若事件若事件A与事件与事件B相互独立，则

26、三对事件相互独立，则三对事件 与与 ，A 与与 ，与与 B也都是相互独立的也都是相互独立的.(3)事件事件A与与B相互独立的充要条件是，相互独立的充要条件是，两事件相互独立的直观意义是一事件发生的概率与另一两事件相互独立的直观意义是一事件发生的概率与另一事件是否发生互不影响事件是否发生互不影响.推广推广你现在浏览的是第四十三页，共189页推广推广事件的独立性可推广到有限个事件的情形事件的独立性可推广到有限个事件的情形:若事件组若事件组 中的任意中的任意k 个事件交的个事件交的概率等于它们的概率积，则称事件组概率等于它们的概率积，则称事件组 是相互独立的，也就是说任一事件的概率不受其是相互独立的

27、，也就是说任一事件的概率不受其他事件发生与否的影响他事件发生与否的影响.例如例如:三个事件三个事件A,B,C若满足等式若满足等式 则称事件则称事件A,B,C是相互独立的是相互独立的 注意点注意点你现在浏览的是第四十四页，共189页注意点注意点事件组相互独立，其中任意两事件相互独事件组相互独立，其中任意两事件相互独立；反之却不一定正确立；反之却不一定正确.在实际问题中，两事件是否独立，并不总在实际问题中，两事件是否独立，并不总是用定义或充要条件来检验的，而可以根是用定义或充要条件来检验的，而可以根据具体情况来分析、判断据具体情况来分析、判断.只要事件之间只要事件之间没有明显的联系，我们就可以认为

28、它们是没有明显的联系，我们就可以认为它们是相互独立的相互独立的.返回返回你现在浏览的是第四十五页，共189页2.N重贝努利试验重贝努利试验如果随机试验只出现两种结果如果随机试验只出现两种结果 ,则称其为则称其为伯努里试验伯努里试验.在相同的条件下在相同的条件下,对同一试验重复进行对同一试验重复进行n次次,如果如果每次试验的结果互不影响每次试验的结果互不影响,则称这则称这n次重复试验为次重复试验为n次独立试验次独立试验.n次独立的伯努里试验称为次独立的伯努里试验称为n重伯努重伯努里试验里试验.对于对于n重贝努利试验重贝努利试验,我们最关心的是在我们最关心的是在n次独立次独立重复试验中重复试验中,

29、事件事件A恰好发生恰好发生k次的概率次的概率定理定理你现在浏览的是第四十六页，共189页定理定理在在n重贝努利试验中重贝努利试验中,设每次试验中事件设每次试验中事件A发生的概率为发生的概率为p(),则事件则事件A恰好发恰好发生生k次的概率次的概率若记若记则则 ,由于由于 恰好是恰好是展开式的展开式的k+1项项,所以称此公式为二项概率所以称此公式为二项概率公式公式返回返回你现在浏览的是第四十七页，共189页第二章第二章:随机变量及其概率分布随机变量及其概率分布2.1离散型随机变量离散型随机变量2.2随机变量的分布函数随机变量的分布函数2.3连续型随机变量及其概率密度连续型随机变量及其概率密度2.

30、4随机变量函数的概率分布随机变量函数的概率分布自测题二自测题二 返回返回 你现在浏览的是第四十八页，共189页2.1离散型随机变量离散型随机变量1.随机变量的概念随机变量的概念2.离散型分布变量及其分布律离散型分布变量及其分布律3.0-1分布与二项分布分布与二项分布 0-1分布分布 二项分布二项分布 泊松分布泊松分布 练习题练习题2.1 返回返回你现在浏览的是第四十九页，共189页1.随机变量的概念随机变量的概念为便于用数学的形式来描述、解释和论证随机试为便于用数学的形式来描述、解释和论证随机试验的某种规律性，我们需要按照研究的目的将试验的某种规律性，我们需要按照研究的目的将试验中的基本事件与

31、实数集建立某种联系验中的基本事件与实数集建立某种联系.例如例如:某人向一飞机射击，观察其是否击中飞某人向一飞机射击，观察其是否击中飞机，机，则基本事件则基本事件A=击中击中,B=未击中未击中构成一个构成一个完备事件组完备事件组.为了便于研究为了便于研究,我们引进变量我们引进变量X,规定规定X取取1,0分别对应分别对应“击中击中”,“未击中未击中”事件事件.从而对从而对事件事件A,B的研究就转化为对实数的研究就转化为对实数X的研究的研究.定义定义你现在浏览的是第五十页，共189页定义定义一般地，按研究随机试验的某种规律性要求，建一般地，按研究随机试验的某种规律性要求，建立样本空间立样本空间与实数

32、集的某个子集的某种对应关与实数集的某个子集的某种对应关系，使每个基本事件都有一个确定的实数与之对系，使每个基本事件都有一个确定的实数与之对应应.与全体基本事件相对应的数组成的集合记为与全体基本事件相对应的数组成的集合记为M，用一个变量在，用一个变量在M中（或在中（或在M的某个范围内）的的某个范围内）的取值来表示和变量的取值所对应的基本事件组成取值来表示和变量的取值所对应的基本事件组成的事件，我们把这样的变量称为的事件，我们把这样的变量称为随机变量随机变量，M称为称为随机变量的取值范围随机变量的取值范围.随机变量通常用随机变量通常用X,Y,Z等表等表示示.引例引例2.1返回返回你现在浏览的是第五

33、十一页，共189页2.离散型分布变量及其分布律离散型分布变量及其分布律若随机变量的取值可以一一列举（有限个若随机变量的取值可以一一列举（有限个或无穷可列个）出来，则称这类随机变量或无穷可列个）出来，则称这类随机变量为为离散型随机变量离散型随机变量.对于离散型随机变量对于离散型随机变量,我们需要知道它的我们需要知道它的所有可能值及取每一个可能值的概率所有可能值及取每一个可能值的概率.分布律分布律你现在浏览的是第五十二页，共189页分布律分布律设设X为离散型随机变量为离散型随机变量,可能取值为可能取值为且且 则称则称 为为X的分布律的分布律(或分布列或分布列)分布律常用表格表示分布律常用表格表示,

34、这样更为直观这样更为直观.X P性质性质你现在浏览的是第五十三页，共189页分布律性质分布律性质随机变量的分布律具有下列性质随机变量的分布律具有下列性质：(1)(2)引例引例2.2和练习题和练习题返回返回反之，若一数列具有以上性质，就可以看作反之，若一数列具有以上性质，就可以看作为某一随机变量的分布律为某一随机变量的分布律你现在浏览的是第五十四页，共189页0-1分布分布若随机变量若随机变量X只取两个可能值只取两个可能值0,1,且且则称则称X服从服从0-1分布分布.X的分布律为的分布律为:其中其中010-1分布常用于随机试验只考虑两种结果分布常用于随机试验只考虑两种结果,比如抛比如抛硬币硬币,

35、正面与反面正面与反面;投篮投篮,中与不中等等中与不中等等.返回返回你现在浏览的是第五十五页，共189页二项分布二项分布一般地，在一般地，在n重贝努里试验中，事件重贝努里试验中，事件A在每次试在每次试验中发生的概率为验中发生的概率为p，X表示在表示在n次试验中次试验中A发生发生的次数，则的次数，则X的分布列为的分布列为 其中其中则称则称X服从参数为服从参数为n,p的二项分布，简记为的二项分布，简记为二项分布是一种常用的分布。二项分布是一种常用的分布。名称由来（引例名称由来（引例2.3）引例引例2.4泊松定理泊松定理你现在浏览的是第五十六页，共189页泊松定理泊松定理设是设是 常数，常数，n是任意

36、正整数，且是任意正整数，且则对于任意取定的非负整数则对于任意取定的非负整数k，有，有由泊松定理，我们可得，当由泊松定理，我们可得，当n很大，很大，p很小时，很小时，有近似公式有近似公式注：在实际的计算中，当注：在实际的计算中，当 时，计算时，计算用上述公式效果颇佳！用上述公式效果颇佳！其中其中返回返回你现在浏览的是第五十七页，共189页泊松分布泊松分布如果随机变量的分布律为如果随机变量的分布律为 ，则称则称X服从参数服从参数 的泊松分布，记作的泊松分布，记作 .服从泊松分布的随机变量服从泊松分布的随机变量X的概率值可在附录的的概率值可在附录的泊松分布表中查出泊松分布表中查出.引例引例2.5返回

37、返回你现在浏览的是第五十八页，共189页2.2随机变量的分布函数随机变量的分布函数 1。分布函数的概念分布函数的概念 2。分布函数的性质分布函数的性质返回返回你现在浏览的是第五十九页，共189页1。分布函数的概念。分布函数的概念设设X为随机变量，称函数为随机变量，称函数为为X的分布函数。的分布函数。注意：随机变量的分布函数的定义适应于任意的注意：随机变量的分布函数的定义适应于任意的随机变量。随机变量。离散型的分布函数离散型的分布函数你现在浏览的是第六十页，共189页离散型的分布函数离散型的分布函数由于由于 ，由概率的性质知，由概率的性质知，即即:其中求和是对所有满足其中求和是对所有满足 时相应

38、的概率时相应的概率 求和求和引例引例2.6返回返回你现在浏览的是第六十一页，共189页分布函数的性质分布函数的性质(1)(2)是不减函数是不减函数,即对于任意的即对于任意的 有有(3)即即(4)右连续右连续,即即已知已知X的分布函数的分布函数F(x),我们可以得出下我们可以得出下列事件的概率列事件的概率.结论结论你现在浏览的是第六十二页，共189页结论结论(1)(2)(3)引例引例2.7返回返回你现在浏览的是第六十三页，共189页2.3连续型随机变量及其概率密度连续型随机变量及其概率密度1。连续型随机变量及其概率密度。连续型随机变量及其概率密度2。均匀分布与指数分布。均匀分布与指数分布 均匀分

39、布均匀分布 指数分布指数分布3。正态分布。正态分布 分位数分位数练习题练习题2.3返回返回你现在浏览的是第六十四页，共189页1。连续型随机变量及其概率密度。连续型随机变量及其概率密度若对于随机变量若对于随机变量X的分布函数的分布函数F(x)，存在非负函，存在非负函数数f(x)，使得对于任意的实数，使得对于任意的实数x，有，有则称则称X为连续型随机变量，并称为连续型随机变量，并称f(x)为为X的概率的概率密度函数，简称概率密度（或密度函数）。密度函数，简称概率密度（或密度函数）。连续型随机变量在某一点的概率连续型随机变量在某一点的概率你现在浏览的是第六十五页，共189页连续型随机变量在某一点的

40、概率连续型随机变量在某一点的概率对于任意的实数对于任意的实数x，有，有当当f(x)可积时，可积时，F(x)为连续函数，令为连续函数，令则则 即连续型随机变量在某一点的概率为零即连续型随机变量在某一点的概率为零.性质性质你现在浏览的是第六十六页，共189页性质性质（1）（2）（3）（4）设）设x为为f(x)的连续点，则的连续点，则 存在，且存在，且另有另有若若(1)(2)两个性质符合就是连两个性质符合就是连续型随机变量的概率密度续型随机变量的概率密度注，性质注，性质(3)离散型没有离散型没有几何意义几何意义你现在浏览的是第六十七页，共189页几何意义几何意义如图如图yx0abf(x)图中阴影部分

41、面积代表了该区域的概率。图中阴影部分面积代表了该区域的概率。引例引例2.8返回返回你现在浏览的是第六十八页，共189页2。均匀分布与指数分布。均匀分布与指数分布定义定义:若随机变量若随机变量X的概率密度为的概率密度为则称则称X服从区间服从区间 上的均匀分布上的均匀分布,简记为简记为其分布函数为其分布函数为:直观图形直观图形你现在浏览的是第六十九页，共189页几何图形几何图形如图f(x)0 xabF(x)0abx另有计算公式另有计算公式你现在浏览的是第七十页，共189页另有公式另有公式如果如果 是是 的一个子区间（即的一个子区间（即 ），），则有则有上式表明上式表明X在在 任一子区间取值的概率与

42、区间任一子区间取值的概率与区间的长度成正比，而与子区间的位置无关，也就是的长度成正比，而与子区间的位置无关，也就是说，说，X在区间在区间 上的概率分布是均匀的，因此上的概率分布是均匀的，因此叫做均匀分布叫做均匀分布.使用这一公式计算均匀分布的概率很方便使用这一公式计算均匀分布的概率很方便.引例引例2.9返回返回你现在浏览的是第七十一页，共189页指数分布指数分布定义定义:若随机变量若随机变量X的概率密度为的概率密度为其中其中 为常数为常数,则称则称X服从参数为服从参数为 的指数分的指数分布布.简记为简记为其分布函数为其分布函数为指数分布有着广泛的应用，常用来做各种指数分布有着广泛的应用，常用来

43、做各种“寿命寿命”分布的近似，例如分布的近似，例如动物的寿命，电话的通话时间，随机服务系统中的服务时间等，都通动物的寿命，电话的通话时间，随机服务系统中的服务时间等，都通常假定服从指数分布常假定服从指数分布.引例引例2.10返回返回你现在浏览的是第七十二页，共189页3。正态分布。正态分布定义定义:若随机变量若随机变量X的概率密度为的概率密度为其中其中 为常数且为常数且 ，则称，则称X服从参数为服从参数为 的正态分布，记作的正态分布，记作 .正态分布的密度函数的图像称为正态曲线正态分布的密度函数的图像称为正态曲线 几何图形几何图形你现在浏览的是第七十三页，共189页几何图形几何图形如图如图f(

44、x)x0图形特点及正态分布曲线的性质图形特点及正态分布曲线的性质(1)曲线关于曲线关于 对称对称(2)当当 时，取到最大值时，取到最大值(3)参数参数 决定正态曲线的形状，决定正态曲线的形状，较大曲线扁较大曲线扁平，平，较小曲线狭高较小曲线狭高.分布函数分布函数你现在浏览的是第七十四页，共189页分布函数分布函数设设 ，则，则X的分布函数为的分布函数为特别地，当特别地，当 时的正态分布时的正态分布 ，称为标，称为标准的正态分布。准的正态分布。其密度函数为其密度函数为其分布函数为其分布函数为 标准正态分布密度函数图形标准正态分布密度函数图形你现在浏览的是第七十五页，共189页标准正态分布密度函数

45、图形标准正态分布密度函数图形如图如图0图形关于图形关于 轴对称，且在轴对称，且在 取得最大值取得最大值标准正态分布函数标准正态分布函数 的性质的性质(1)(2)计算公式计算公式你现在浏览的是第七十六页，共189页计算公式计算公式标准正态分布函数的值可以直接查表得。标准正态分布函数的值可以直接查表得。一般的正态分布函数一般的正态分布函数 与标准的正态分布函数与标准的正态分布函数 的关系，设的关系，设引例引例2.11引例引例2.12你现在浏览的是第七十七页，共189页分位数（临界值）分位数（临界值）定义定义 标准正态分布的临界值记为标准正态分布的临界值记为 ，满足满足 则称点则称点 为标准正态分布

46、的分位数（或临界为标准正态分布的分位数（或临界值）值）由由 ，查标准正态分布表求查标准正态分布表求 .引例引例2.13返回返回你现在浏览的是第七十八页，共189页2.4随机变量函数的概率分布随机变量函数的概率分布1.离散型随机变量函数的概率分布离散型随机变量函数的概率分布 练习题练习题2.4（1）2.连续型随机变量函数的概率分布连续型随机变量函数的概率分布 练习题练习题2.4（2）返回返回你现在浏览的是第七十九页，共189页1.离散型随机变量函数的概率分布离散型随机变量函数的概率分布设设g(x)是一给定的连续函数是一给定的连续函数,称称 为随机变为随机变量量X的一个函数的一个函数,显然显然Y也

47、是一个随机变量也是一个随机变量.当当X取取值值x时时,Y取值取值y=g(x).重点在于讨论如何由已知的随机变量重点在于讨论如何由已知的随机变量X的概率分的概率分布布,去求函数去求函数 的概率分布的概率分布.引例引例2.14结论结论你现在浏览的是第八十页，共189页结论结论离散型随机变量离散型随机变量X的取值可列的取值可列 ,则则Y的的取值也是可列的取值也是可列的 ,因此因此Y也是也是个离散型随机变量个离散型随机变量.但是但是 中可中可能有相等的情况能有相等的情况.当当 有相等的情况时有相等的情况时,应把应把 相等的那些相等的那些 所对应的概率相加所对应的概率相加,作为作为Y取值取值的概率的概率

48、.注：在最后所得分布律，按注：在最后所得分布律，按Y的各取值的自然顺的各取值的自然顺序重新排列一下序重新排列一下返回返回你现在浏览的是第八十一页，共189页2.连续型随机变量函数的概率分布连续型随机变量函数的概率分布设设X为连续型随机变量，其密度函数为为连续型随机变量，其密度函数为设设 是一严格单调的可导函数，其值域为是一严格单调的可导函数，其值域为 且且 。记。记 为为 的反函数，则的反函数，则的概率密度的概率密度特别地，当特别地，当 时时引例引例2.15返回返回你现在浏览的是第八十二页，共189页第三章第三章:多维随机变量及其概率分布多维随机变量及其概率分布3.1多维随机变量的概念多维随机

49、变量的概念3.2随机变量的独立性随机变量的独立性3.3两个随机变量的函数的分布两个随机变量的函数的分布 自测题自测题3返回返回你现在浏览的是第八十三页，共189页3.1多维随机变量的概念多维随机变量的概念1。二维随机变量及其分布函数。二维随机变量及其分布函数2。二维离散型随机变量。二维离散型随机变量 练习题练习题3.1（1）3。二维连续型随机变量的概率密度和边。二维连续型随机变量的概率密度和边缘概率密度缘概率密度 练习题练习题3.1（2）返回返回你现在浏览的是第八十四页，共189页1。二维随机变量及其分布函数。二维随机变量及其分布函数定义定义 n个随机变量个随机变量 ，构成的整体，构成的整体

50、称为一个称为一个n维随机变量或维随机变量或n维随机维随机向量，向量，称为称为X的第的第i个分量。个分量。定义定义 设设 为一个二维随机变量，记为一个二维随机变量，记称二元函数称二元函数 为为X与与Y的联合分布函数或称为的联合分布函数或称为 的分布函数。的分布函数。续续你现在浏览的是第八十五页，共189页（续）二维随机变量（续）二维随机变量 的两个分量的两个分量X与与Y各自的分布函数分别称为各自的分布函数分别称为二维随机变量二维随机变量 关于关于X与关于与关于Y的边缘分布函的边缘分布函数，记为数，记为 与与 。边缘分布函数与联合分布函数的关系。边缘分布函数与联合分布函数的关系。几何图形几何图形你